Algorithmen und Datenstrukturen (EI)

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1 Algorithmen und Datenstrukturen (EI)
Zentralübung 10. Dezember 2008

2 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Appetizer... Frage: Gegeben eine reguläre Sprache L1. Gegeben eine andere Sprache L2 welche eine Teilmenge aller Strings von L1 enthält, das heisst: L2 ½ L1 Ist dann L2 auch regulär? Stefan TU München, 2008

3 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Appetizer... Nein! Gegenbeispiel: L1 ist die Sprache {0,1}*, und L2 ist die Sprache {0k 1k | k ¸ 0}... Stefan TU München, 2008

4 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Appetizer... Sprache {0k 1k | k ¸ 0} ist nicht regulär. Veranschaulichung über endlicher Automat: bei n Uebergängen muss man mindestens einmal einen Zustand mehr als einmal besucht haben. Diesen Teil kann man beliebig oft wieder holen (oder auch weglassen!), und das neue Wort muss auch in der Sprache sein. Stefan TU München, 2008

5 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Appetizer... Sprache {0k 1k | k ¸ 0} ist nicht regulär. „Kreativer Teil“: betrachte das Wort 0n1n 2 L (für ein n das gemäss Pumping Lemma existiert) Es muss eine Unterteilung uvw geben für 0n1n Wegen Bedingung 2 besteht uv ausschliesslich aus a‘s, und v ist nicht leer (Bedingung 3) Gemäss Lemma muss uv2w = an-|v|a2¢ |v|bn auch in L sein => Widerspruch, da dieses Wort mehr a‘s als b‘s hat. Also Sprache nicht regulär! Stefan TU München, 2008

6 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Appetizer... Achtung: Pumping Kriterien können auch für nicht-reguläre Sprachen gelten. D.h. Pumping Lemma kann gebraucht werden um zu zeigen, dass eine Sprache nicht regulär ist, aber nicht um zu zeigen dass eine Sprache regulär ist (= regulärer Ausdruck angeben o.ä.)! Stefan TU München, 2008

7 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Appetizer... Sprache {0k 1k | k ¸ 0} ist nicht regulär. Ist sie kontext frei? Ja, Beweis durch Grammatik: S => T |  T => 0T1 | 01 Stefan TU München, 2008

8 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Appetizer... Beispiel aus Vorlesung reloaded... r = Zykluslänge Idee: hänge einen Zyklus mehr an... Stefan TU München, 2008

9 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Appetizer... Gilt das Umgekehrte? Sei wieder L2 ½ L1, aber nun sei L2 regulär. Ist dann L1 auch regulär? Stefan TU München, 2008

10 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Appetizer... Nein! Gegenbeispiel: L2 ist die Sprache über dem deutschen Alphabet {a,b,c,...,x,y,z} bestehend aus dem String sugus, und L1 ist die Sprache aller Palindrome über diesem Alphabet. Stefan TU München, 2008

11 Bemerkung zu Kombination von Automaten
Machine für L1 Å L2? Entweder auch über de Morgan! Oder über Kreuzproduktmaschine! Stefan TU München, 2008

12 Bemerkung zu Kombination von Automaten
Oder über Kreuzproduktmaschine! Mache Kreuzprodukt der Zustände. Idee: lasse beide Maschinen laufen; beide Transitionen! Akzeptiere nur wenn beide Maschinen akzeptieren. Stefan TU München, 2008

13 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Appetizer... Erinnerung: NEA (inkl. -Übergänge) und DEA sind äquivalent! Verfahren um aus NEA einen äquivalenten DEA zu bauen: Potenzmengenkonstruktion Stefan TU München, 2008

14 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Appetizer... Verfahren: 1. Beginne im Startzustand, bestimme Menge aller Zustände die man in einem Schritt erreicht für ein gegebenes Inputzeichen => neuer Zustand. 2. Von einem Mengenzustand gehe zu neuem Zustand definiert durch alle möglichen (über alle Zustände in Menge) Uebergänge eines Inputzeichens. 3. Akzeptierender Zustand: alle Mengenzustände die mind. einen akzeptierenden Zustand enthalten 4. Startzustand: urspr. Zustand plus Epsilonhülle Stefan TU München, 2008

15 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Appetizer... Es ist nicht nötig, alle Zustände der Potenzmenge anzugeben! Es genügen die erreichbaren! Stefan TU München, 2008

16 Stefan Schmid @ TU München, 2008

17 Stefan Schmid @ TU München, 2008

18 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Kann noch vereinfacht werden, z.B. Zustand {0} und {0,1} kann nicht erreicht werden. Stefan TU München, 2008

19 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Welche Strings sind in (L)?? 1 (weil 10 2 L) 10 (weil L) 01 (weil L) 11 (weil L) 00 (weil L) Stefan TU München, 2008

20 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Welche Strings sind in (L): Allgemeiner?? Beobachtung: es gibt von jedem Zustand aus einen Weg, der in zwei Schritten zu einem akzeptierenden Zustand führt! z.B. von q0 durch „10“, von q1 durch „00“, von q2 durch „01“ Stefan TU München, 2008

21 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Beobachtung: es gibt von jedem Zustand aus einen Weg, der in zwei Schritten zu einem akzeptierenden Zustand führt! z.B. von q0 durch „10“, von q1 durch „00“, von q2 durch „01“ Folge: alle Strings der Länge ¸ 2 sind in (L)! Plus String „1“ wie bereits gesehen. Also nur „0“ nicht! (Im obigen Automat kommt man mit 0x nicht zu einem akzeptierenden.) Stefan TU München, 2008

22 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Folge: alle Strings der Länge ¸ 2 sind in (L)! Plus String „1“ wie bereits gesehen. Also nur „0“ nicht! (Im obigen Automat kommt man mit 0x nicht zu einem akzeptierenden.) Stefan TU München, 2008

23 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Beispiele für L? L? Ja! L? Ja! L? Nein! Stefan TU München, 2008

24 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Allgemein: zuerst beliebiger String ohne benachbarte Einsen, dann beliebiger String ohne benachbarte Nullen. Beliebiger String ohne benachbarte Einsen? (10|0)*(|1) Beliebiger String ohne benachbarte Nullen? (01|1)*(|0) Kombination / Resultat? (10|0)*(|1)(01|1)*(|0) = (10|0)* (01|1)*(|0) Stefan TU München, 2008

25 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Methode: per Induktion über die erlaubten Zustände! Stefan TU München, 2008

26 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Achtung: aufwendig! Für n Zustände: n Induktionsschritte, mal n mal n Wege! (in unserem Fall 3^3 = 27) Induktionsanfang / erster Schritt: Stefan TU München, 2008

27 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Bessere Methode (zumindest zum Prüfen?): Verallgemeinerte endliche Automaten! 1. Füge Hilfszustände ein für Start und Ende 2. Entferne einen Zustand nach dem anderen, und ersetze Inputzeichen an den Kanten durch entsprechende reguläre Ausdrücke! 3. Am Schluss lässt sich der reguläre Ausdruck an verbleibender Kante ablesen! Stefan TU München, 2008

28 Stefan Schmid @ TU München, 2008
 a Füge neuen Anfangszustand und Endzustand ein!  s Entferne Zustand q2! Uebergänge zw. verbleibenden Zuständen: q0 q1 Stefan TU München, 2008

29 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Entferne Zustand q2! Uebergänge zw. verbleibenden Zuständen: q0 q1 Entferne Zustand q0! Uebergänge zw. verbleibenden Zuständen: q0 q1 Stefan TU München, 2008

30 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Was bei mehreren akzeptierenden Zuständen? Analog. Alle Pfade lassen... Methode: Stefan TU München, 2008

31 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Methode: Stefan TU München, 2008

32 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Methode: Stefan TU München, 2008

33 Stefan Schmid @ TU München, 2008

34 Stefan Schmid @ TU München, 2008

35 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Zusatzaufgabe: Stefan TU München, 2008

36 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Zusatzaufgabe: Stefan TU München, 2008

37 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Zusatzaufgabe: Stefan TU München, 2008

38 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Zusatzaufgabe: Stefan TU München, 2008

39 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Notes Stefan TU München, 2008

40 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Notes Stefan TU München, 2008

41 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Notes Stefan TU München, 2008

42 Stefan Schmid @ TU München, 2008
Notes Stefan TU München, 2008