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3. Rechnen mit natürlichen Zahlen

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Präsentation zum Thema: "3. Rechnen mit natürlichen Zahlen"—  Präsentation transkript:

1 3. Rechnen mit natürlichen Zahlen
3.1 Inhaltliches Verstehen von Rechenoperationen 3.2 Die Grundaufgaben: Das 1+1 und 1x1 3.3 Lösungsstrategien für mündliches und halbschriftliches Rechnen 3.4 Die schriftlichen Rechenverfahren

2 Wesen schriftlicher Rechenverfahren
Schriftliche Rechenverfahren (Normalverfahren) sind durch folgende Punkte charakterisiert: Die Einzelschritte erfolgen beim Normalverfahren schematisch nach gegebenen Regeln in fester Reihenfolge (algorithmisches Verfahren). Eine Einsicht in das Verfahren ist bei seiner Durchführung nicht erforderlich, es reicht das schematische Anwenden der Regeln und Verfahrensvorschriften.

3 Bedeutung schriftlicher Rechenverfahren
Traditionelle Sichtweise: Krönung des Mathematikunterrichts Leichtes, standardisiertes, effektives und effizientes Rechnen ohne viel nachzudenken; vormachen, nachmachen und üben, üben, üben Relativierte Sichtweise: Abrunden der Rechenmethoden Eine Methode unter verschiedenen, Einsicht in Verfahren und algorithmisches Denken Nicht nur rechnen, sondern auch verstehen, durchschauen, erklären

4 Vorteile schriftlicher Rechenverfahren
Hohe Rechensicherheit Starke Denkökonomie durch Entlastung des Gedächtnisses Große Erhöhung der Schnelligkeit Verminderung von Schwierigkeiten innerhalb des Klassenverbandes durch Standardisierung Hilfe für langfristige Sicherung des Lernerfolges

5 Nachteile schriftlicher Rechenverfahren
Bei der Einführung viele Teilschritte Zu frühe Automatisierung führt zu mangelhaftem Verstehen Verfahren ohne Einsicht führen zu typischen Fehlern Zahlen werden nicht mehr als Ganzes betrachtet, dadurch werden bestimmte Fehler nicht mehr wahrgenommen. Tragen nur wenig zur Unterstützung des Zahlverständnisses bei Ständige Anwendung führen dazu, dass Normalverfahren auch dann angewendet werden, wenn leichtere Wege zum Ziel führen

6 Nachteile schriftlicher Rechenverfahren
Maßnahmen, die den Nachteilen entgegenwirken: Das Normalverfahren soll als ein Verfahren unter verschiedenen Rechenverfahren betrachtet werden, nicht als „Höhepunkt“ Normalverfahren sollten als Endform eines längeren Prozesses stehen Teilschritte sorgfältig entwickeln, damit Verständnis für die Verfahren erreicht wird Auch in der Automatisierungsphase Einsicht in das jeweilige Verfahren lebendig halten.

7 Behandlung schriftlicher Rechenverfahren
Klasse 3: Einführung der schriftlichen Addition und Subtraktion Bei der Subtraktion ist (in Hessen) das Ergänzungsverfahren vorgeschrieben. Klasse 4: Einführung der schriftlichen Multiplikation (beide Faktoren können mehrstellig sein) Einführung der schriftlichen Division: Teilen durch einstellige Zahlen als verbindliches Lernziel für alle Kinder. Im freien oder zusätzlichen Angebot kann mit zweistelligen Divisoren gerechnet werde.

8 Lerntheoretische Positionen zur Behandlung der schriftlichen Verfahren des Rechnens
1. Vorkenntnisse sichern 2. Sachsituationen zur Motivierung auswählen 3. Algorithmen einsichtig ableiten 4. „Klippen“ frühzeitig berücksichtigen 5. Operative Übungen einbeziehen 6. Vielfältige Anwendungen aufzeigen 7. Frühzeitig Fehleranalysen durchführen

9 Zur schriftlichen Addition
Zwei prinzipielle Vorgehensweisen der Einführung: Anknüpfen am halbschriftlichen Rechnen: Ausgangspunkt: „Stellenwerte extra“ Verändern der Reihenfolge (erst Einer, dann Zehner, dann Hunderter) Anknüpfen an Handlungen des Bündelns und Darstellung in der Stellentafel: Material in dekadischer Struktur wird gebündelt (Mehrsystemblöcke, Geld) Schreibweise in der Stellentafel

10 Zur schriftlichen Addition
Anknüpfen am halbschriftlichen Rechnen (Zahlenbuch 3, S. 63):

11 Zur schriftlichen Addition
Anknüpfen an Handlungen des Bündelns und Darstellung in der Stellentafel (Denken und Rechnen 3, S. 57):

12 Zur schriftlichen Addition
Anknüpfen an Handlungen des Bündelns und Darstellung in der Stellentafel (Welt der Zahl 3, S. 59):

13 Zur schriftlichen Addition
Sprechweise (Rahmenplan, S. 156)

14 Zur schriftlichen Subtraktion
Es lassen sich zwei Verfahren der schriftlichen Subtraktion unterscheiden: Abziehverfahren Ergänzungsverfahren Es lassen sich drei Techniken des Übertragens unterscheiden: Borge- oder Entbündelungstechnik Erweiterungstechnik Auffülltechnik

15 Verfahren der schriftlichen Subtraktion
Abziehverfahren Die Differenz wird durch Wegnehmen (Abziehen) berechnet Ergänzungsverfahren Die Differenz wird durch Ergänzen berechnet Sprechweise beim Abziehverfahren: 4 minus 2 gleich 2 5 minus 4 gleich 1 7 minus 3 gleich 4 Sprechweise beim Ergänzungsverfahren: 2 plus 2 gleich 4 4 plus 1 gleich 5 3 plus 4 gleich 7 754 342 412

16 Verfahren der schriftlichen Subtraktion
Vorteile des Abziehverfahrens: Das Abziehen wird als natürliche Sinngebung der Subtraktion gesehen. Verwechslungen mit der Addition werden eingeschränkt. Kein Auseinanderklaffen von Schreib- und Sprechweise Vorteile des Ergänzungsverfahrens: Beim Ergänzungsverfahren wird nur das Einspluseins (und nicht auch) das Einsminuseins benötigt. Zusammenhang zwischen Addition und Subtraktion wird besser deutlich

17 Übertragungstechniken der schriftlichen Subtraktion
Borgetechnik (Entbündelungstechnik): Im Minuend wird eine Einheit des nächsthöheren Stellenwertes entbündelt Erweiterungstechnik: Das Gesetz von der Konstanz der Differenz liegt zugrunde: Minuend und Subtrahend werden um den gleichen Betrag vergrößert „Trick“: Werden zur betreffenden Ziffer des Minuenden 10 Einheiten addiert, so wird dieser Betrag im Subtrahenden gebündelt dem nächsthöheren Stellenwert als eine Einheit zugeschlagen Auffülltechnik: Dem Subtrahenden wird eine Zahl hinzugefügt, um den Minuenden als Zielbetrag zu erhalten Minuend bleibt unverändert

18 Verfahren der schriftlichen Subtraktion
Wie können verschiedene Subtraktionsverfahren und Übertragungstechniken miteinander kombiniert werden? Borgen Erweitern Auffüllen Abziehen + - Ergänzen

19 Zur schriftlichen Subtraktion
Sprechweise beim Ergänzungsverfahren (Rahmenplan, S. 156):

20 Schriftliche Subtraktion in Schulbüchern
Das Zahlenbuch 3, S. 73

21 Schriftliche Subtraktion in Schulbüchern
Denken und Rechnen 3, S. 74

22 Schriftliche Subtraktion in Schulbüchern
Denken und Rechnen 3, S. 76

23 Zur schriftlichen Multiplikation
Normiertes Verfahren: Beide Faktoren stehen in einer Zeile, rechte Zahl ist Multiplikator, linke Multiplikand (Problem: Beim halbschriftlichen Rechnen ist es in der Regel umgekehrt) Die Multiplikation beginnt mit der höchsten Stelle des Multiplikators Teilprodukte werden ihrem Stellenwert entsprechend unter den zweiten Faktor gesetzt

24 Zur schriftlichen Multiplikation
Endform (Rahmenplan, S. 156):

25 Zur schriftlichen Multiplikation
Methodische Stufenfolge bei der Behandlung Multiplikation mit einstelligem Faktor 728 · 6 Multiplikation mit Vielfachen von 10 378 · 60 Multiplikation mit mehrstelligem Faktor 347 · 253

26 Zur schriftlichen Multiplikation
Möglichkeiten der Einführung: Schriftliche Addition gleicher Summanden als Ausgangspunkt Anknüpfen am halbschriftlichen Rechnen „Stellenwerte extra“ als Ausgangspunkt Vom Malkreuz über „Nepersche Streifen“ zur schriftlichen Multiplikation

27 Schriftliche Multiplikation in Schulbüchern
Welt der Zahl 4, S. 47

28 Schriftliche Multiplikation in Schulbüchern
Denken und Rechnen 4, S. 39

29 Schriftliche Multiplikation in Schulbüchern
Denken und Rechnen 4, S. 52

30 Das Zahlenbuch 4, S. 46

31 Zur schriftlichen Division
Das schriftliche Dividieren wird als die bei weitem komplizierteste Grundrechnungsart angesehen. Ein Problem ist die hohe Komplexität. Teilschritte beim schriftlichen Dividieren (22449 : 7): 1. Überschlag : 7 = 3000 2. Ermitteln des ersten Teildividenden 3. Schätzen der ersten Wertziffer des Quotienten 22 : 7 = 3 4. Multiplikation 5. Subtraktion 6. Zwischenkontrolle 7. „Herunterholen“ der nächsten Ziffer

32

33 Zur schriftlichen Division
Möglichkeiten der Erarbeitung des Verfahrens: Anknüpfen an Entbündelungshandlungen Anknüpfen am halbschriftlichen Rechnen Direkte Konfrontation mit dem Verfahren

34 Schriftliche Division in Schulbüchern
Denken und Rechnen 1998, S. 70

35 Schriftliche Division in Schulbüchern
Denken und Rechnen 2003, S. 68

36 Das Zahlenbuch 4, S. 54

37 Leonardo 4, S. 70

38 Übungen zum schriftlichen Rechnen
Päckchenaufgaben (in Termform) Aufgaben mit fehlenden Ziffern (Klecksaufgaben) Fehlerhafte Aufgaben Aufgaben mit Zahlenkarten Aufgaben mit „besonderen Zahlen“ Sach- und Anwendungsaufgaben

39 Übungen zum schriftlichen Rechnen
Leonardo 4, S. 93

40 Übungen zum schriftlichen Rechnen
Denken und Rechnen 3, S. 58

41 Übungen zum schriftlichen Rechnen
Denken und Rechnen 3, S. 59

42 Übungen zum schriftlichen Rechnen
Das Zahlenbuch 3, S. 74


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