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Primzahlen Wie viele gibt es? Wie findet man Primzahlen?

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Präsentation zum Thema: "Primzahlen Wie viele gibt es? Wie findet man Primzahlen?"—  Präsentation transkript:

1 Primzahlen Wie viele gibt es? Wie findet man Primzahlen?

2 Primzahlen2 Haben Sie eine Lieblingsprimzahl? (Trons Zahl) Meine kleine Lieblingsprimzahl : 17

3 Primzahlen3 Der Plan: Was sind Primzahlen? Warum sind sie wichtig? Wie viele Primzahlen gibt es? Wie findet man Primzahlen? Wege zum Ruhm. Ende: Nach 40 Minuten, auf jeden Fall

4 Primzahlen4 Was ist eine Primzahl? Die Definition: Eine Zahl heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Es geht um natürliche Zahlen, es geht um Teilbarkeit. Schon jetzt: 1 ist keine Primzahl, sie macht nur unnötigen Ärger!

5 Primzahlen5 Teilbarkeit 7 teilt 42: 7 | 42, denn 42 ist Vielfaches von 7, d.h. 42 = teilt 42 nicht: 8 42, denn 42 ist nicht Vielfaches von 8, d.h. es gibt keine Zahl c mit 42 = c 8

6 Primzahlen6 Teilbarkeit Die grundlegende Definition: a | b bedeutet: a teilt b (ohne Rest), also: b ist Vielfaches von a.

7 Primzahlen7 Teilbarkeitseigenschaften 7 42 und 7 63, also auch 7 ( ), Teilt a die Zahlen b und c, dann auch b+c 7 42 und 7 63, also auch 7 ( ), Teilt a die Zahlen b und c, dann auch b-c

8 Primzahlen8 Nochmals die Definition: Eine natürliche Zahl, von 1 verschieden, heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. 1 ist keine Primzahl. Die kleinste Primzahl ist 2.

9 Primzahlen9 Die Primzahlen bis 20, der Reihe nach:

10 Primzahlen10 Die Primzahlen bis 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 Anzahl = π(20) = 8 π(x) = Anzahl der Primzahlen bis zur Zahl x

11 Primzahlen11 Größte zweistellige Primzahl Kandidaten:

12 Primzahlen12 Größte zweistellige Primzahl Kandidaten: 91: Durch 7 teilbar 93: Durch 3 teilbar 95: Durch 5 teilbar 97: Primzahl 99: Durch 3 teilbar 97 ist die größte zweistellige Primzahl.

13 Primzahlen13 Kleinste dreistellige Primzahl Kandidaten:

14 Primzahlen14 Kleinste dreistellige Primzahl Kandidaten: 101: Primzahl 103: Primzahl 105: Durch 5 teilbar 107: Primzahl 109: Primzahl 101, 103 und 107, 109 sind Primzahlenzwillige

15 Primzahlen15 Kleinste dreistellige Primzahl Kandidaten: Gar nicht mehr so einfach!

16 Primzahlen16 Kleinste dreistellige Primzahl Kandidaten: 1001: Durch 11 teilbar(11·91) 1003: Durch 17 teilbar(17·59) 1005: Durch 5 teilbar(5·201) 1007: Durch 19 teilbar(19·53) 1009: Primzahl

17 Primzahlen17 Primzahlen sind wichtig für: Mathematiker Kryptologen

18 Primzahlen18 Primzahlen in der Mathematik Beispiele: 42 = = = Sie finden dies bei Euklid. Primzahlen sind die Atome der Zahlen. Der Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede natürliche Zahl größer als 1 lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen.

19 Primzahlen19 Wie zerlegt man in Primfaktoren? Beispiele: Z = 42 Z = 182 Z = 3553 Z = Dies ist nicht einfach!

20 Primzahlen20 Wie zerlegt man in Primfaktoren? Beispiele: Z = 42= 221 = 237 Z = 364= 2182 = Z = 3553= = Z = = Es ist schwierig, große Zahlen zu faktorisieren

21 Primzahlen21 Kryptologen und Primzahlen RSA Ron Rivest Adi Shamir Leonard Adleman Löst Problem der Schlüsselübergabe im Internet

22 Primzahlen22 RSA Asymmetrische Verschlüsselung Benötigt große geheime Primzahlen Entscheidend: Gibt es genügend viele große Primzahlen? Wie viele Primzahlen gibt es überhaupt?

23 Primzahlen23 Wie viele Primzahlen gibt es? Euklid: (325 – 265 v.Chr.) Es gibt unendlich viele Primzahlen.

24 Primzahlen24 Euklids Beweis Die Folgerung: Es gibt unendlich viele Primzahlen! Die Idee: Aus endlich vielen Primzahlen kann man stets eine weitere konstruieren.

25 Primzahlen25 Euklids Beweisidee Beispiel: Primzahlen: 2, 3, 5 E = = 31: Keine der Zahlen 2, 3, 5 kann E teilen. E ist sogar eine neue Primzahl!

26 Primzahlen26 Euklids Beweis Noch ein Beispiel: Primzahlen: 3, 5, 7 E = = 106: Keine der Zahlen 3, 5, 7 kann E teilen. E ist keine neue Primzahl! Aber: E enthält neue Primzahlen als Faktoren.

27 Primzahlen27 Euklids Beweis, allgemein: Allgemein: p 1, p 2, p 3, …, p n seien Primzahlen. E = p 1 p 2 p 3 … p n + 1 : Keine der Zahlen p 1, p 2, p 3, …, p n teilt E. Die Primfaktoren von E sind neue Primzahlen.

28 Primzahlen28 Der Beweis von Hermite Charles Hermite 1822 – 1901 Wichtige Arbeiten: Zahlentheorie, elliptische Funktionen, quadratische Formen, e ist transzendent.

29 Primzahlen29 Der Beweis von Hermite Die Idee: Ist eine Zahl n gegeben, so gibt es eine Primzahl größer als n. Die Folgerung: Es gibt unendlich viele Primzahlen.

30 Primzahlen30 Der Beweis von Hermite für n = 5 Keine der Zahlen 2, 3, 4, 5 kann H 5 = (1 ·2 ·3 ·4 ·5) + 1 = 5! + 1 teilen. Also ist jeder Primfaktor von H 5 größer als 5.

31 Primzahlen31 Der Beweis von Hermite für n Keine der Zahlen 2, 3, 4, …, n kann H n = (1 · 2 · 3 · 4 · … · n) +1 = n! + 1 teilen. Also ist jeder Primfaktor von H n größer als n.

32 Primzahlen32 Kummers Beweis: Der Schönste Ernst Eduard Kummer 1810 – 1893 Wichtige Arbeiten zur Analysis, Zahlentheorie, Fermats Vermutung

33 Primzahlen33 Kummers Beweis Die Folgerung: Es gibt unendlich viele Primzahlen! Die Idee: Wenn es nur endlich viele Primzahlen gibt, dann entsteht ein Widerspruch

34 Primzahlen34 Kummers Beweis: Annahme: Es gibt nur die n Primzahlen p 1, p 2, p 3, …, p n. Bilde Z = p 1,· p 2, · p 3 ·… · p n. Die Primfaktorzerlegung von Z-1 enthält dann eine dieser Primzahlen als Faktor, etwa p i. Dann muss p i auch Z – (Z-1) = 1 teilen. Dies geht nicht!

35 Primzahlen35 Unendlich viele Primzahlen, ist das genug? In der Kryptologie interessant: Primzahlen mit etwa 300 Stellen. Gibt es genügend viele davon? Es gibt unendlich viele Zahlen der Form n n, aber nur 149 mit weniger als 300 Stellen.

36 Primzahlen36 Richtig gemein: Primzahlenlücken Es gibt beliebig große Primzahlenlücken. Als Beispiel: Eine Lücke der Länge 42 43! + 2, 43! + 3, 43! + 4, ….., 43! + 43 (Aber: 43! = )

37 Primzahlen37 Die Verteilung der Primzahlen

38 Primzahlen38 Erste gute Ergebnisse: Pafnuty Tschebycheff 1821 – 1894 Arbeiten zur Analysis, Zahlentheorie

39 Primzahlen39 Tschebycheffs Ergebnis:

40 Primzahlen40 Der Primzahlensatz (1896) Satz: Für große x:

41 Primzahlen41 Der Primzahlensatz (1896) Nicolas de la Vallee- Poussin (1866 – 1962)

42 Primzahlen42 Der Primzahlensatz (1896) Jacques Salomon Hadamard (1865 – 1963)

43 Primzahlen43 Wie viele Primzahlen bis ?

44 Primzahlen44 Bestimmung von Primzahlen Verschiedene Vorgehensweisen: –Siebe (Eratosthenes, quadratische Siebe) –Formeln (traurig und schön) –Monte-Carlo-Methoden für große Primzahlen

45 Primzahlen45 Das Sieb des Eratosthenes Eratosthenes Geb.: 276 v. Chr. In Cyrene (Libyen) Gest.: 194 v. Chr. in Alexandria U.a.: Zahlentheoretiker.

46 Primzahlen46 Eratosthenes Ein sehr kluger Mann Bestimmte den Erdradius

47 Primzahlen47 Eratosthenes: Alle Primzahlen bis 50 bestimmen. Sein modernes Verfahren: Iterationsverfahren Start: Wie fange ich an? Iterationsschritt: Immer die gleichen Schritte. Mit veränderten Daten. Abbruch: Wann höre ich auf?

48 Primzahlen48 Sieb des Eratosthenes: Alle Primzahlen bis

49 Primzahlen49 Sieb des Eratosthenes: Alle Primzahlen bis

50 Primzahlen50 Sieb des Eratosthenes: Alle Primzahlen bis

51 Primzahlen51 Sieb des Eratosthenes: Alle Primzahlen bis

52 Primzahlen52 Sieb des Eratosthenes: Alle Primzahlen bis

53 Primzahlen53 Sieb des Eratosthenes: Alle Primzahlen bis

54 Primzahlen54 Sieb des Eratosthenes: Alle Primzahlen bis

55 Primzahlen55 Sieb des Eratosthenes: Alle Primzahlen bis 50: π(50) =

56 Primzahlen56 Primzahlen nach Formeln: Mersenne Zahlen Marin Mersenne Geb.: 1588 in Oize Gest.: 1648 in Paris Mathematiker und Physiker, suchte Formeln für Primzahlen

57 57 Mersenne Zahlen M(p) = 2 p – 1, p Primzahl M(2) = 2 2 – 1 = 4 – 1 = 3 M(3) = 2 3 – 1 = 8 – 1 = 7 M(5) = = =31 M(7) = 2 7 – 1 = 128 – 1 = 127 M(11) = 2 11 – 1 = = 23*89, keine Primzahl

58 Primzahlen58

59 Primzahlen59 Mersenne Zahlen: M 44 ( ) M 44 = – 1 M 44 besitzt Stellen! M 44 als Textdatei: 10 MB

60 Primzahlen

61 Primzahlen61 M 44 Ausgedruckt mit 8-Punktschrift: Etwa 1200 Seiten

62 Primzahlen62 Eine Formel für alle Primzahlen Hardy und Wrights Formel n Zweien bei f(n) ω = … Zur Berechnung von ω benötigt man alle Primzahlen Nicht sehr praktisch! Es gibt weitere solcher Formeln

63 Primzahlen63 Godfrey Harold Hardy Geb.: 1877 in Cranleigh Gest.: 1947 in Cambridge Einer der bedeutendsten Zahlentheoretiker des 20. Jahrhunderts

64 Primzahlen64 Primzahlenzwillinge Primzahlen im Abstand 2: 3, 5 11, 13 29, , 103 ……..

65 Primzahlen65 Wie viele Zwillinge gibt es? Man weiß es nicht. Wahrscheinlich unendlich viele (Hardy) Neueste Ergebnisse aus den USA und der Türkei stützen dies

66 Primzahlen66 Viggo Brun Mathematiker, Norweger 1885 – 1978 Bedeutender Zahlentheoretiker

67 Primzahlen67 Bruns Witz

68 Primzahlen68 Wege zum Ruhm: Probleme der Zahlentheorie Die Goldbachsche Vermutung, Die Riemannsche Vermutung, Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlenzwillinge gibt Ein schnelle Algorithmus zur Primfaktorzerlegung

69 Primzahlen69 Konkurrenten

70 Primzahlen70 Die Goldbachsche Vermutung Christian Goldbach Geb.: 1690 in Königsberg Gest.: 1764 in Moskau

71 Primzahlen71 Die Vermutung Beispiel: 100 = = = = …. Goldbach II: Jede ungerade Zahl > 7 ist die Summe von drei ungeraden Primzahlen Beispiel: 51 = = = = …. Goldbach I: Jede gerade Zahl 4 ist Summe zweier Primzahlen.

72 Primzahlen72 Goldbach I: State of the Art Bestätigt bis 2x10 16 Jede gerade Zahl ist Summe von höchstens 6 Primzahlen Vinogradov: Jede genügend große Zahl ist Summe von höchstens 4 Primzahlen Vinogradov: Fast alle geraden Zahlen sind Summe von 2 Primzahlen Cheng Jing-run (1966): Jede gerade Zahl 4 ist Summe aus einer Primzahl und einer Zahl mit höchstens zwei Primfaktoren

73 Primzahlen73 Goldbach I: Im Jahr 2000 wurde ein Preis von $ für den Beweis der Goldbachschen Vermutung ausgesetzt. Nach Ansicht der meisten Mathematiker stimmt die Goldbachsche Vermutung; statistische Argumente sprechen dafür.

74 Primzahlen74 Bernhard Riemann (1826 – 1866) Nachfolger von Gauß in Göttingen Mathematisches Genie Ohne ihn keine allgemeine Relativitäts- theorie

75 Primzahlen75 Die Riemannsche Vermutung

76 Primzahlen76 Primzahlenzwillinge Zeigen Sie, dass es unendlich viele gibt, entschärfen Sie den Witz von Viggo Brun. Sie werden länger berühmt sein als Daniel Kübelböck. Sie werden die Fields-Medaille oder den Abelpreis erhalten.

77 Primzahlen77 Ein schneller Algorithmus zur PFZ Überleben schwierig! Falls doch, Sie sind berühmt, für immer!

78 Primzahlen78 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit Eine Literaturliste liegt aus. Der Vortrag unterliegt der GNU-License. PDF-Version des Vortrags demnächst auf der Tholeyer Homepage Für (nicht allzu) kritische Kommentare bin ich dankbar.


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