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Primzahlen zum Zweiten 1 Mehr über Primzahlen und Zahlentheorie.

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1 Primzahlen zum Zweiten 1 Mehr über Primzahlen und Zahlentheorie

2 Primzahlen zum Zweiten 2 Referenzen: Meine Hochschule

3 Primzahlen zum Zweiten 3 Referenzen: Meine Gemeinde Fritz-Herrmann Lutz, bewundernswerter Kommunikator, aber: Er hat noch nie eine Matheveranstaltung in Eppelborn besucht. Mathephobie? Zur Zeit Wahlk(r)ampf

4 Primzahlen zum Zweiten 4 Der Plan Was sind Primzahlen und warum sie interessant sind Es gibt unendlich viele Primzahlen Praxis, Primfaktorzerlegung Pause für notwendige körperliche Aktivitäten Primzahlenzwillinge Rekorde Wie Sie berühmt werden können Wie geht es weiter?

5 Primzahlen zum Zweiten 5 Anmerkungen Was kann man einem intelligenten Laien- publikum zumuten? Nicht alle Ankündigungen werden erfüllt Das Problem der Ergebnissicherung

6 Primzahlen zum Zweiten 6 Primzahlen Die endgültige Definition: Eine natürliche Zahl, von 1 verschieden, heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. 1 ist keine Primzahl. (Eine Konvention der Mathematiker)

7 Primzahlen zum Zweiten 7 Einige Primzahlen Der Anfang: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …. Einige größere Primzahlen: 131, 313, 641, , , eine Zahl mit Dezimalstellen. Die größte bekannte Primzahl ( !)

8 Primzahlen zum Zweiten 8 Anmerkung 2 73 – 1 ist keine Primzahl, denn: 2 73 – 1 = = 439 * ( ) * ( )

9 Primzahlen zum Zweiten 9 Anmerkung zur Anmerkung Können Sie diese Rechnung überprüfen? –Wie kann man 2 73 berechnen? (2*2*2*…*2, 73 Faktoren)? –Wie berechnet man dieses Riesenprodukt bei der Zerlegung? –Haben Sie Vertrauen zu Programmen?

10 Primzahlen zum Zweiten 10 Warum Primzahlen wichtig sind (aus der Sicht der Mathematiker) Der Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede Zahl lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen Beispiele: 42 = = = Sie finden dies bei Euklid

11 Primzahlen zum Zweiten 11 Warum Primzahlen wichtig sind (Praxis) Große Primzahlen für asymmetrische Verfahren der Kryptologie Es ist schwierig, die Primfaktorzerlegung großer Zahlen herzustellen.

12 Primzahlen zum Zweiten 12 Wie viele Primzahlen gibt es? Euklid: Es gibt unendlich viele Primzahlen

13 Primzahlen zum Zweiten 13 Schönheit in der Mathematik Paul Erdös Idee: Proofs from the Book Eine Sammlung schöner Beweise

14 Primzahlen zum Zweiten 14 Euklids Beweis, ins Konstruktive gewendet Die Idee: Aus endlich vielen Primzahlen kann man eine neue konstruieren. Beispiele: p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5 E = = 31: Eine neue Primzahl!

15 Primzahlen zum Zweiten 15 Euklids Beweis, ins Konstruktive gewendet Beispiele: p 1 = 3, p 2 = 5, p 3 = 7 E = = 106: Keine neue Primzahl! Aber: E enthält nur neue Primzahlen als Faktoren, hier die Zahlen 2 und 53. Keine der Zahlen 3,5,7 teilt 106

16 Primzahlen zum Zweiten 16 Euklids Beweis, ins Konstruktive gewendet Allgemein: p 1, p 2, p 3, …, p n seien Primzahlen. E = p 1 p 2 p 3 … p n + 1 : Keine der Zahlen p 1, p 2, p 3, …, p n teilt E. Die Primfaktoren von E sind neue Primzahlen.

17 Primzahlen zum Zweiten 17 Beweise für die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen Sechs Beweise in THE BOOK 12 Beweise in Narkiewicz, The Development of Prime Number Theory 27 Beweise auf

18 Primzahlen zum Zweiten 18 Der Fakultätenbeweis Idee: Keine der Zahlen 1, 2, 3, 4, …, n ist Teiler von f(n) = n! + 1. Also sind alle Primfaktoren von f(n) größer als n.

19 Primzahlen zum Zweiten 19 Exkurs: Fakultäten 4! = 1234 = 24 n! = 123 (n-1) n 0! = 1 5! = ! =

20 Primzahlen zum Zweiten 20 Warum Rainer Roos Mathematiker wurde Warum ist 0! = 1? Ist x! eine richtige Funktion? Wie kommt ein Auto zum Stehen? Später: Wie sicher sind mathematische Aussagen?

21 Primzahlen zum Zweiten !

22 Primzahlen zum Zweiten ! \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

23 Primzahlen zum Zweiten 23 Stirlingsche Formel James Stirling, 1692 – 1770, Mitstreiter Newtons

24 Primzahlen zum Zweiten 24 Der Fakultätenbeweis nZerlegung von n!

25 Primzahlen zum Zweiten 25 Der Satz von Wilson p ist genau dann eine Primzahl, wenn p ein Teiler von (p-1)! + 1 ist. Beispiel: p = 7: 7 teilt 6! + 1; 7 ist Primzahl p = 6; 6 teilt 5! + 1 nicht; 6 keine Primzahl

26 Primzahlen zum Zweiten 26 Ein Beweis mit Fermat-Zahlen aus dem Buch Pierre de Fermat Geb.: 1601 in Beaumont de Lomagne Gest.: 1665 in Castres Genialer Zahlentheoretiker

27 Primzahlen zum Zweiten 27 Fermat-Zahlen Fermats Vermutung: Alle Zahlen dieser Form sind Primzahlen.

28 Primzahlen zum Zweiten 28 Fermat-Zahlen F(0) = = 3, Primzahl F(1) = = 5, Primzahl F(2) = = 17, Primzahl F(3) = = 257, Primzahl F(4) = = , Primzahl F(5) = = =

29 Primzahlen zum Zweiten 29 Eine wunderschöne Idee: Man zeigt: Die Fermat-Zahlen sind paarweise teilerfremd. Daher enthalten verschiedene Fermatzahlen verschiedene Primfaktoren. Es gibt aber unendlich viele Fermatzahlen, fertig!

30 Primzahlen zum Zweiten 30 Teilerfremde Zahlen Beispiele: 25, 42 sind teilerfremd 40, 63 sind teilerfremd 24, 42 sind nicht teilerfremd: 2, 3, 6 sind gemeinsame Teiler

31 Primzahlen zum Zweiten 31 Die Teilerfremdheit der F(n) Man beweist: Für jede natürliche Zahl n gilt: F(0)F(1)F(2) F(n-1) = F(n) - 2

32 Primzahlen zum Zweiten 32 F(0)F(1)F(2) F(n-1) = F(n) - 2 F(0)F(1) F(2) = F(3) – 2: = 257 – 2

33 Primzahlen zum Zweiten 33 F(0)F(1)F(2) F(n-1) = F(n) - 2 F(0)F(1) F(2) = F(3) – 2:

34 Primzahlen zum Zweiten 34 F(0)F(1)F(2) F(n-1) = F(n) - 2 Jeder gemeinsame Teiler von F(i), i

35 Primzahlen zum Zweiten 35 Bestimmung von Primzahlen Verschiedene Vorgehensweisen: –Siebe (Eratosthenes, quadratische Siebe) –Formeln (traurig und schön) –Monte-Carlo-Methoden für große Primzahlen

36 Primzahlen zum Zweiten 36 Eine Formel für alle Primzahlen Hardy und Littlewoods Formel n Zweien bei f(n) ω = … Zur Berechnung von ω benötigt man alle Primzahlen Nicht sehr praktisch! Es gibt weitere solcher Formeln

37 Primzahlen zum Zweiten 37 Noch einmal: Drei wichtige Probleme Wie findet man große Primzahlen? Wie prüft man große Zahlen auf Primzahl- eigenschaft? Wie hoch ist der Aufwand, beliebige große Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen?

38 Primzahlen zum Zweiten 38 Große Primzahlen für die Praxis Erzeuge eine Zufallszahl mit vorgegebener Stellenzahl. Teste, ob die Zahl durch kleine Primzahlen teilbar ist. Teste mit einem probabilistischen Test auf Primalität, mehrfach.

39 Primzahlen zum Zweiten 39 Probabilistische Tests (z.B. Miller- Rabin) Sagt der Test nein, dann keine Primzahl. Sagt der Test ja, dann mit hoher Wahrscheinlichkeit Primzahl. Irrtumswahrscheinlichkeit: etwa 0,001 Bei n-maliger erfolgreicher Durchführung ist die Fehlerwahrscheinlichkeit (0,001) n.

40 Primzahlen zum Zweiten 40 Deterministische Tests für beliebige Zahlen n Bis vor wenigen Monaten nur Tests mit nicht polynomialer Laufzeit in n. Seit dem sieht die dieser Teil der Primzahlenwelt freundlicher aus.

41 Primzahlen zum Zweiten 41 Test von Nitin, Neeraj, Manindra (August 2002) A(n) = Aufwand, n auf Primalität zu testen A (n) = O((ln n) 12 )

42 Primzahlen zum Zweiten 42 Aufwand bei Primfaktorzerlegung: Quadratisches Sieb

43 Primzahlen zum Zweiten 43 Aufwand beim quadratischen Sieb

44 Primzahlen zum Zweiten 44 Primzahlenzwillinge Primzahlen im Abstand 2: 3, 5 11, 13 29, , 103 ……..

45 Primzahlen zum Zweiten 45 Die Top 10

46 Primzahlen zum Zweiten 46 Wie viele Zwillinge gibt es? Man weiß es nicht. Wahrscheinlich unendlich viele (Hardy)

47 Primzahlen zum Zweiten 47 Bruns Witz

48 Primzahlen zum Zweiten 48 Viggo Brun Norwegischer Mathematiker, 1885 – 1978 Bedeutender Zahlen- theoretiker

49 Primzahlen zum Zweiten 49 Rekorde 2. Dezember 2003: Größte Primzahl entdeckt, Typ Mersenne: M( ) = – 1 Diese Zahl hat Dezimalstellen! Projekt GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search)

50 Primzahlen zum Zweiten 50 Wie groß ist diese Zahl? In Winword bei 12-Punkt-Arial 3825 Einsen pro Seite Also : 3825 Seiten, dies sind mehr als 1650 Seiten

51 Primzahlen zum Zweiten 51 Einige Anmerkungen M 40 oder M 41 oder M 42 ? Preise: $ für die erste Primzahl mit Stellen $ für die erste Primzahl mit Stellen $ für die erste Primzahl mit Stellen (Electronic Frontier Foundation)

52 Primzahlen zum Zweiten 52 Wege zum Ruhm: Offene Probleme der Zahlentheorie Die Goldbachsche Vermutung Die Riemannsche Vermutung Vermutung, dass es nur endlich viele Fermatprimzahlen gibt Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlenzwillinge gibt Ein schnelle Algorithmus zur Primfaktorzerlegung

53 Primzahlen zum Zweiten 53 Konkurrenten beim Berühmtwerden

54 Primzahlen zum Zweiten 54 Die Goldbachschen Vermutungen Christian Goldbach Geb in Königsberg Gest.: 1764 in Moskau Bedeutender preussischer Mathematiker, Zusammenarbeit mit Euler und den Bernoullis

55 Primzahlen zum Zweiten 55 Brief an Euler 1742

56 Primzahlen zum Zweiten 56 Die Vermutungen Goldbach I: Jede gerade Zahl 4 ist Summe zweier Primzahlen. Beispiel: 100 = = = = …. Goldbach II: Jede ungerade Zahl > 7 ist die Summe von drei ungeraden Primzahlen Beispiel: 51 = = = = ….

57 Primzahlen zum Zweiten 57 Goldbach I: State of the Art Bestätigt bis 2x10 16 Jede gerade Zahl ist Summe von höchstens 6 Primzahlen Vinogradov: Jede genügend große Zahl ist Summe von höchstens 4 Primzahlen Vinogradov: Fast alle geraden Zahlen sind Summe von 2 Primzahlen Cheng Jing-run (1966): Jede gerade Zahl 4 ist Summe aus einer Primzahl und einer Zahl mit höchstens zwei Primfaktoren

58 Primzahlen zum Zweiten 58 Goldbach I: State of the Art Im Jahr 2000 wurde ein Preis von $ für den Beweis der Goldbachschen Vermutung ausgesetzt. Nach Ansicht der meisten Mathematiker stimmt die Goldbachsche Vermutung; statistische Argumente sprechen dafür.

59 Primzahlen zum Zweiten 59 Goldbach II: State of the Art Cheng und Wang 1989: Jede Zahl n > erfüllt Goldbach II Mit der Riemannschen Vermutung: Jede Zahl > 1, erfüllt Goldbach II; Überprüfung mit Computern war erfolgreich!

60 Primzahlen zum Zweiten 60 Bernhard Riemann (1826 – 1866) Nachfolger von Gauß in Göttingen Mathematisches Genie Ohne ihn keine allgemeine Relativitäts- theorie

61 Primzahlen zum Zweiten 61 Die Riemannsche Vermutung

62 Primzahlen zum Zweiten 62 Ein weiterer Weg zum Ruhm Es gibt nur endlich viele Fermat- Primzahlen

63 Primzahlen zum Zweiten 63 Primzahlenzwillinge Zeigen Sie, dass es unendlich viele gibt, entschärfen Sie den Witz von Viggo Brun. Sie werden länger berühmt sein als Daniel Kübelböck. Sie werden die Fields-Medaille oder den Abelpreis erhalten.

64 Primzahlen zum Zweiten 64 Ein schneller Algorithmus zur PFZ Überleben schwierig! Falls doch, Sie sind berühmt, für immer!

65 Primzahlen zum Zweiten 65 Literaturtipps Harald Scheid: Zahlentheorie Spektrum Verlag 2003, 49,95 Paolo Ribenboim: My Numbers, my Friends Springer Verlag 2000, 39,95 $ Paolo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records Springer Verlag 1996, 40,41

66 Primzahlen zum Zweiten 66 Links (The Mac-Tutor of History of Mathematics Archive)

67 Primzahlen zum Zweiten 67 Weitere Veranstaltungen Mathe für Alle in Eppelborn: Induktion und voll- ständige Induktion Im April 2004 Schrecken der Unendlichkeit II: Am um in Tholey. Ort: Sitzungsaal im Rathaus


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