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Theorie der unscharfen Mengen Wintersemester 2005/2006.

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Präsentation zum Thema: "Theorie der unscharfen Mengen Wintersemester 2005/2006."—  Präsentation transkript:

1 Theorie der unscharfen Mengen Wintersemester 2005/2006

2 Vorlesung Montags, 09.15–11.00h, MIB-1107 Übung Freitags (ungerade Woche), 09.15–11.00h, MIB-1107 Veranstalter Dr. Tatiana Starostina Tel Sprechstunde nach Vereinbarung Theorie der unscharfen Mengen

3 Literatur 1). Dirk H. Träger Einführung in die Fuzzy-Logik Teubner, Stuttgart, ). Hans Bandemer und Siegfried Gottwald Einführung in die Fuzzy Methoden 4. Auflage, Akademie-Verlag, Berlin ). Hans Bandemer and Siegfried Gottwald Fuzzy Sets, Fuzzy Logic, Fuzzy Methods with Applications John Wiley & Sons, Chichester ). George J. Klir and Bo Yuan Fuzzy Sets and Fuzzy Logic – Theory and Applications Prentice Hall, ). Hans-Jürgen Zimmermann Fuzzy set theory and its applications 2nd ed., Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Theorie der unscharfen Mengen

4 Geschichte Platon ( a.d.) Vermutung: es gibt eine dritte Region zwischen wahr und falsch Aristoteles ( a.d.) Das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten (bestimmt die Entwicklung mathematischer und logischer Systeme in den nächsten zwei Jahrtausenden) Theorie der unscharfen Mengen

5 Geschichte Georg Hegel ( ) Moderne Philosophen wie G. Hegel und B. Russel nahmen Platons Vermutung wieder auf. B. Russell ( ) Russel : The law of the excluded middle is true, when precise symbols are employed, but it is not true, when symbols are vague, as, in fact, all symbols are. Theorie der unscharfen Mengen

6 Geschichte J. Lukasiewicz ( ) systematische Alternative zur zweiwertigen Logik wahr (1), possible (1/2), falsch(0) später vier und fünfwertige Logik schließlich unendlichwertige Logik alle Zahlen im Intervall [0,1] M. Black ( ) Verfahren zur numerischen Darstellung von Unschärfe von Symbolen (in Anlehnung an Russel) Definition der Ungenauigkeit oder Vagheit eines Symbols unter Zuhilfenahme des Komplements: es gibt mindestens ein Element, das weder vollständig zum Symbol noch vollständig zum Komplement gehört Menge der Elemente, die nicht eindeutig zugeordnet werden können: frings = Fransen Theorie der unscharfen Mengen

7 Geschichte Lotfi Zadeh (geb. 1921) grundlegender Artikel Fuzzy-Sets (1965) Theorie der unscharfen Mengen verbindet darin Blacks Idee der frings mit Lukasiewiczs unendlichwertiger Logik Theorie der unscharfen Mengen wurde durch die Beobachtung Lotfi ZADEHs ausgelöst, dass Menschen anscheinend in Kategorien denken und kommunizieren, die sich von den in Mengenlehre und Logik verwendeten (dualen) Strukturen unterscheiden. Dies war zwar schon früher erkannt worden, aber ZADEH war der erste, den diese Beobachtung zur Formulierung einer neuen Theorie veranlasste. Theorie der unscharfen Mengen

8 Geschichte 80-iger Jahre: Entdeckung des praktischen Nutzens in Japan: erste fuzzy-geregelte Waschmaschinen, Staubsauger höherer Bedienkomfort, Aufsehen als denkende Konsumgüter erster Fuzzy-Regler in großtechnischer Anwendung Vermutung als neues Universalwerkzeug der Regelungstechnik Skepsis in Europa, besonders in Deutschland Qualitätsverbesserung bei Fuzzy-Einsatz oft durch zusätzliche Sensorik erreicht 70-iger Jahre: einige europäische Wissenschaftler befassten sich mit der unscharfen Logik und entwickelten erste erfolgreiche Anwendungen für industrielle Prozesse und Regelungen 90-iger Jahre: Fuzzy-Logik und Fuzzy-Control von Hochschulen aufgegriffen Fuzzy-Technologie keine vorübergehende Mode, sondern Revolution, die mit Denkgewohnheiten bricht und praktisch vorzeigbar Vorteile bringt neuer Zweig der Regelungstechnik ist entstanden Querschnittswissenschaft, die auch in nichttechnischen Bereichen Vorteile verspricht Theorie der unscharfen Mengen

9 Ziele der Theorie der unscharfen Mengen 1) Modellverbesserung (Relaxierung); 2) Komplexitätsreduktion; 3) Modellierung von Unsicherheit; 4) bedeutungserhaltendes Schließen. Theorie der unscharfen Mengen

10 Die wichtigste Anwendungen der unscharfen Mengen (methodische Sicht) Theoretische Anwendungen: Mathematik (Algebra, Logik usw.); Ökonomie; Psychologie. Modellbasierte und algorithmische Anwendungen: Unscharfe Optimierung; Unscharfes Clustern; Unscharfe Petri-Netze; Unscharfe mehrkriterielle Analyse; Unscharfe Netzplantechnik. Theorie der unscharfen Mengen

11 Die wichtigste Anwendungen der unscharfen Mengen Informationsverarbeitung: Unscharfe Datenbanken; Fuzzy-Programmiersprachen. Wissensbasierte Anwendungen: Fuzzy Control; Unscharfe Datenanalyse; Fuzzy-Expertensysteme. Theorie der unscharfen Mengen

12 Anwendungsgebiete Wirtschaftswissenschaften; Entscheidungstheorie; Finanzdienstleistungen; Mathematik: - Topologie; - Algebra; - Graphen und Netze; - Optimierung usw. Naturwissenschaften : - Physik (Quantenmechanik, Strömungsdynamik); - Chemie (Wirkstrukturanalyse); - Medizin; - Geologie, Ökologie usw. Ingenieurwissenschaften: - Regelung und Steuerung (Elektrotechnik, Maschinenbau); - Automatisierung; - Qualitätssicherung (unscharfe Datenanalyse). Theorie der unscharfen Mengen

13 Typen der Unsicherheit Theorie der unscharfen Mengen

14 Klassische Mengen Theorie der unscharfen Mengen

15 Klassische Mengen Theorie der unscharfen Mengen Beispiel Die Grundmenge X ist über folgende Fahrzeuge gegeben: Dreirad Traktor Trabant VW Golf Porsche Formel1 Flugzeug -Wagen ca. 2km/h 50 km/h 100 km/h 180 km/h 250 km/h 350 km/h 800 km/h

16 Klassische Mengen Theorie der unscharfen Mengen Beispiel Dreirad Traktor Trabant VW Golf Porsche Formel1 Flugzeug Die Menge A der schnellen Fahrzeuge: A={Flugzeug}

17 Klassische Mengen Theorie der unscharfen Mengen Beispiel Die Menge A der schnellen Fahrzeuge: A={VW Golf, Porsche, Formel1, Flugzeug} Dreirad Traktor Trabant VW Golf Porsche Formel1 Flugzeug

18 Unscharfe Mengen Theorie der unscharfen Mengen Mathematische Notation nach ZADEH : für endliche unscharfe Mengen: für stetige unscharfe Mengen:

19 Unscharfe Mengen Theorie der unscharfen Mengen

20 Unscharfe Mengen Theorie der unscharfen Mengen Beispiel Abb. Darstellung der unscharfen Menge Schnell = {(Dreirad; 0), (Traktor; 0,1), (Trabant; 0,2), (VW Golf; 0,4), (Porsche; 0,6), (Formel1; 0,7), (Flugzeug; 1)}.

21 Unscharfe Mengen Theorie der unscharfen Mengen Unscharfe Mengen werden durch Zugehörigkeitsfunktionen (ZGF) repräsentiert. Die Art der Darstellung ist von der Grundmenge X abhängig. X hat endlich viele Elemente Besitzt X sehr viele Elemente oder X ist ein Kontinuum, z.B. kontinuierliche Messgrößen diskrete Darstellung von ZGFparametrische Darstellung von ZGF

22 Häufig auftretende Typen der Zugehörigkeitsfunktionen Theorie der unscharfen Mengen 1) Trapezförmige a b d x 1 0 2) Dreieckförmige (Trianguläre) mit a < b < c < d.

23 Theorie der unscharfen Mengen 3) Monoton fallende Funktion lineare Funktion: (L-Funktion) geglättete Funktionen: Häufig auftretende Typen der Zugehörigkeitsfunktionen a b x 1 0

24 Theorie der unscharfen Mengen 4) Monoton steigende Funktion lineare Funktion: ( -Funktion) ab x 1 0 geglättete Funktion: (geglättete -Funktion) Häufig auftretende Typen der Zugehörigkeitsfunktionen

25 Weitere Typen der Zugehörigkeitsfunktionen Theorie der unscharfen Mengen Zadehs S-Funktion Die Funktion des Exponentialtyps

26 Unscharfe Mengen Theorie der unscharfen Mengen Definitionen Beispiel [Zimmermann, 1991]: = {80, 100, 120, 140, 160} Träger:

27 Unscharfe Mengen Theorie der unscharfen Mengen Definitionen

28 -Niveaumengen Theorie der unscharfen Mengen x ( x ) 1 0 A

29 Klassische Mengen Theorie der unscharfen Mengen Operationen

30 Unscharfe Mengen Theorie der unscharfen Mengen Operationen

31 Operationen von unscharfen Mengen Theorie der unscharfen Mengen

32 Operationen von unscharfen Mengen Theorie der unscharfen Mengen

33 Operationen von unscharfen Mengen Theorie der unscharfen Mengen

34 Operationen von unscharfen Mengen Theorie der unscharfen Mengen

35 Operationen von unscharfen Mengen Theorie der unscharfen Mengen

36 Operationen von unscharfen Mengen Theorie der unscharfen Mengen

37 Operationen von unscharfen Mengen Theorie der unscharfen Mengen

38 Folgerung Theorie der unscharfen Mengen

39 Eigenschaften von klassischen Mengen Theorie der unscharfen Mengen

40 Eigenschaften von unscharfen Mengen Theorie der unscharfen Mengen M = {a, b, c}

41 Eigenschaften von klassischen Mengen Theorie der unscharfen Mengen

42 Eigenschaften von unscharfen Mengen Theorie der unscharfen Mengen


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