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KI 14-Bayes-Netze1 Bayes-Netze. KI 14-Bayes-Netze2 Überblick Syntax Semantik.

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Präsentation zum Thema: "KI 14-Bayes-Netze1 Bayes-Netze. KI 14-Bayes-Netze2 Überblick Syntax Semantik."—  Präsentation transkript:

1 KI 14-Bayes-Netze1 Bayes-Netze

2 KI 14-Bayes-Netze2 Überblick Syntax Semantik

3 KI 14-Bayes-Netze3 Bayes-Netze Bayes-Netze sind eine graphische Notation für Aussagen über bedingte Unabhängigkeit und damit ein praktischer Weg, gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu spezifizieren. Syntax: –Eine Menge von Knoten, einer pro Zufallsvariable. –Ein gerichteter azyklischer Graph Kante von A nach B bedeutet: A beeinflusst B. A heißt Elternknoten von B. –Eine bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung für jeden Knoten in Abhängigkeit von seinen Elternknoten: P (X i | Eltern(X i )) Im einfachsten Fall wird die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung repräsentiert als eine Tabelle (conditional probability table – CPT) bedingter Wahrscheinlichkeiten, d.h. die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X i wird für jede Wertekombination der Elternknoten gegeben.

4 KI 14-Bayes-Netze4 Beispiel Topologie des Netzes kodiert Abhängigkeiten durch bedingte Unabhängigkeit: Wetter ist unabhängig von den anderen Variablen Zahnschmerzen und Catch sind bedingt unabhängig bei gegebenem Wert für Loch.

5 KI 14-Bayes-Netze5 Ich bin nicht zu Hause. Nachbar John ruft an und sagt, dass meine Alarmanlage Alarm gibt, aber meine Nachbarin Mary ruft nicht an. Manchmal springt die Alarmanlage wegen eines kleinen Erdbebens an. Liegt ein Einbruch vor? Variable: Einbruch, Erdbeben, Alarm, JohnRuftAn, MaryRuftAn Netztopologie bildet kausales Wissen ab: –Ein Einbrecher kann Alarm auslösen. –Ein Erdbeben kann Alarm auslösen. –Der Alarm kann bewirken, dass Mary anruft. –Der Alarm kann bewirken, dass John anruft. Beispiel

6 KI 14-Bayes-Netze6 Beispiel Bei Fehlalarm Zeitangabe nötig !

7 KI 14-Bayes-Netze7 Kompaktheit Eine CPT (conditional probability table) für Boolesche X i mit k Booleschen Elternknoten hat 2 k Zeilen für die Kombinationen der Werte der Elternknoten. Jede Zeile erfordert je eine Zahl p für X i = wahr (die Wahrscheinlichkeit für X i = falsch ist 1-p). Wenn jede von n Variable nicht mehr als k Elternknoten hat, erfordert die Spezifikation des gesamten Netzes O(n · 2 k ) Zahlen. D.h. Aufwand wächst linear mit n gegenüber O(2 n ) für die vollständige gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung. Für Einbruchsnetz: n=5, = 10 Zahlen (gegenüber = 31).

8 KI 14-Bayes-Netze8 Semantik Vollständige gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung ist Produkt der lokalen bedingten Wahrscheinlichkeitsverteilungen: P (X 1, …,X n ) = π i = 1 P (X i | Eltern(X i )) z.B. P(j m a b e) = P (j | a) P (m | a) P (a | b, e) P ( b) P ( e) Beachte: Gerichtete Kanten können kausale oder diagnostische Abhängigkeit bedeuten ! –Alarm JohnRuftAn : Kausale Abhängigkeit –JohnRuftAn Alarm : Diagnostische Abhängigkeit n

9 KI 14-Bayes-Netze9 Konstruktion von Bayes-Netzen 1. Wähle eine Ordnung der Variablen X 1, …,X n. 2. for i = 1 to n –Füge X i dem Netz hinzu. –Wähle Eltern von X i aus X 1, …,X i-1 so, dass gilt P (X i | Eltern(X i )) = P (X i | X 1,... X i-1 ). Durch diese Wahl der Elternknoten gilt: P (X 1, …,X n ) = π i =1 P (X i | X 1, …, X i-1 ) (Kettenregel) = π i =1 P (X i | Eltern(X i )) (per definitionem) Einwand: Wenn die Ordnung der Knoten willkürlich ist, sind die Eltern von X i möglicherweise nicht in X 1, …,X i-1 enthalten ! Antwort: Dann werden die Eltern zu Kindern (X i+1, …,X n ), d.h. kausale / diagnostische Abhängigkeit wird vertauscht. n n

10 KI 14-Bayes-Netze10 Wähle Ordnung M, J, A, B, E P(J | M) = P(J)? Beispiel

11 KI 14-Bayes-Netze11 Wähle Ordnung M, J, A, B, E P(J | M) = P(J)? Nein P(A | J, M) = P(A | J)? P(A | J, M) = P(A)? Beispiel

12 KI 14-Bayes-Netze12 Wähle Ordnung M, J, A, B, E P(J | M) = P(J)? Nein P(A | J, M) = P(A | J)? P(A | J, M) = P(A)? Nein P(B | A, J, M) = P(B | A)? P(B | A, J, M) = P(B)? Beispiel

13 KI 14-Bayes-Netze13 Wähle Ordnung M, J, A, B, E P(J | M) = P(J)? Nein P(A | J, M) = P(A | J)? P(A | J, M) = P(A)? Nein P(B | A, J, M) = P(B | A)? Ja P(B | A, J, M) = P(B)? Nein P(E | B, A, J, M) = P(E | A)? P(E | B, A, J, M) = P(E | A, B)? Beispiel

14 KI 14-Bayes-Netze14 Wähle Ordnung M, J, A, B, E P(J | M) = P(J)? Nein P(A | J, M) = P(A | J)? P(A | J, M) = P(A)? Nein P(B | A, J, M) = P(B | A)? Ja P(B | A, J, M) = P(B)? Nein P(E | B, A, J, M) = P(E | A)? Nein P(E | B, A, J, M) = P(E | A, B)? Ja Beispiel

15 KI 14-Bayes-Netze15 Beispiel Erkennung bedingter Unabhängigkeit ist schwieriger bei nicht- kausaler Orientierung der Kanten. Kausale Modelle und bedingte Unabhängigkeit sind beim Menschen offenbar hardwired ! Netz ist weniger kompakt: = 13 Zahlen zur Beschreibung.

16 KI 14-Bayes-Netze16 Zusammenfassung Bayes-Netze sind eine natürliche Repräsentation für bedingte Unabhängigkeit Topologie + CPTs = Kompakte Repräsentation der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung Experten einer Domäne können Bayes-Netze meist unschwer entwerfen.


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