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Der Wiener Prozess und seltene Ereignisse Markus Seidler

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Präsentation zum Thema: "Der Wiener Prozess und seltene Ereignisse Markus Seidler"—  Präsentation transkript:

1 Der Wiener Prozess und seltene Ereignisse Markus Seidler

2 Inhalt Normal und rare events Normal und rare events Wiener Prozess Wiener Prozess Poisson Prozess Poisson Prozess Charakteristik von normal bzw. rare events Charakteristik von normal bzw. rare events Erweiterung der SDE Erweiterung der SDE Momente Momente

3 Gewöhnliches Ereignis (normal event) Betrachtungszeitraum h wird kleiner  Größe der Ereignisse wird kleiner Betrachtungszeitraum h wird kleiner  Größe der Ereignisse wird kleiner Werden fast unbedeutend wenn h  0 Werden fast unbedeutend wenn h  0 aber Eintrittswahrscheinlichkeit wird nicht null aber Eintrittswahrscheinlichkeit wird nicht null

4 Seltenes Ereignis (rare event) In stetiger Zeit (h  0) Wahrscheinlichkeit  0 In stetiger Zeit (h  0) Wahrscheinlichkeit  0 ABER Größe muss nicht kleiner werden ABER Größe muss nicht kleiner werden

5 Kapitel 7 Asset Preis „Überraschunskomponente“ Asset Preis „Überraschunskomponente“ Varianz Varianz  Erwartete Größe Varianz proportional zu h Varianz proportional zu h Wahrscheinlichkeit (abhängig von h) x unabhängige Größe  SELTENES Ereignis Wahrscheinlichkeit (abhängig von h) x unabhängige Größe  SELTENES Ereignis Unabhängige Wahrscheinlichkeit x abhängiger Größe  GEWÖHNLICHES Ereignis Unabhängige Wahrscheinlichkeit x abhängiger Größe  GEWÖHNLICHES Ereignis

6 Modellieren von asset Preisen in stetiger Zeit Wiener Prozess (oder Brownsche Bewegung) Wiener Prozess (oder Brownsche Bewegung) Stetiger stochastischer Prozess Stetiger stochastischer Prozess Verwendung: Markt dominiert von gewöhnlichen Ereignissen und extreme Bewegungen sind selten (tail area – Normalverteilung) Verwendung: Markt dominiert von gewöhnlichen Ereignissen und extreme Bewegungen sind selten (tail area – Normalverteilung) Poisson Prozess Poisson Prozess Unstetig Unstetig Verwendung: systematische Sprünge verursacht durch seltene Ereignisse Verwendung: systematische Sprünge verursacht durch seltene Ereignisse Kombination beider Modelle Kombination beider Modelle

7 Wiener Prozess Zufallsvariable kann sich nur stetig verändern Zufallsvariable kann sich nur stetig verändern Kleiner Zeitintervall h  kleine Änderungen von Kleiner Zeitintervall h  kleine Änderungen von  Ereignisse gewöhnlich  Ereignisse gewöhnlich

8 Wiener Prozess ist ein quadratisch integrierbares Martingal mit = 0 und ist ein quadratisch integrierbares Martingal mit = 0 und Die Abbildungen von sind stetig über t Die Abbildungen von sind stetig über t s ≤ t

9 Eigenschaften Wiener Prozess hat nicht korrelierende unvorhersehbare Zunahmen weil es ein Martingal ist hat nicht korrelierende unvorhersehbare Zunahmen weil es ein Martingal ist hat Null Erwartungswert, weil es bei Null startet hat Null Erwartungswert, weil es bei Null startet hat Varianz t hat Varianz t Da Prozess stetig, gibt es in unendlich kleinen Intervallen, unendlich kleine Veränderungen Da Prozess stetig, gibt es in unendlich kleinen Intervallen, unendlich kleine Veränderungen

10 Poisson Prozess gesamte Anzahl an „extremen Schocks“ in einem Finanzmarkt gesamte Anzahl an „extremen Schocks“ in einem Finanzmarkt sind die Veränderungen in während einer unendlichen kleinen Zeitperiode sind die Veränderungen in während einer unendlichen kleinen Zeitperiode

11 Poisson Prozess Annahme: Rate der Erscheinungen während = ist der Prozess definiert als Annahme: Rate der Erscheinungen während = ist der Prozess definiert als ist ein quadratisch integrierbares Martingal ist ein quadratisch integrierbares Martingal Dabei ist Dabei ist

12 Unterschiede Die Abbildungen sind unterschiedlich Die Abbildungen sind unterschiedlich Stetige Graphen vs. Sprünge Stetige Graphen vs. Sprünge Die Wahrscheinlichkeit von Sprüngen wenn h  0, geht Richtung null. Die Wahrscheinlichkeit von Sprüngen wenn h  0, geht Richtung null. D.h. Abbildung ist weniger irregular. Obwohl es zu diskreten Sprüngen kommt es zu keiner unbegrenzten Variation im Gegensatz zum Wiener Prozess D.h. Abbildung ist weniger irregular. Obwohl es zu diskreten Sprüngen kommt es zu keiner unbegrenzten Variation im Gegensatz zum Wiener Prozess Deswegen ist die Definierung des Integrals auch einfacher. Deswegen ist die Definierung des Integrals auch einfacher.

13 Charakteristik seltener und normaler Ereignisse Kapitel 7: SDE Kapitel 7: SDE Annahme: Annahme: nur eine endliche Zahl nur eine endliche Zahl

14 Varianz von Varianz von Da endliche Nummer an Werten Da endliche Nummer an Werten

15 Linke Seite proportional zu h Linke Seite proportional zu h Jeder Term der Summe ist proportional zu h deswegen Jeder Term der Summe ist proportional zu h deswegen wobei c > 0 ist und einen Faktor der Proportion darstellt sind lineare Funktionen von h deswegen sind lineare Funktionen von h deswegen Laut Merton spezielle exponentiale Formen Laut Merton spezielle exponentiale Formen Wobei r und q nicht negative Konstanten sind und w und p in Abhängigkeit von i oder k, jedoch nicht von h.

16 Varianz: bzw. Varianz: bzw. Das bedeutet: Das bedeutet: und und mit folgenden Einschränkungen für und Deswegen zwei Arten von Ereignissen: Deswegen zwei Arten von Ereignissen: Gewöhnliche: Seltene: Gewöhnliche: Seltene:

17 Normal Event Annahme: = 0,5 Annahme: = 0,5 Größe wird kleiner, wenn h kleiner wird Größe wird kleiner, wenn h kleiner wird Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit bleibt konstant bleibt konstant

18 Smoothness („Glätte“) Eine Funktion ist „glatt“, wenn sie sich nicht abrupt verändert. f(x) ist „glatt“, wenn im Punkt die ratio endlich bleibt, trotz kleiner werdenden h. Eine Funktion ist „glatt“, wenn sie sich nicht abrupt verändert. f(x) ist „glatt“, wenn im Punkt die ratio endlich bleibt, trotz kleiner werdenden h. Mit = 0,5 Mit = 0,5 D.h. Intervall h wird kleiner, W verändert sich unendlich  Asset Preise verhalten sich STETIG, aber unregelmäßig. D.h. Intervall h wird kleiner, W verändert sich unendlich  Asset Preise verhalten sich STETIG, aber unregelmäßig.

19 Rare Event Mit = 0 und = 1 Mit = 0 und = 1 Wahrscheinlichkeit verschwindet wenn h  0 Wahrscheinlichkeit verschwindet wenn h  0 Während die Größe konstant bleibt Während die Größe konstant bleibt Die Abbildung beinhaltet Sprünge, die nicht kleiner werden. Die Abbildung beinhaltet Sprünge, die nicht kleiner werden.

20 Modelle für rare events SDE wenn h kleiner wird SDE wenn h kleiner wird Rare event fehlt Rare event fehlt Verwendung von Poisson Prozess mit Modifikationen (Konstante Rate von Ereignisse, Erwartungswert ungleich null,..) Verwendung von Poisson Prozess mit Modifikationen (Konstante Rate von Ereignisse, Erwartungswert ungleich null,..) Die Zunahmen haben Erwartungswert 0 Die Zunahmen haben Erwartungswert 0 Multipliziert man mit einer zeitabhängigen Konstante wie wird die Größe der Sprünge auch zeitabhängig. Multipliziert man mit einer zeitabhängigen Konstante wie wird die Größe der Sprünge auch zeitabhängig. Ergebnis: Ergebnis:

21 SDE für normale und seltene Events wenn h kleiner wird wenn h kleiner wird

22 Momente Momente sind verschiedene Erwartungen des zugrunde liegenden Prozesses Momente sind verschiedene Erwartungen des zugrunde liegenden Prozesses 1. Ordnung: Erwartungswert 1. Ordnung: Erwartungswert 2. Ordnung: Varianz (Darstellung der Volatilität) 2. Ordnung: Varianz (Darstellung der Volatilität) 3. Ordnung: zeigt die Schräge der Verteilung 3. Ordnung: zeigt die Schräge der Verteilung 4. Ordnung: Ausmaß der „heavy tails“ 4. Ordnung: Ausmaß der „heavy tails“

23 Momente Bei Prozessen mit normalen Ereignissen, kann man höhere Ordnung (ab zwei) vernachlässigen. Da sie von h abhängig sind, konvergieren sie zu null bei h  0. Bei Prozessen mit normalen Ereignissen, kann man höhere Ordnung (ab zwei) vernachlässigen. Da sie von h abhängig sind, konvergieren sie zu null bei h  0. Bei seltenen Ereignissen können sie nützliche Informationen liefern, da die Momente unabhängig von h sind. Bei seltenen Ereignissen können sie nützliche Informationen liefern, da die Momente unabhängig von h sind.

24 Zusammenfassung Erwartete Veränderung Reguläre Ereignisse mit bedeutungsloser Größe „Große“ Events, die selten vorkommen Die Kombination von Wiener und Poisson Prozess kann all die Störungen darstellen, die einen Finanzmarkt beeinflussen


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