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Die Schrödinger Gleichung Egon Berger Didaktik der Physik 19.06.07.

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Präsentation zum Thema: "Die Schrödinger Gleichung Egon Berger Didaktik der Physik 19.06.07."—  Präsentation transkript:

1 Die Schrödinger Gleichung Egon Berger Didaktik der Physik

2 x E 1.Historisch grundlegende Experimente 2.„Ableitung“ der Schrödinger Gleichung 3.Anwendung der SG: 1.Unendlich tiefe Potentialkasten 2. Endlich tiefe Potentialkasten 3.Harmonische Oszillator Inhalt: E x E x 4. Superposition ebener Wellen

3 Die graphische Interpretation der Wellenfunktion: Betrag Phase Nulldurchgänge Krümmung Exponentielles Abfallen Im Vordergrund steht:

4 Wiederholung: Die Quantentheorie des Lichtes Beugung und Interferenz (1800) Hohlraumstrahlung (1900) Photoelektrische Effekt (1902) Comptoneffekt (1922) Licht ist eine Welle Licht besteht aus Teilchen, den sog. Photonen. Unsere heutige Vorstellung: Licht besitzt sowohl Wellen- als auch Teilchencharakter. 1. Historisch grundlegende Experimente

5 Die de-Broglie-Wellenlänge: Louis de Broglie machte 1924 den Vorschlag die duale Beschreibung durch Wellen- und Teilchenmodell, die sich bei Licht bewährt hatte, auch auf Teilchen wie Elektronen, Neutronen oder Atome zu übertragen. Deren Wellencharakter wurde bis damals nie beobachtet. Beispiel: Ein Elektron besitze eine kin. Energie von 100eV. ausfolgt seine de-Broglie-Wellenlänge l=0,12 nm. seine Frequenz n=2,4*10^16 Hz.

6 Davisson und Germer: Beugung von Elektronen Sie demonstrierten 1926 den Wellencharakter von Teilchen. Ergebnis: Beugungsringe –genau wie bei Röngtenstrahlung. Experiment: dünne Schicht (Al-Puder) e - -Strahl Schirm l=1nm - 5pml (100eV)=0,12nm Was heißt: Wellencharakter haben?

7 Einfall einer ebenen Welle Wellengleichung Ausbreitung von Kugelwellen Interferenz Intensität dünne Schicht (Al-Puder) Schirm Röntgen-Strahlung: Zustandekommen der Beugungsringe

8 Einfall einer ebenen Welle Wellengleichung Ausbreitung von Kugelwellen Interferenz Intensität dünne Schicht (Al-Puder) Schirm Elektronen-Strahl: Gleiche Ergebnisse → e - ist eine Welle ?

9 Licht: Elektronen: Beschreibung: Zusammenstellen der Ergebnisse: Intensität: Wellengleichung: Im Vakuum Folgt aus den Maxwell- gleichungen für den ladungs- und stromfreien Raum (Physik 2). ?

10 Wir suchen eine Gleichung, von der wir eine Lösung kennen. Nämlich: Ist es vielleicht möglich diese Gleichung durch eine ihrer Lösungen zu rekonstruieren? 2. „Ableitung“ der Schrödinger Gleichung

11 Differentiation nach x bzw. t ergibt: Also erfüllt E(x,t) die Differentialgleichung Aber: Linkslaufende Wellen kommen als Lösungen nicht vor! Wir testen diese Strategie am Beispiel der e.m. Welle!

12 Darum differenzieren wir die ebene Welle ein zweites Mal: Dies führt auf die Differentialgleichung und entspricht der Wellengleichung im Vakuum. mit Dispersionsrelation

13 Da uns die Rekonstruktion geglückt ist, versuchen wir nun auf diese Weise eine Wellengleichung für Teilchen zu erhalten. Jedoch zuerst: Wie lautet die Dispersionsrelation für Teilchen? Für freie Teilchen gilt: Dispersionsrelation

14 Nun gehen wir aus Symmetriegründen gleich zur zweiten Ableitung über: Dispersions- relation Auch negative Frequenzen würden die Gleichung erfüllen: Unphysikalisch!

15 Weiters möchte man allein schon mit bestimmen können. Zu diesem Zweck darf nur die erste Zeitableitung vorkommen. Wir versuchen also miteinander zu kombinieren.

16 Die Ableitungen ergeben: ? Wir versuchen nun eine andere mögliche Wellenfunktion: Bemerkung: In der klassischen Physik wird diese Funktion nur verwendet, weil damit leichter zu rechnen ist. Physikalische Relevanz hat jedoch nur der Realteil.

17 Zweimalige Differentiation von ergibt:

18 Diskussion von Y(x,t): In unserem Experiment: Was geschieht wenn jeweils nur ein Elektron auf die Folie trifft? Hypothese: entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass das Elektronen an der Stelle [x,x+Dx] auftrifft. Physlet: Doppelspalt

19 Postulat: Der Zustand eines aus einem Massenpunkt bestehenden quantenmechanischen Systems zum festen Zeitpunkt t 0 ist durch Angabe der (komplexen) Wellenfunktion beschrieben. Statistische Interpretation: Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zu t 0 im Volumen d 3 x um x 0 zu finden ist: Normierung:

20 Postulat: Die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion ist durch die Schrödingergleichung gegeben. Erwin Schrödinger (* 1887 in Wien; † 1961 in Wien) 1926 formulierte Schrödinger die nach ihm benannte Schrödinger-Gleichung. Sie bildet eine der Grundlagen der Quantenmechanik. Diese Arbeiten brachten ihm Weltruhm und schließlich auch den Nobelpreis für Physik im Jahre 1933 ein.

21 Lösungen der SG: =H … Hamiltonian Separartionsansatz: Einsetzen ergibt: Lösung: zeitunabhängige SG

22 E a0x Außerhalb des Potentialkastens: Innerhalb: =0 3. Anwendung der Schrödinger Gleichung 1. Der unendlich tiefe Potentialkasten:

23 Lösung: Randbedingungen:

24 Energie E n ? SG: Normierung:

25 Aufenthaltswahrscheinlichkeit und Energieeigenwerte: E a0x Bemerkung: Anzahl der Nulldurchgänge von Y entspricht dem Anregungsniveau. Bemerkung: Die Phase geht nicht in ein.

26 Darstellung von in C: Wir hatten: Physlet 7.6 Geogebra: Unendlich tiefer Potentialtopf

27 Anwendung der SG 2. Der endlich tiefe Potentialkasten: Bemerkung: Eindringen der Wellenfunktion in die Wände mit exponentiellem Abfall. Physlet 7.2Physlet 7.2

28 Unbekanntes Potential Physlet 7.5 Pot1 Was sagt die Krümmung der Wellenfunktion aus? SG:

29 Lösung: E x V(x)

30 Anwendung der SG 3. Der harmonische Oszillator.

31 Weitere Unbekannte Potentiale Physlet 7.5 Aufgaben: Physlet P.7.1 Physlet P.7.2

32 4. Superposition ebener Wellen Kann geschrieben werden als: Physlet 7.7 Physlet P.7.3 Physlet P.7.4 Geogebra: Superposition

33 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit


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