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Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel Struktur eines Fuzzy-Systems Seminar Unscharfe Logik Robert Nickel Matrikel:

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1 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel Struktur eines Fuzzy-Systems Seminar Unscharfe Logik Robert Nickel Matrikel:

2 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel Einführung: Fuzzy-Control

3 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel Fuzzy-System als Regelkreis

4 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel

5 1. Fuzzifizierung (Naiv: Unscharf machen) Systemdefinition in Form von linguistischen Variablen (Regelgrößen, Eingabedaten, jeweils mit Wertebereich) Festlegen der einzelnen unscharfen Mengen (Ausprägungen der linguistischen Variablen) Festlegen der Zugehörigkeitsfunktionen jeder Ausprägung

6 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel 1. Fuzzifizierung (Naiv: Unscharf machen) Benötigte Fuzzy-Formalismen: (LR - ) Fuzzy-Zahlen (LR - ) Fuzzy-Intervalle Modifizierer (zur sinnvollen Interpretation der linguistischen Variablen)

7 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel 1. Fuzzifizierung (Naiv: Unscharf machen) Resultat : Def : Seien X 1,...,X n Eingangsgrößen des Systems,Y die Ausgangsgröße, ling(X i ) die Menge der linguistischen Ausprägungen von X i und  Xi die Wertebereiche der Zugehörigkeitsfunktionen  Xi

8 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel

9 2. Regelbasis Naiv: Auf welche Eingabedaten folgt welche Änderung der Steuergröße Bsp : IF T=heiß THEN Regler=klein IF T=kalt THEN Regler=groß Regeln basieren auf Erfahrungswerten oder logischen Fakten Einige Regeln können gegenüber anderen bevorzugt behandelt werden

10 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel 2. Regelbasis (Formal) System von Regeln der Form: IF bedingungen THEN Y=y_var [WITH CERTAINTY=c j ] bedingungen := bedingung op bedingungen |  op := AND | OR | KOMP 1 |...| KOMP k bedingung:= [NOT] X 1  x 1 _var |...| [NOT] X n  x n _var  : Kompatibilitätsoperator op : Aggregationsoperatoren c j : Vertrauensfaktor

11 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel 2. Regelbasis Vorteile: Erweiterbarkeit (Regeln leicht hinzufügen) Modularität (Jede Regel ist für sich selbständig) Modifizierbarkeit (kleine Änderung - > kleine Wirkung) Verständlichkeit (Kann praktisch jeder lesen) Transparenz (Entscheidnungen sofort erklärbar)

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13 3. Inferenz (Naiv: Aus Eingaben und Regeln sinnvolle Schlüsse ziehen) Eingaben liegen in Form von Ausprägungen A 1,...,A n der linguistischen Variablen X 1,...,X n vor und können als skalare Größe (exakter Meßwert) oder als Fuzzy-Menge (toleranzbehafteter Wert) vorliegen.

14 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel 3. Inferenz (Naiv: Aus Eingaben und Regeln sinnvolle Schlüsse ziehen) Problematik : Wahl des Kompatibilitätsmaßes Wahl der Aggregationsoperatoren (AND / OR / NOT...) Wahl der Art des Einflusses der Vertrauensfaktoren c j Wahl der Inferenzoperators (Folgerung aus einer Gleichung) Wahl des Akkumulationsoperators (Zusammenfügen der Regeln)

15 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel 3. Inferenz 3.1 Wahl des Kompatibilitätsmaßes Problemstellung: Wann sind zwei Fuzzy-Mengen gleich ( A  B ) ? Bzw.: In welchem Maße ähnelt Menge A der Menge B

16 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel 3. Inferenz 3.1 Wahl des Kompatibilitätsmaßes Lösung (Fuzzy-Metrik) : Distanzoperatoren  :  X x  X  [0,1] mit  (A,A) = 0  (A,B) =  (B,A)  (A,C)   (A,B) +  (B,C)

17 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel 3. Inferenz 3.1 Wahl des Kompatibilitätsmaßes Beispiele für Distanzmaße von Fuzzy-Mengen: Flächendistanz: Schwerpunktdistanz:

18 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel 3. Inferenz 3.1. Wahl des Kompatibilitätsmaßes  Das daraus resultierende Kompatibilitätsmaß Liefert ein Maß für die Gleichheit der unscharfen Mengen A und B Sonderfall: Bei skalarem Meßwert kann gewählt werden

19 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel 3. Inferenz 3.2. Wahl der Aggregationsoperatoren Problemstellung : In jeder Regel R j müssen die ermittelten Kompatibilitätsmaße K ij für X i  A i über AND/OR oder sogenannte kompensatorische Operatoren miteinander kombiniert werden Gesucht: Gültigkeitswert für Fuzzy-logische Aussage K 1j AND K 2j OR... KOMP k K nj

20 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel 3. Inferenz 3.2. Wahl der Aggregationsoperatoren Einführung kompensatorischer Operatoren ( Mittelwerte zwischen AND und OR ) : Def : (1) Stabilität: (2) Monotonie: (3) Kommutativität:

21 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel 3. Inferenz 3.2. Wahl der Aggregationsoperatoren Die Umsetzung von AND und OR kann über verschiedene t- bzw. s-Normen erfolgen. Die Wahl dieser Normen unterliegt dabei keinerlei Einschränkungen und beruht hauptsächlich auf Erfahrungswerten und praktischen Gesichtspunkten Resultat: Zu jeder Regel R j kann nun ein Gültigkeitsgrad G j berechnet werden.

22 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel 3. Inferenz 3.3. Wahl der Art des Einflusses der Vertrauensfaktoren c j Der Gültigkeitsgrad G j jeder Regel kann mit einem Vertrauensfaktor c j  [0,1] „skaliert“ werden. Damit kann man einigen Regeln mehr und anderen weniger Bedeutung/Vertrauen zuweisen. - Kann über jede t-Norm geschehen Beispiele : t(c,G) = c*G -> Der Einfluß der Regel wird um den Faktor c abgeschwächt t(c,G) = min(c,G) -> Der Einfluß der Regel ist maximal vom Grad c

23 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel 3. Inferenz 3.3. Wahl der Art des Einflusses der Vertrauensfaktoren c j Beispiel: IF geschwindigkeit = zu langsam THEN beschleunigung = positiv WITH CERTAINTY = 0.7 IF geschwindigkeit = zu schnell THEN beschleunigung = negativ WITH CERTAINTY = 1  Das Abbremsen wird bevorzugt gegenüber dem Beschleunigen behandelt

24 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel 3. Inferenz 3.4. Wahl des Inferenz-Operators Liefert in Form einer Fuzzy-Menge eine Aussage darüber, wo nach Auswertung einer einzelnen Regel R j die Steuergröße (Output Y) gewählt werden sollte D.h.: Die Schlußfolgerung „ THEN Y=y_var “ aus der Regelbasis muß noch mit dem gerade berechneten Gültigkeitsgrad G j „skaliert“ werden. Diese „Skalierung“ kann über jede t-Norm erfolgen

25 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel 3. Inferenz 3.4. Wahl des Inferenz-Operators Beispiel: IF wasser=heiß THEN wasserhahn=kalt Gültigkeit: G j =0.4 

26 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel 3. Inferenz 3.5. Wahl des Akkumulationsoperators Jeder Regel R j wird nun ist eine Fuzzy-Menge E j zugeordnet, die Aussage darüber gibt, wie die Steuergröße am besten zu wählen ist Man hat also für jede Regel eine Empfehlung E j, die sich stark von den anderen unterscheiden kann Diese Mengen müssen sinnvoll miteinander kombiniert werden Dies geschieht z.B. über eine bel. s-Norm (Fuzzy- OR )

27 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel 3. Inferenz 3.5. Wahl des Akkumulationsoperators Beispiel: E1E1 E2E2 E3E3 E*E*

28 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel 3. Inferenz Ergebnis der Inferenzstrategie: Fuzzy-Menge, die angibt, wo die Steuergröße Y mehr bzw. weniger sinnvoll zu wählen ist Muß noch interpretiert werden ! Bezeichnung: E *

29 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel

30 4. Defuzzifizierung Zwei Hauptmethoden: Schwerpunktsmethode (x-Koordinate des Schwerpunktes der Fläche unter E * ) Maximummethode (eine x-Koordinate, an der die Funktion E * maximal ist) Naiv: Sinnvolle Interpretation der unscharfen Empfehlungen

31 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel 4. Defuzzifizierung Varianten der Schwerpunktmethode COA - center of area

32 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel 4. Defuzzifizierung Varianten der Schwerpunktmethode MCOA - modified center of area Empfehlungen E j werden nicht sofort akkumuliert Flächenschwerpunkt der E j (in unmodifizierter Form) ist bereits zur Compilierzeit bekannt  Muß nicht live berechnet werden Bildung des mit den Gültigkeitsgraden G j gewichtete Mittel liefert Näherung für den Flächenschwerpunkt

33 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel 4. Defuzzifizierung Varianten der Schwerpunktmethode MCOA - modified center of area

34 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel 4. Defuzzifizierung Varianten der Schwerpunktmethode COM - center of maximum Weitere Vereinfachung: Statt der Berechnung der Schwerpunkte s j wird der Mittelwert der Kerne der E j (unmodifiziert) benutzt

35 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel 4. Defuzzifizierung Varianten der Maximummethode MOM mean of maximum

36 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel 4. Defuzzifizierung Varianten der Maximummethode LOM / ROM - left / right of maximum

37 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel Beispiel

38 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel Beispiel Kurvenabstand x 1 Innenabstand x 2

39 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel Beispiel Fahrtrichtung x 3 Außenabstand x 4

40 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel Beispiel 

41 Seminar unscharfe Logik - Thema: Stuktur eines Fuzzy-Systems - Robert Nickel Quellen [1] - A. Mayer - Fuzzy Logic - Addison Wesley 1993 [2] - D. Traeger - Einführung in die Fuzzy-Logik - Teubner 1993 [3] - B. Biewer - Fuzzy-Methoden - Springer 1997 Grafiken: [3]


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