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Anfang Präsentation 24. November, 2004 Die theoretischen Grundlagen der Bondgraphen-Methodik In dieser Vorlesung wollen wir uns die theoretische Untermauerung.

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1 Anfang Präsentation 24. November, 2004 Die theoretischen Grundlagen der Bondgraphen-Methodik In dieser Vorlesung wollen wir uns die theoretische Untermauerung der Bondgraphen-Methodik etwas genauer ansehen. Insbesondere befassen wir uns mit den vier Basisvariabeln sowie mit den Eigenschaften kapazitiver und induktiver Speicherelemente, und schliesslich erörtern wir das Dualitätsprinzip der Bondgraphen. Ebenfalls werden wir die zwei Typen von Energieumformern, den Transformator und den Gyrator, einführen und die Bondgraphen-Methodik auf hydrauli- sche Anwendungen erweitern.

2 Anfang Präsentation 24. November, 2004 Table of Contents Die vier Basisvariabeln der Bondgraphen-MethodikDie vier Basisvariabeln der Bondgraphen-Methodik Eigenschaften der SpeicherelementeEigenschaften der Speicherelemente Hydraulische BondgraphenHydraulische Bondgraphen Energieumwandlung Elektromechanische SystemeElektromechanische Systeme Das Dualitätsprinzip der BondgraphenDas Dualitätsprinzip der Bondgraphen Die DiamantenregelDie Diamantenregel

3 Anfang Präsentation 24. November, 2004 Die vier Basisvariablen der Bondgraphenmethodik Neben den beiden adjugierten Variablen e und f, gibt es zwei weitere physikalische Grössen, die bei Bondgraphen eine Rolle spielen: p =   e · dt Verallgemeinertes Moment: Verallgemeinerte Position: q =   f · dt

4 Anfang Präsentation 24. November, 2004 Relationen zwischen den Basisvariablen e f qp  R C I Widerstand: Kapazität: Induktivität: e = R( f ) q = C( e ) p = I( f )  Beliebig nichtlineare Funktionen im 1. und 3. Quadranten  Es kann ausser C und I keine weiteren Speicher geben.

5 Anfang Präsentation 24. November, 2004 Nichtlineare Kapazität Hier muss die Kapazitätsgleichung eingesetzt werden.

6 Anfang Präsentation 24. November, 2004 Lineare Speicher Allgemeine Kapazitätsgleichung: q = C( e ) Lineare Kapazitätsgleichung: q = C · e Lineare Kapazitätsgleichung abgeleitet: f = C · dede dt „Normale“ Kapazitätsgleichung, wie bisher angetroffen.

7 Anfang Präsentation 24. November, 2004 EinsatzFluss Verallgemeinertes Moment Verallgemeinerte Verschiebung efpq Elektrische Schaltungen Spannung u (V) Strom i (A) Magn. Fluss  (V·sec) Ladung q (A·sec) Translations- systeme Kraft F (N) Geschwindigkeit v (m / sec) Kraftmoment M (N·sec) Verschiebung x (m) Rotations- systeme Drehmoment T (N·m) Winkelgeschw.  (rad / sec) Torsion T (N·m·sec) Winkel  (rad) Hydraulische Systeme Druck p (N / m 2 ) Volumenfluss q (m 3 / sec) Druckmoment Γ (N·sec / m 2 ) Volumen V (m 3 ) Chemische Systeme Chem. Potential  (J / mol) Molarer Fluss (mol/sec) -Anzahl Mole n (mol) Thermodynamik- systeme Temperatur T (K) Entropiefluss S’ (W / K) -Entropie S (J / K )

8 Anfang Präsentation 24. November, 2004 Hydraulische Bondgraphen I In der Hydraulik sind die beiden adjugierten Variablen der Druck p und der Volumenfluss q. Dabei wird der Druck als Einsatzvariable (Potential) betrachtet, während der Volumenfluss die Rolle der Flussvariable übernimmt. Der kapazitive Speicher beschreibt die Kompression der Flüssigkeit als Funktion des Drucks, während der induktive Speicher die Trägheit der bewegten Flüssigkeit modelliert. P hydr = p · q [W] = [N/ m 2 ] · [m 3 / s] = kg · m -1 · s -2 ] · [m 3 · s -1 ] = [kg · m 2 · s -3 ]

9 Anfang Präsentation 24. November, 2004 Hydraulische Bondgraphen II q ein q aus p dp dt = c · ( q ein – q aus ) p qq C : 1/c Kompression: q  = k ·  p = k · ( p 1 – p 2 ) p1p1 Laminare Strömung: q p2p2 pp q R : 1/k Turbulente Strömung: pp q G : k p2p2 p1p1 q q  = k · sign(  p) ·  |  p| Hydro

10 Anfang Präsentation 24. November, 2004 Energieumwandlung Neben den bisher betrachteten Elementen zur Energiespei- cherung ( C und I ) sowie Dissipation (Umwandlung in Wärme) ( R ) werden noch zwei weitere Elemente benötigt, welche allgemeine Energiewandler beschreiben, den Transformator und den Gyrator. Während Widerstände die irreversible Umwandlung freier Energie in Wärme beschreiben, werden Transformatoren und Gyratoren verwendet, um reversible Energieumwand- lungsvorgänge zwischen gleichartigen oder verschieden- artigen Energieformen zu beschreiben.

11 Anfang Präsentation 24. November, 2004 Transformatoren f 1 e 1 f 2 e 2 TF m Übersetzung: e 1 = m · e 2 Energieerhaltung: e 1 · f 1 = e 2 · f 2  (m ·e 2 ) · f 1 = e 2 · f 2  f 2 = m · f 1 (4) (3) (2) (1)  Der Transformator kann entweder durch Gleichungen (1) und (2) oder durch Gleichungen (1) und (4) beschrieben werden.

12 Anfang Präsentation 24. November, 2004 Die Kausalisierung des Transformators f 1 e 1 f 2 e 2 TF m e 1 = m · e 2 f 2 = m · f 1 f 1 e 1 f 2 e 2 TF m e 2 = e 1 / m f 1 = f 2 / m  Da wir genau eine Gleichung für den Einsatz und eine für den Fluss haben, müssen beim Transformator ein Einsatz und ein Fluss berechnet werden.

13 Anfang Präsentation 24. November, 2004 Beispiele von Transformatoren Elektrischer Transformator (bei Wechselstrom im einge- schwungenen Zustand) Mechanisches Getriebe Hydraulischer Stossdämpfer m = 1/Mm = r 1 /r 2 m = A

14 Anfang Präsentation 24. November, 2004 Gyratoren f 1 e 1 f 2 e 2 GY r Übersetzung: e 1 = r · f 2 Energieerhaltung: e 1 · f 1 = e 2 · f 2  (r ·f 2 ) · f 1 = e 2 · f 2  e 2 = r · f 1 (4) (3) (2) (1)  Der Gyrator kann entweder durch Gleichungen (1) und (2) oder durch Gleichungen (1) und (4) beschrieben werden.

15 Anfang Präsentation 24. November, 2004 Die Kausalisierung des Gyrators f 1 e 1 f 2 e 2 GY r f 1 e 1 f 2 e 2 r e 1 = r · f 2 e 2 = r · f 1 f 2 = e 1 / r f 1 = e 2 / r  Da wir eine Gleichung links, die andere rechts vom Gyrator rechnen müssen, können wir die Gleichungen entweder nach den beiden Einsatzvariablen oder aber nach den beiden Flussgrössen auflösen.

16 Anfang Präsentation 24. November, 2004 Beispiel eines Gyrators Beim Gleichstrommotor ist das Drehmoment  m proportional zum Ankerstrom i a, während sich die induzierte Spannung u i proportional zur Winkelgeschwindigkeit  m verhält. r = 

17 Anfang Präsentation 24. November, 2004 Beispiel eines elektromechanischen Systems Kausalitätskonflikt (verur- sacht durch das Getriebe)

18 Anfang Präsentation 24. November, 2004 Das Dualitätsprinzip Es ist möglich, jeden Bondgraphen zu „dualisieren“, indem die Definitionen der Einsatz- und Flussgrössen vertauscht werden. Beim Dualisieren werden Einsatzquellen zu Flussquellen, Kapazitäten zu Induktivitäten, Widerstände zu Leitwerten, und umgekehrt. Bei den Transformatoren und Gyratoren wird der Wert der Übersetzung invertiert. Die beiden Verzweigungen vertauschen ihren Typus. Alle Kausalitätsstriche wandern ans jeweils andere Ende jedes Bonds.

19 Anfang Präsentation 24. November, Beispiel Die beiden Bondgraphen liefern iden- tische Simulationsresultate.

20 Anfang Präsentation 24. November, Beispiel

21 Anfang Präsentation 24. November, 2004 Partielle Dualisierung Es ist immer möglich, Bondgraphen partiell zu dualisieren. Bei den Transformatoren und Gyratoren ist die partielle Dualisie- rung besonders einfach zu bewerkstelligen. Die beiden Wandler tauschen dabei ihren Typ. So mag es z.B. sinnvoll sein, nur die mechanische Seite zu dualisieren, während die elektrische Seite in der Originalkausalität belassen wird. Es kann aber auch bei jedem einzelnen Bond partiell dualisiert werden. Dabei wird der „verdrehte“ Bond zu einem Gyrator mit der Übersetzung r=1. Ein solcher Gyrator wird in der Literatur als symplektischer Gyrator bezeichnet.

22 Anfang Präsentation 24. November, 2004 Umformung von Bondgraphen Jedes physikalische System mit konzentrierten Parametern kann durch einen Bondgraphen beschrieben werden. Die Bondgraphendarstellung ist aber nicht eindeutig, d.h. mehrere verschiedene Bondgraphen können identische Gleichungssysteme repräsentieren. Eine Mehrdeutigkeit haben wir bereits kennen gelernt: die Dualisierung. Es gibt aber auch Mehrdeutigkeiten, die nicht auf Dualisierung zurückzuführen sind.

23 Anfang Präsentation 24. November, 2004 Die Diamantenregel m2m2 B2B2 k 12 B 12 m1m1 B1B1 F SE: F F v2v2 I: m 2 v2v2 F m2 1 R: B 2 v2v2 F B2 0 v 12 0 R: B 12 1 R: B 1 v1v1 F B1 I: m 1 v1v1 F m1 C: 1/k 12 v1v1 F B12 v2v2 F k12 F B12 v1v1 F k12 v 12 v2v2  SE: F F v2v2 I: m 2 v2v2 F m2 1 R: B 2 v2v2 F B2 F k12 +F B12 v2v2 F k12 +F B12 v1v1 0 F k12 +F B12 v 12 1 R: B 12 v 12 F B12 1 R: B 1 v1v1 F B1 I: m 1 v1v1 F m1 C: 1/k 12 v 12 F k12 Diamant Unterschiedliche Variablen effizienter

24 Anfang Präsentation 24. November, 2004 Referenzen Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 7.Continuous System ModelingChapter 7


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