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Grundbegriffe der Schulgeometrie SS 2008 Teil 6 (M. Hartmann) Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik.

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Präsentation zum Thema: "Grundbegriffe der Schulgeometrie SS 2008 Teil 6 (M. Hartmann) Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik."—  Präsentation transkript:

1 Grundbegriffe der Schulgeometrie SS 2008 Teil 6 (M. Hartmann) Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik

2 Repräsentationsformen: Man unterscheidet in enaktive, ikonische und symbolische Repräsentationsformen –enaktiv (Handlung) –ikonisch (Bild) –symbolisch (Formeln, Text mit mathematischen Symbolen, Gleichungen…) Diese Formen treten unter Vermittlung durch Sprache im Laufe eines Begriffsbildungsprozesses häufig in dieser Reihenfolge auf

3 Repräsentationsformen: Auch wenn die Klassifikation einen sinnvollen Anhaltspunkt für Repräsentationen im Unterricht liefern, so –sind sie nicht immer ganz trennscharf (Messungen in Zeichnung?) –sollte diese Abfolge nicht als Schema für einzelne Unterrichtseinheiten verstanden werden –kann z.B. die Nötigung zum handelnden Vorgehen bei Schülern, die bereits geeignete mentale Vorstellungen aufgebaut haben, die angestrebte kognitive Verarbeitung sogar behindern (Bsp. Prüfung auf Achsensymmetrie) –sind Abweichungen von der Reihenfolge manchmal sinnvoll (insbesondere hat Text eine vermittelnde Funktion für alle Ebenen!) –sichern sie nicht die Qualität der Repräsentationen (Bsp. Kreise mit Schablonen zeichnen und ausschneiden) –müssen sie stets zueinander passen und miteinander vernetzt werden (Bsp. Kreisflächenbestimmung)

4 Vergessens- und Rekonstruktionsprozess - bei alleiniger Abspeicherung von Aussagen Aussage 1 Aussage 2 Aussage 3 Aussage 1 Aussage 2 Aussage 3 Aussagen verblassen und interferieren Das Gelernte wird nicht oder falsch wiedergegeben Vernetzung von Repräsentationsformen

5 Vergessens- und Rekonstruktionsprozess - bei enger Verknüpfung mentaler Bilder und symbolisch repräsentierter Aussagen Bild 1Aussage 1 Bild 2Aussage 2 Bild 3Aussage 3 Bild 1Aussage 1 Bild 2Aussage 2 Bild 3Aussage 3 Mentales Betrachten Rekonstruieren Auch hier finden ähnliche Vergessensprozesse statt Aber: Mentale Bilder und Aussagen stützen und kontrollieren sich gegenseitig Das Gelernte kann rekonstruiert und richtig wiedergegeben werden Vernetzung von Repräsentationsformen

6 Beispiel: Kreisflächenformel Beobachtung: Schüler verbinden mit A=  r² keine bildliche Vorstellung. Infolge dessen ergeben sich Schülerfehler: A= 2  r A= 2  r² A=  bzw  A= 2  Dabei lässt sich die Formel leicht mit bildlicher Vorstellung verknüpfen: A ≈ 3 1 / 7 r² A ≈ 3,14 r² A =  r² Bild allein genügt nicht! Vernetzung von Repräsentationsformen

7 < < Unterrichtliches Vorgehen muss die Verknüpfung dieses Bildes mit der Formel vielfältig unterstützen! 4r²2r² 3 r² ? Vernetzung von Repräsentationsformen

8 Passende Schüleraktivität A ≈ 3,14 r² „Gut 3 - genauer 3,14 - Radiusquadrate entsprechen dem Kreis!“ Vernetzung von Repräsentationsformen

9 Stabile Begriffsbildung A = 3,14 r² „Gut 3 - genauer 3,14 - Radiusquadrate entsprechen dem Kreis!“ Vernetzung von Repräsentationsformen Bilder, Aussagen, Formeln, Handlungen, im Gedächtnis eng miteinander verknüpft

10 Enaktive Repräsentation Hauptziele: –Erfahrungen sammeln –entdeckend lernen –Entdecken lernen (Sensibilität für Phänomene entwickeln, operative Vorgehensweise anwenden) Wird zu Aktivitäten aufgefordert, so –müssen diese zielführend für das Erreichen konkreter Lernziele sein (Handlungen nicht als Selbstzweck!) –muss ihre Bedeutung intensiv verbalisiert werden! (Handlungen führen erst über die Sprache zu mentalen Einsichten!)

11 Ikonische Repräsentation Hauptziele: –Festhalten der Erfahrungen –Auswahl eines prägnanten Prototypen für mentales Modell Bei der ikonischen Darstellung ist darauf zu achten, dass –Wesentliches hervorgehoben wird (z.B. Farbe, Strichdicke…) –der Prototyp keinen Spezialfall darstellt –der Zusammenhang mit der vorangegangenen Handlung deutlich gemacht wird

12 Symbolische bzw. textliche Repräsentation Hauptziele: –Während der Handlungen (vor allem sprachlich): Klärung der noch undeutlichen Ideen Kommunikation der Entdeckungen Kommunikationstraining –zwar noch unscharfes aber dennoch verständliches Beschreiben –Verwenden eigener Bezeichnungen –Abschließend: Ergänzen der ikonischen durch propositionale Fassung –um Sachverhalte »allgemeingültig sowie »leicht kommunizierbar zu repräsentieren –zur Unterstützung des Memorierens (Vernetzung mit mentalem Modell) Training exakten Formulierens –Weiterführend (vor allem symbolisch): Möglichkeit einer abstrakten Weiterverarbeitung (z.B. als Formeln)

13 Bei der abschließenden textlichen Darstellung ist darauf zu achten, dass –knapp aber unmissverständlich formuliert wird (Literaturhinweis: Schulz v. Thun und Götz, Mathematik verständlich erklären, München 1976) –der Text in engem Bezug zu der ikonischen Darstellung steht (Aufgreifen von Bezeichnungen und Farben, räumliche Nähe…) Bsp.: Außenwinkelsatz

14 Bsp.: Repräsentationen des geraden Drachens Enaktiv –Das Ausschneiden eines Drachen ist eine Handlung, deren Ergebnis zwar den geometrischen Begriff repräsentiert, die selbst aber in keinem Bezug zu den Eigenschaften desselben steht! (Inadäquate Repräsentation!) –Das Ausschneiden durch zwei Schnitte aus einem gefalteten Papier hingegen steht in direktem Bezug zu seiner Symmetrie –Das Zusammenlegen zweier Paare jeweils gleichlanger Stifte steht ebenfalls in direktem Bezug zu seinen Eigenschaften. Beim Variieren der Winkel können zusätzliche Zusammenhänge bzw. Invarianten erkannt werden (Operatives Prinzip) –…–… Ikonisch –Inadäquate Repräsentation:… –Adäquate Repräsentationen:… Symbolisch –Text 1: „Bei einem Drachen gilt a=b und c=d.“ (ungünstig, da Bezeichnungen ohne beschriftetes Bild nicht zwingend) –Text 2: „Ein Drache setzt sich aus zwei Paaren jeweils gleichlanger Nachbarseiten zusammen.“ (günstig, da unabhängig von speziellen Bezeichnungen)


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