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Kerstin Herms 3D-GIS I Simpliziale Komplexe. 2 Inhalt  Simplizes  Simpliziale Komplexe  Einschränkungen und Erweiterungen für 3D-GIS  Topologische.

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1 Kerstin Herms 3D-GIS I Simpliziale Komplexe

2 2 Inhalt  Simplizes  Simpliziale Komplexe  Einschränkungen und Erweiterungen für 3D-GIS  Topologische Beziehungen  Anwendungsmöglichkeiten in 3D-GIS  Literatur

3 3 Simplizes (Wh. aus GIS1) 0-SimplexEin 0-Simplex ist ein Punkt aus: Skript zur GIS-I Vorlesung 1-Simplex Ein 1-Simplex ist eine gerade Kante 2-Simplex Ein 2-Simplex ist ein Dreieck (Inneres + 3 Kanten + 3 Knoten) 3-Simplex Ein 3-Simplex ist ein Tetraeder

4 4 Simplizes (Definition) affin unabhängig Die Punkte P 0,..., P n heißen affin unabhängig, falls die n Vektoren von P 0 aus linear unabhängig sind. Simplex der Dimension d Sei P eine Menge von (d+1) affin unabhängigen Punkten. Ein Simplex der Dimension d ist die konvexe Hülle von P.

5 5 Simplizes (Aufbau) Simplizes bestehen selber aus Simplizes einer niedrigeren Dimension (sog. „face“ Simplizes). Im n-dimensionalen Raum hat ein n-Simplex „face“-Simplizes der Dimension d. Zur Erinnerung:

6 6 Beispiel: Ein 3-Simplex im 3-dimensionalen Raum besteht aus: KnotenKantenDreiecken Tetraeder

7 7 Simpliziale Komplexe aus: Hecht 5

8 8 Simpliziale Komplexe (Definition) (1)Der Schnitt zweier beteiligter Simplizes ist entweder leer oder ein „face“-Simplex beider Simplizes. (2)Mit jedem Simplex sind auch alle seine „face“- Simplizes definiert. (D.h. alle „face“-Simplizes sind wieder Teil des Simplizialen Komplex.) simplizialer Komplex Ein simplizialer Komplex ist ein endlicher Satz von Simplizes mit folgenden Eigenschaften:

9 9 Simpliziale Komplexe (Beispiele) Simplizialer Komplex kein kein Simplizialer Komplex aus: Hecht 5  nicht alle „face“-Simplizes sind definiert

10 10 Simpliziale Komplexe (Gegenbeispiel)  der Schnitt ist nicht leer, aber selber auch kein „face“-Simplex

11 11 Simpliziale Komplexe (Dimension) Dimension d Die Dimension d eines Simplizialen Komplexes ist gleich der maximalen Dimension der Simplizes, aus denen der Simpliziale Komplex zusammengesetzt ist.

12 12 Simpliziale Komplexe (Dimension)  Dimension 2  Dimension 3 aus: Hecht 5

13 13 Simpliziale d-Komplexe (Einschränkung) Vereinfachung: d-dimensionale Komplexe, die nur aus d-dimensionalen Simplizes bestehen

14 14 Simpliziale 3-Komplexe (Tetraedernetze) aus: Hecht 5 Entfernen aller Simplizes der Dimension 0, 1 und 2, die nicht „face“-Simplex eines Tetraeders sind

15 15 Darstellung als UML-Diagramm 0-Komplex Punkt- objekt 1 2-Komplex Flächen- objekt 1-Komplex Linien- objekt 11 2-Simplex Dreieck 1-Simplex Kante 0-Simplex Knoten 3-Simplex Tetraeder 1..* * 432 geändert nach: Lenk 6 3-Komplex Raum- objekt 1..* 1

16 16 Erweiterung der Simplizialen Komplexe 3D-Darstellungen benötigen räumliche Information Umsetzung: Speichern von Topologie und Geometrie e-Komplex  e-Komplex (e = extended) Nachbarschaften Definition von Nachbarschaften

17 17 Nachbarschaften d-Simplex mit Nachbarschaft Ein d-Simplex mit Nachbarschaft (d > 1) besteht aus einem Simplex der Dimension d und maximal d+1 adjazenten Simplizes der Dimension d. (Nach dieser Definition müssen keine Nachbarschaften existieren!) 2-Simplex adjazenter 2-Simplex

18 18 Nachbarschaften in 3D aus: Breunig 3

19 19 Topologische Beziehungen Anwendung:  Ausdruck räumlicher Relationen  Konsistenzprüfung von digitalisierten, interpolierten oder editierten räumlichen Daten (z.B. Schnittfreiheit von Tetraedern)

20 20 4-Schnitt-Modell (Wh. aus GIS1)  6 grundlegende Beziehungen aus: Skript zur GIS-I Vorlesung

21 21 Topologie für Simpliziale 2-Komplexe aus: Breunig 1

22 22 Weitere topolog. Beziehungen Für 3D-GIS reicht es nicht aus, nur Objekte gleicher Dimension zu betrachten Darstellung von Lagebeziehungen von Objekten verschiedener Dimension (z.B. Punktlage bzgl. Linie, Dreieck oder Tetraeder)

23 23 Weitere topolog. Beziehungen (Beispiele) aus: Breunig 2

24 24 Anwendungsmöglichkeiten in 3D-GIS Frage: Wozu sind Simpliziale Komplexe geeignet? Betrachtung zweier Beispiele:  Geologie (Modellierung von Bodenschichten)  Stadtmodelle

25 25 3D-Modellierung von Bodenschichten Vorteile der Verwendung von simplizialen Komplexen: Darstellung von Punkten, Linien, Flächen und Volumina Simplizes bestehen aus der einfachsten Geometrie  wenig Fallunterscheidungen bei einem geometrischen Algorithmus auch unregelmäßig verteilte Messpunkte werden erfasst Geologische Anwendungen erfordern eine Verwaltung von Volumina

26 26 3D-Modellierung von Bodenschichten Was ist zu Modellieren?  Querschnitte (sections)  Schichtgrenzen (stratigraphic boundaries)  Störungen / Verwerfungen (faults) (durch tektonische Deformation)

27 27 Beispiel: Niederrheinische Bucht Beispiel: Niederrheinische Bucht Arbeit des SFB 370 der Uni Bonn aus: Breunig 2

28 28 Ablauf der Modellierung Gegeben: digitalisierte Punktdaten aus Messungen 1.Linien aus Punktdaten generieren 2.Flächen aus Linien generieren 3.Volumen aus Flächen generieren aus: Breunig 2

29 29 Oberfläche einer Bodenschicht aus: Breunig 2

30 30 Stadtmodelle Beispiel: „Bauklötzchen-Modell“ Darstellung von Häuserblöcken mit Simplizialen Komplexen

31 31 Zerlegung von Blöcken  mindestens 5 Tetraeder benötigt

32 32 Zerlegungsmöglichkeiten  Darstellung nicht eindeutig

33 33 Fazit gut  Simpliziale Komplexe sind für Geologische Modelle gut geeignet weniger gut  Simpliziale Komplexe sind für Stadtmodelle weniger gut geeignet

34 34 Literatur 1.Breunig, M.: Komponentenbasierte 3D/4D-Geoinformationssysteme für Anwendungen in der Geologie, Habil. Thesis. 2.Breunig, M.: Integration of Spatial Information for Geo-Information Systems. In: Lecture Notes in Earth Sciences, No. 61. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, Breunig, M.: On the Way to Component-Based 3D/4D Geoinformation Systems. In: Lecture Notes in Earth Sciences, No. 94. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, Cremers, A.B.; Bode, T.; Breunig, M.; Floeren, J. and S. Shumilov: Object Oriented 3D/4D Geo Information System (GIS). Bonn, Abrufbar unter:

35 35 Literatur (Fortsetzung) 5.Hecht, S.: Konzeption und Implementierung topologischer 3D- Beziehungen in einem GeoToolKit. Bonn, Abrufbar unter: 6.Lenk, U. und C. Heipke: Neue Untersuchungen zur Integrationvon DGM und DSM mittels Triangulationen zur Berechnung integrierter 2.5D-Landschaftsmodelle. Abrufbar unter: hannover.de/html/publikationen/2002/paper/ aga01_mit_bildern.pdf 7.Skript zur GIS1-Vorlesung. Abrufbar unter: bonn.de/Lehre/Geoinfo

36 36 Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!


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