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E RWARTUNGSTREUER, KONSISTENTER S CHÄTZER Universität Potsdam Sommersemester 2011 Seminar: Ausgewählte Kapitel der Wahrscheinlichkeitstheorie Seminarleiterin:

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1 E RWARTUNGSTREUER, KONSISTENTER S CHÄTZER Universität Potsdam Sommersemester 2011 Seminar: Ausgewählte Kapitel der Wahrscheinlichkeitstheorie Seminarleiterin: Frau S. Roelly Referentin: Sophie Newiger Datum: 26. Mai 2011

2 G LIEDERUNG 1Einstieg in die Thematik (Motivation) 2Reißzweckenwurf (Binomialverteilung) 2.1 Definition: Schätzfunktion und Schätzer (Wiederholung) 2.2 Beispiele für Schätzer 2.3 Definition: Erwartungstreue und Konsistenz 2.4 Qualität der Schätzer überprüfen 3Sammelbilderproblem (Diskrete Gleichverteilung) 3.1 Beispiele für Schätzer 3.2 Qualität der Schätzer überprüfen 4 Verkehrszählung (Poissonverteilung) 4.1 Beispiel eines Schätzers 4.2 Qualität des Schätzers überprüfen 5 Zusammenfassung 6 Quellen

3 1 E INSTIEG IN DIE T HEMATIK (M OTIVATION ) schließende bzw. beurteilende Statistik Beispiele: Bestandskontrollen,Qualitätskontrollen, Prognose des Wahlverhaltens einer Bevölkerung, … unvollständige Kenntnis über die zu untersuchenden Daten  Notwendigkeit des Schätzens! parametrische Statistik: Aussagen über einen unbekannten Parameter p machen p bestimmt Verteilung der Stichprobe  von Stichprobe auf Grundgesamtheit schließen

4 1 E INSTIEG IN DIE T HEMATIK (M OTIVATION ) Wahl eines guten Schätzers hängt von Qualitätsmerkmalen ab z.B. Erwartungstreue und Konsistenz Betrachtung diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen

5 n-facher Reißzweckenwurf Notation Wahrscheinlichkeitsmaß, welches vom Parameter p abhängt, unabhängig voneinander und identisch verteilte Zufallsvariablen Realisierungen der Zufallsvariablen nAnzahl der Würfe kAnzahl der Treffer („Reißzwecke fällt auf den Kopf“) Zufallsvariable ist bernoulliverteilt zum Parameter p „Reißzwecke fällt auf den Kopf“ „Reißzwecke fällt schräg auf die Spitze“ 2 R EIßZWECKENWURF

6 Definition 1: Schätzfunktion Eine Schätzfunktion für den Parameter p ist eine Funktion d.h. Definition 2: Schätzer Die Zufallsvariable heißt Schätzer für den Parameter p. 2 R EIßZWECKENWURF

7 Beispiele für Schätzer 2 R EIßZWECKENWURF

8 Definition 3: Erwartungstreue Ein Schätzer für den Parameter p heißt erwartungstreu, wenn für alle. Definition 4: Konsistenz Ein Schätzer heißt konsistent, wenn für alle gilt:,, d.h. für alle 2 R EIßZWECKENWURF

9 Qualität der Schätzer überprüfen 2 R EIßZWECKENWURF  nicht erwartungstreu  nicht konsistent  erwartungstreu  konsistent  erwartungstreu  nicht konsistent  nicht erwartungstreu  konsistent

10 3 S AMMELBILDERPROBLEM Wie viel verschiedene Bilder gehören zu einer Serie? Notation M Anzahl der verschiedenen Bilder einer Serie: {1,…,M} n Anzahl der gekauften Duplo: {1,...,n} unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen Realisierungen der Zufallsvariablen Zufallsvariable ist gleichverteilt zum Parameter M

11 Beispiele für Schätzer { nächste ganze Zahl zu } 3 S AMMELBILDERPROBLEM

12 o Qualität der Schätzer überprüfen  nicht erwartungstreu  konsistent  nicht erwartungstreu  nicht konsistent { nächste ganze Zahl zu }  ungefähr erwartungstreu  konsistent

13 4 Z ÄHLUNG VON A UTOUNFÄLLEN ( POISSONVERTEILUNG ) In dieser Zählung werden Autounfälle in einem bestimmten Zeitintervall (pro Tag) erfasst. Notation nAnzahl der Tage: {1,…n} entspricht der mittleren Unfallanzahl pro Tag Anzahl der Autounfälle am i-ten Tag (unabhängig, identisch verteilte Zufallsvariable) Realisierungen der Zufallsvariablen Zufallsvariable ist poissonverteilt zum Parameter

14 Beispiel eines Schätzers  erwartungstreu  konsistent 4 V ERKEHRSZÄHLUNG ( POISSONVERTEILUNG )

15 5 Z USAMMENFASSUNG Ziel der Statistik: Aussagen über einen unbekannten Parameter treffen  dazu erforderlich: Schätzer Gute Qualität der Schätzer!?  Gütekriterien nutzen, wie z.B. Erwartungstreue: für alle Konsistenz: für alle

16 6 Q UELLEN Knöpfel, H. & Löwe, M. (2007). Stochastik – Struktur im Zufall. München: Oldenburg-Verlag Georgii, H.-O. (2009). Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. De Gruyter- Verlag. Bourier, G. (2011). Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik: Praxisorientierte Einführung mit Aufgaben und Lösungen. Wiesbaden: Gabler-Verlag. Kunze, S. (2010). Das Sammelbilderproblem. Mathematische Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie. Online abrufbar unter 010_12.pdf


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