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1 2. Einzielentscheidungen mit einem Szenarium  Entscheidungssituation, in der ein Entscheider unter Berück- sichtigung nur eines Ziels in einer Sicherheitssituation.

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1 1 2. Einzielentscheidungen mit einem Szenarium  Entscheidungssituation, in der ein Entscheider unter Berück- sichtigung nur eines Ziels in einer Sicherheitssituation eine Auswahl aus mehreren Alternativen treffen muß  Konsequenzen des Umweltzustandes bezüglich der Zielgröße werden beschrieben durch: 2.1 Deterministische Bewertung 2.2 Stochastische Bewertung 2.3 Fuzzy-Bewertung

2 2 2.1 Deterministische Bewertung  Ergebnisse in Form reeller Zahlen x i = g(a i )  Ergebnisse in Form von Nutzenwerten  (ordinale) Nutzenfunktion:  anspruchsniveaubezogene Zielformulierung  optimale Aktion a*  A

3 3 2.2 Stochastische Bewertung  ausreichende Erfahrungen aus der Vergangenheit  Konsequenzen in Form einfacher Wahrscheinlichkeitsverteilungen über R  Ergebnisse in Form von normalverteilten Nutzenwerten  Normalverteilung mit Mittelwert  und Standardabweichung 

4 4 Dichtefunktion normalverteilter Ergebnisse Bei einer Normalverteilung - 68,27% der Wahrscheinlichkeitsmasse über dem Intervall - 95,45% der Wahrscheinlichkeitsmasse über dem Intervall - 99,73% der Wahrscheinlichkeitsmasse über dem Intervall

5 5   -Regel  Mittelwerte als Entscheidungsgrundlage  starke Vereinfachung, Streuung wird vollkommen vernachlässigt   ( ,  )-Regel  Maximierung des Nutzenmittelwertes bei gleichzeitiger Minimierung der Streuung  Zweizielproblem lösbar durch Angabe der Indifferenzkurven Risikoaversion   Risikofreude   Risikoneutralität  

6 6 Beispiel - Portfoliotheorie: Wertpapiermischung zwischen - einem festverzinslichen Papier F, dessen Ertrag N(  F,  F )- normalverteilt und - einem Aktienpaket A, dessen Ertrag N(  A,  A )-normalverteilt ist, wobei  F <  A und  F <  A  mit dem Mittelwert  Mischung aus x Teilen F, 0

7 7 Portfolio im ( ,  )-Diagramm FF AA   AA FF  adäquate Entscheidungsregel für normalverteilte Ergebnisse, die durch Parameter  und  vollständig beschrieben sind

8 8 Schiefverteilte Ergebnisse Mehrgipflige Ergebnisse

9 9 2.3 Fuzzy-Bewertung  nicht ausreichende Erfahrungen aus der Vergangenheit  vages Wissen in Form von Fuzzy-Größen  Abgrenzung in der Praxis schwierig wegen Grenzfällen  Fuzzy-Menge: Ist X eine Menge von Objekten, die hinsichtlich einer unscharfen Aussage zu bewerten sind, so heißt eine unscharfe Menge auf X (fuzzy set in X).  subjektive Zugehörigkeitsfunktion  A  Menge im Sinne von Cantor: Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen  scharf abgegrenzte Menge, a  A oder a  A

10 10 Unscharfe Menge „junge Männer“

11 11 Unscharfe Menge „ungefähr gleich 8“

12 12 Prognose des Finanzexperten P. Rognose über den LIBOR im nächsten Jahr: „Der LIBOR liegt im nächsten Jahr über 3% und unter 8%, am ehesten aber erwarte ich, daß er im Intervall [5%; 5.5%] liegt.“  Fuzzy-Größen zur dem Informationsstand des Entscheiders angepaßten Form der Wissensmodellierung

13 13 Fuzzy-Größen  Gesamtheit ihrer  -Niveau -Mengen  Beschränkung auf prominente Zugehörigkeitswert/  -Niveaus  stückweise lineare Zugehörigkeitsfunktion des  - -Typs

14 14 arithmetische Operationen mit Fuzzy-Größen  erweiterte Addition: 5 Alternativen 1 

15 15  Nutzenfunktion:,  -Präferenz,  -Präferenz,Niveau-Ebenen-Verfahren Auswahl der nutzenmaximalen Alternative  Rangordnung von Fuzzy-Größen

16 16  -Präferenz Eine Menge wird einer Menge auf dem Niveau   [0,1] vorgezogen, und man schreibt, wenn  die kleinste reelle Zahl ist, so daß für alle   [ , 1] und für wenigstens ein   [ , 1] diese Ungleichung im strengen Sinne erfüllt ist. Dabei sind und die  -Niveau-Mengen von bzw..

17 17 kann gelten für  für  =   für  =  für  = 1  ob ein Entscheidungsträger ein Präferenzniveau  für aus- reichend hält, hängt von seiner subjektiven Risikoeinstellung ab.

18 18  für  =   für  =  für  = 1  eher pessimistsiche Grundhaltung, da nur die negativen und nicht gleichzeitig die positiven Aspekte berücksichtigt werden 1 

19 19  -Präferenz Eine Menge wird einer Menge auf dem Niveau   [0,1] vorgezogen, und man schreibt, wenn  die kleinste reelle Zahl ist, so daß und für alle   [ , 1] und für wenigstens ein   [ , 1] diese Ungleichung im strengen Sinne erfüllt ist.

20 20  schwächere Ordnungsrelation, deswegen nur mit das restriktivste Zugehörigkeitsniveau  verwenden 1  Niveau-Ebenen-Verfahren für Fuzzy-Intervalle des  - -Typs

21 21 1   Werte ins Verhältnis zur Länge des kleinsten Intervalls, das die stüt- zenden Mengen enthält, als Sicherheitsschranke


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