Stochastik ganz kurz Beispiel diskret Würfelwurf Beispiel stetig

Präsentation zum Thema: "Stochastik ganz kurz Beispiel diskret Würfelwurf Beispiel stetig"—  Präsentation transkript:

1 Stochastik ganz kurz Beispiel diskret Würfelwurf Beispiel stetig
Wassertemperatur Zufallsexperiment Ergebnisse Ergebnisraum (-menge)  Ereignis Stoch

2 Bsp. P{j} = 1/6, j=1,...,6, P{U} = 1/6+1/6+1/6=1/2;
P{[a,b]}= (b-a)/100 Stoch

3 Stoch

4 Stoch

5 Stoch

6 Stoch

7 Stoch

8 Stoch

9 Stoch

10 Seien X1,...,Xn IID, exponentiell verteilt. Dann ist
Y = X1+...+Xn Erlang-n-verteilt; der Variationskoefizient ist 1/n. Seien X1 und X2 unabhängig und exponentiell verteilt mit i. allg. unterschiedlichen Mittelwerten. Dann ist hyperexponentiell verteilt; der Variationskoefizient ist  1. Stoch

11 Stoch

12 Stoch

13 Stoch

14 a-Quantil xa, 0< a <1: Der kleinste Wert xa mit F(xa) a Stoch

15 Stoch

16 Stoch

17 Stoch

18 Stoch

19 Stoch

20 Stoch

21 Stoch

22 Stoch

23 Stoch

24 haltungsstrategie (s,S)
Vereinfachte Lager- haltungsstrategie (s,S) Stoch

25 Stochastische Prozesse, die sich bei einer Simulation
ergeben, sind sicher im allgemeinen nicht kovarianz- stationär, höchstens nach der Einschwingphase näherungsweise. Stoch

26 Normalverteilung Stoch

27 Chi_Quadrat-Verteilung
N(0,1) heißt Standard-Normalverteilung. Verteilungsfunktion aus Tabellen. Chi_Quadrat-Verteilung Student´sche t-Verteilung Stoch

28 Schätzer, Schätzfunktionen
Seien X1,...,Xn IID ZV (mathematische Stichprobe) mit endlichem Erwartungswert  und endlicher Varianz 2. Das Stichprobenmittel (sample mean) ist ein erwartungstreuer Schätzer für den Erwartungswert , d.h. sogar wenn die ZV abhängig sind. Stoch

29 Die Stichprobenvarianz
ist ein erwartungstreuer Schätzer für die Varianz, Das gilt aber nur bei Unabhängigkeit der Xi, sonst ist Immerhin, wenn die Summe konvergiert, ist der Schätzer asymptotisch erwartungstreu (konsistent). Stoch

30 Die Varianz des Stichprobenmittels ist sehr wichtig für die
Beurteilung der statistischen Güte von Simulationsergebnissen, nämlich für Vertrauensintervalle. Für die Varianz des Stichprobenmittels gilt aber nur bei Unabhängigkeit der Xi, sonst ist Da es schwierig ist, die Korrelationen j zu schätzen, ist die Anwendung dieser Formel nicht einfach. Abhilfe: Durch mehrere unabhängige Simulationsläufe (Replikationen) werden unabhängige Ergebnisse erzwungen. Stoch

31 Schätzung der Korrelationen j für große Stichproben:
Da dieser Schätzer nicht erwartungstreu ist, muß n groß sein. Stoch

32 Beispiel mit kleinem n:
Stoch

33 Vertrauensintervalle
(VI) Seien X1,...,Xn IID ZV (mathematische Stichprobe), normalverteilt mit endlichem Erwartungswert  und endlicher Varianz 2>0. ist ein Vertrauensintervall für den EW  zum Niveau 1-, d.h. Hier ergibt sich das (1- /2)-Quantil aus Stoch

34 Stoch

35 Ist die Varianz 2 unbekannt, so ist das (1-)-Vertrauensintervall
Stoch

36 Ist die mathematische Stichprobe X1,...,Xn nicht normalverteilt,
so gilt aber der zentrale Grenzwertsatz: Satz Sei Fn(z) die Verteilungsfunktion der ZV Damit gilt Unter diesen Umständen sind die oben angegebenen VI nur Näherungen, d.h. die Wahrscheinlichkeit ist nur ungefähr 1-. Sind die X1,...,Xn nicht unabhängig, gelten die VI gar nicht. Dieser Fall wird mit besonderen Methoden behandelt. Stoch

37 Ein Statistischer Test ist ein Verfahren zur Überprüfung einer (Null-)Hypothese H0 über die Verteilung einer ZV X. Beispiele: - E[X]= 0, 0 gegeben. - Die ZV X und Y sind unabhängig. - Die ZV X ist exponentiell verteilt mit Mittelwert . Ergebnis des Tests: „ H0 ist abzulehnen“ oder „ Der Test ergibt keinen Grund, H0 abzulehnen“ Für die Durchführung wird eine Meßreihe x1,...,xn erhoben; das ist eine Realisation einer mathematische Stichprobe X1,...,Xn, (oder auch Zufallsvektoren, (x1,y1),...,(xn,yn), (X1,Y1),...,(Xn,Yn) ). Stoch

38 Zu jedem Test gibt es eine Testfunktion (Testgröße) T=T(X1,
Zu jedem Test gibt es eine Testfunktion (Testgröße) T=T(X1,..., Xn), eine ZV mit bekannter Verteilung. Alle Meßreihen, für die die Nullhypothese H0 abgelehnt wird, bilden den kritischen Bereich (Ablehnungsbereich) der Testfunktion K={T( x1,...,xn ) | H0 ist abzulehnen }. Der Ablehnungsbereich K wird so gewählt, daß die W., daß T(X1,..., Xn)  K, wenn H0 zutrifft, klein ist, und daß sie durch  beschränkt ist: P{T(X1,..., Xn)  K}  .  heißt Testniveau, 1-  Sicherheitswahrscheinlichkeit.  zum Beispiel 0.05, 0.01, (5%, 1%, 1‰). Stoch

39 Wenn die Nullhypothese H0 zutrifft, wird sie mit der kleinen W. P{T(X1,..., Xn)  K} abgelehnt. Folglich produziert der Test falsche Ergebnisse. Diesen Fehler nennt man Fehler 1. Art. Er tritt mit einer W. von höchstens  auf. Es passiert aber auch, daß die Nullhypothese H0 nicht zutrifft, und der Test das Ergebnis „Es gibt keinen Grund, H0 abzulehnen“ hat. Dabei spricht man von einem Fehler 2. Art. Stoch

40 Letzteres ist das (1-/2) - Quantil der t-Verteilung mit n-1
Beispiel t-Test 1) Mathematische Stichprobe N(,2)-verteilt 2) Nullhypothese H0 :  = 0 3) Testfunktion Letzteres ist das (1-/2) - Quantil der t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden. 5) H0 wir verworfen, wenn mit der Meßreihe sonst wird nichts gegen H0 eingewendet Stoch

41 Beispiel Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest Mathematische Stichprobe: (X1,Y1),..., (Xn,Yn). Nullhypothese H0 : Die ZV X und Y sind unabhängig. Testfunktion : Die Wertebereiche W(X) und W(Y) werden in disjunkte Intervalle zerlegt: W(X)=I1I2... Ia, W(Y) =J 1 J 2...  Jb. Zählen, wie oft Xk in Ii liegt: Ni. Mal, Yk in Jj: N. j Mal, (Xk, Yk) in Ii Jj: Ni, j Mal, k=1,...,n. Stoch

42 Kritischer Bereich der Testfunktion: Q[(X1,Y1),
Kritischer Bereich der Testfunktion: Q[(X1,Y1),..., (Xn,Yn)] > , wobei  das (1- )-Quantil der Chi-Quadrat-Verteilung mit (a-1)(b-1) Freiheitsgraden ist. Nullhypothese H0 ablehnen, wenn Q[(x1,y1),..., (xn,yn)] >  für eine Meßreihe (x1,y1),..., (xn,yn) ist. Stoch