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Stoch1 Stochastik ganz kurz Zufallsexperiment Ergebnisse Ergebnisraum (-menge)  Ereignis Beispiel diskret Würfelwurf Beispiel stetig Wassertemperatur.

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Präsentation zum Thema: "Stoch1 Stochastik ganz kurz Zufallsexperiment Ergebnisse Ergebnisraum (-menge)  Ereignis Beispiel diskret Würfelwurf Beispiel stetig Wassertemperatur."—  Präsentation transkript:

1 Stoch1 Stochastik ganz kurz Zufallsexperiment Ergebnisse Ergebnisraum (-menge)  Ereignis Beispiel diskret Würfelwurf Beispiel stetig Wassertemperatur

2 Stoch2 Bsp. P{j} = 1/6, j=1,...,6, P{U} = 1/6+1/6+1/6=1/2; P{[a,b]}= (b-a)/100

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10 10 Seien X 1,...,X n IID, exponentiell verteilt. Dann ist Y = X X n Erlang-n-verteilt; der Variationskoefizient ist 1/n. Seien X 1 und X 2 unabhängig und exponentiell verteilt mit i. allg. unterschiedlichen Mittelwerten. Dann ist hyperexponentiell verteilt; der Variationskoefizient ist  1.

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14 Stoch14 a -Quantil x a, 0< a <1: Der kleinste Wert x a mit F(x a )  a

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24 Stoch24 Vereinfachte Lager- haltungsstrategie (s,S)

25 Stoch25 Stochastische Prozesse, die sich bei einer Simulation ergeben, sind sicher im allgemeinen nicht kovarianz- stationär, höchstens nach der Einschwingphase näherungsweise.

26 Stoch26 Normalverteilung

27 Stoch27 N(0,1) heißt Standard-Normalverteilung. Verteilungsfunktion aus Tabellen. Chi_Quadrat-Verteilung Student´sche t-Verteilung

28 Stoch28 Schätzer, Schätzfunktionen Seien X 1,...,X n IID ZV (mathematische Stichprobe) mit endlichem Erwartungswert  und endlicher Varianz  2. Das Stichprobenmittel (sample mean) ist ein erwartungstreuer Schätzer für den Erwartungswert , d.h. sogar wenn die ZV abhängig sind.

29 Stoch29 Die Stichprobenvarianz ist ein erwartungstreuer Schätzer für die Varianz, Das gilt aber nur bei Unabhängigkeit der X i, sonst ist Immerhin, wenn die Summe konvergiert, ist der Schätzer asymptotisch erwartungstreu (konsistent).

30 Stoch30 Für die Varianz des Stichprobenmittels gilt aber nur bei Unabhängigkeit der X i, sonst ist Die Varianz des Stichprobenmittels ist sehr wichtig für die Beurteilung der statistischen Güte von Simulationsergebnissen, nämlich für Vertrauensintervalle. Da es schwierig ist, die Korrelationen  j zu schätzen, ist die Anwendung dieser Formel nicht einfach. Abhilfe: Durch mehrere unabhängige Simulationsläufe (Replikationen) werden unabhängige Ergebnisse erzwungen.

31 Stoch31 Schätzung der Korrelationen  j für große Stichproben: Da dieser Schätzer nicht erwartungstreu ist, muß n groß sein.

32 Stoch32 Beispiel mit kleinem n:

33 Stoch33 Vertrauensintervalle (VI) Seien X 1,...,X n IID ZV (mathematische Stichprobe), normalverteilt mit endlichem Erwartungswert  und endlicher Varianz  2 >0. ist ein Vertrauensintervall für den EW  zum Niveau 1- , d.h. Hier ergibt sich das (1-  /2)-Quantil aus

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35 Stoch35 Ist die Varianz  2 unbekannt, so ist das (1-  )-Vertrauensintervall

36 Stoch36 Ist die mathematische Stichprobe X 1,...,X n nicht normalverteilt, so gilt aber der zentrale Grenzwertsatz: Satz Sei F n (z) die Verteilungsfunktion der ZV Damit gilt Unter diesen Umständen sind die oben angegebenen VI nur Näherungen, d.h. die Wahrscheinlichkeit ist nur ungefähr 1- . Sind die X 1,...,X n nicht unabhängig, gelten die VI gar nicht. Dieser Fall wird mit besonderen Methoden behandelt.

37 Stoch37 Ein Statistischer Test ist ein Verfahren zur Überprüfung einer (Null-)Hypothese H 0 über die Verteilung einer ZV X. Beispiele: - E[X]=  0,  0 gegeben. - Die ZV X und Y sind unabhängig. - Die ZV X ist exponentiell verteilt mit Mittelwert . Ergebnis des Tests: „ H 0 ist abzulehnen“ oder „ Der Test ergibt keinen Grund, H 0 abzulehnen“ Für die Durchführung wird eine Meßreihe x 1,...,x n erhoben; das ist eine Realisation einer mathematische Stichprobe X 1,...,X n, (oder auch Zufallsvektoren, (x 1,y 1 ),...,(x n,y n ), (X 1,Y 1 ),...,(X n,Y n ) ).

38 Stoch38 Zu jedem Test gibt es eine Testfunktion (Testgröße) T=T(X 1,..., X n ), eine ZV mit bekannter Verteilung. Alle Meßreihen, für die die Nullhypothese H 0 abgelehnt wird, bilden den kritischen Bereich (Ablehnungsbereich) der Testfunktion K={T( x 1,...,x n ) | H 0 ist abzulehnen }. Der Ablehnungsbereich K wird so gewählt, daß die W., daß T(X 1,..., X n )  K, wenn H 0 zutrifft, klein ist, und daß sie durch  beschränkt ist: P{T(X 1,..., X n )  K}  .  heißt Testniveau, 1-  Sicherheitswahrscheinlichkeit.  zum Beispiel 0.05, 0.01, (5%, 1%, 1‰).

39 Stoch39 Wenn die Nullhypothese H 0 zutrifft, wird sie mit der kleinen W. P{T(X 1,..., X n )  K} abgelehnt. Folglich produziert der Test falsche Ergebnisse. Diesen Fehler nennt man Fehler 1. Art. Er tritt mit einer W. von höchstens  auf. Es passiert aber auch, daß die Nullhypothese H 0 nicht zutrifft, und der Test das Ergebnis „Es gibt keinen Grund, H 0 abzulehnen“ hat. Dabei spricht man von einem Fehler 2. Art.

40 Stoch40 Beispiel t-Test 1) Mathematische Stichprobe N( ,  2 )-verteilt 2) Nullhypothese H 0 :  =  0 3) Testfunktion Letzteres ist das (1-  /2) - Quantil der t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden. 5) H 0 wir verworfen, wenn mit der Meßreihe sonst wird nichts gegen H 0 eingewendet

41 Stoch41 Beispiel Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest Mathematische Stichprobe: (X 1,Y 1 ),..., (X n,Y n ). Nullhypothese H 0 : Die ZV X und Y sind unabhängig. Testfunktion : Die Wertebereiche W(X) und W(Y) werden in disjunkte Intervalle zerlegt: W(X)=I 1  I 2 ...  I a, W(Y) =J 1  J 2 ...  J b. Zählen, wie oft X k in I i liegt: N i. Mal, Y k in J j : N. j Mal, (X k, Y k ) in I i J j : N i, j Mal, k=1,...,n.

42 Stoch42 Kritischer Bereich der Testfunktion: Q[(X 1,Y 1 ),..., (X n,Y n )] > , wobei  das (1-  )-Quantil der Chi-Quadrat- Verteilung mit (a-1)(b-1) Freiheitsgraden ist. Nullhypothese H 0 ablehnen, wenn Q[(x 1,y 1 ),..., (x n,y n )] >  für eine Meßreihe (x 1,y 1 ),..., (x n,y n ) ist.


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