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Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 08.12.2006 Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

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1 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am Fr. 08:30-10:00 Uhr; R (Hörsaal) Universität Kassel (UNIK) FB 16 Elektrotechnik / Informatik FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG) FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115 D Kassel Dr.-Ing. René Marklein Tel.: ; Fax: URL: URL:

2 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle Gegeben: Gesucht: Gesucht sind alle Ströme über die Knotenanalyse. Bild Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005])

3 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle Lösung: 1. Spannungsquelle in Stromquelle umwandeln Bild Äquivalente Quellen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 105, 2005])

4 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle Bild Dreimaschiges Netz mit einer Stromquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 106, 2005]) Bild Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005]) Ergibt Netz mit unabhängigen Spannungen Bezugspunkt! 2. Bezugspunkt festlegen und vollständigen Baum sternförmig einzeichen G6 I

5 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle Knoten A: 1. Zeile der Leitwertmatrix bildet sich aus den Leitwerten G 1 = 1 S, G 4 = 1/3 S, G 6 = 1 S Quellstrom I Q6 = 10 A fließt in den Knoten Bezugspunkt! Knoten- leitwert Kopplungsleitwert Kopplungs- leitwert

6 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle Knoten B 2. Zeile der Leitwertmatrix bildet sich aus den Leitwerten G 2 = 1 S, G 4 = 1 S, G 5 = 1/5 S kein Quellstrom am Knoten B Bezugspunkt! Knoten- leitwert Kopplungs- leitwert Kopplungsleitwert

7 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle Knoten C 3. Zeile der Leitwertmatrix bildet sich aus den Leitwerten G 3 = 1/2 S, G 5 = 1/5 S, G 6 = 1 S Bezugspunkt! Quellstrom I Q6 = 10 A fließt von dem Knoten weg. Knoten- leitwert Kopplungs- leitwert Kopplungsleitwert

8 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle Leitwertmatrix Spannungs- vektor Stromvektor der Quellströme Leitwertmatrix ist symmetrisch!

9 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle 3. Zeile *10 auf 1. Zeile *17 addieren: -> mal -57 -> -> mal 36 -> U 3 eliminieren: 2. Zeile *(-5) und auf 1. Zeile addieren: -> mal 3 ->

10 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle

11 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle Also folgt also für die 3 unabhängigen Spannungen und die 3 abhängigen Spannungen (Umlaufgleichungen): Über die Leitwerte folgen dann die Ströme:

12 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle Bezugspunkt!

13 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Vergleich zwischen Umlauf- und Knotenanalyse Wie viele Zweige kann ein Netz mit K Knoten maximal haben? (jeweils Maximalzahl Zweige) Zu einem Netz mit K Knoten (oben hier K = 4 ) kann man mit einem weiteren Knoten (hier der Knoten E ) zusätzliche Zweige hinzufügen (hier 4 zusätzliche Zweige, also so viele Zweige wie im vorherigen Netz Knoten waren: Bild Zur Herstellung des Zusammenhanges zwischen K und (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 108, 2005]) Beim Übergang von K nach K + 1 folgt

14 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Vergleich zwischen Umlauf- und Knotenanalyse Zahl der Baumzweige bei K Knoten: Damit maximal mögliche Zahl an Verbindungszweigen: Knoten- anzahl K Anzahl der Baumzweige = Zahl der Unbekannten Knotenanalyse B = K - 1 Maximale Anzahl der Zweige Anzahl der Ver- bindungszweige = Zahl der Unbekannten Umlaufanalyse 2110(-1) Bei V > B ergibt Knotenanalyse einfacheres Gleichungssystem (weniger Unbekannte, ab K ≥ 5 möglich). Ab K = 5 Knoten ist Knotenanalyse vorteilhafter, außer wenn Spannungen und/oder Ströme vorgegeben = eingeprägt sind (damit entsprechend weniger Unbekannte). bis zu dem die Umlaufanalyse effizienter ist, zu höheren Knotenzahlen. Wenn Zahl der Zweige deutlich kleiner als o. g. Maximalzahl, verschiebt sich der Punkt, Gleicher Aufwand für Umlauf- und Knotenanalyse Bei dieser Betrachtung werden alle Knoten nur einfach über einen Zweig verbunden!

15 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Vergleich zwischen Umlauf- und Knotenanalyse

16 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Vergleich zwischen Umlauf- und Knotenanalyse Gleiche Spannung! Nur eine Unbekannte bei der Knotenanalyse! … man könnte beliebig viele Baumzweige anhängen! Dies wird aber bei der obigen Betrachtung nicht zugelassen. Es werden nur die Zweige betrachtet, die die Knoten nur einmal verbinden! Bei der eben durchgeführten Betrachtung nicht erlaubt ist beispielsweise …

17 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.34: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Spannungsquelle Gegeben: Gegeben sind alle Leitwerte und die Quellspannung Gesucht: Gesucht sind alle Spannungen über die Knotenanalyse. Das heißt, gesucht sind die Spannungen U 2 und U 3, da U Q1 gegeben und damit bekannt ist. Bild Dreimaschiges Netz mit einer idealen Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 108, 2005]) Knotenanalyse Umlaufanalyse eigentlich führt dies jeweils auf 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten -> gleicher Aufwand U Q1 ist aber gegeben, d.h. bei der Knotenanalyse sind nur 2 Unbekannte zu bestimmen, wobei bei der Umlaufanalyse 3 Unbekannte berechnet werden müssten.

18 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.34: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Spannungsquelle Lösung: 1. Bezugspunkt festlegen 2. Baum sternförmig festlegen Bezugspunkt!

19 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.34: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Spannungsquelle 3. Leitwertmatrix aufstellen Die untersten zwei Zeilen führen direkt auf zwei Gln. mit zwei Unbekannten, da U 1 bekannt ist ( I 1 nur Platzhalter, wird zu Lösung nicht benötigt ): Zahlen eingesetzt: (*2) in erste Gl. einsetzen:

20 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.34: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Spannungsquelle Damit können die abhängigen Spannungen in den Verbindungszweigen berechnet werden: Bild Dreimaschiges Netz mit einer idealen Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 108, 2005])

21 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiele zur Umlauf- und Knotenanalyse …

22 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Ende der Vorlesung


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