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Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 08.12.2006 Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

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1 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 08.12.2006 Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal) Universität Kassel (UNIK) FB 16 Elektrotechnik / Informatik FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG) FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115 D-34121 Kassel Dr.-Ing. René Marklein E-Mail: marklein@uni-kassel.demarklein@uni-kassel.de Tel.: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489 URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.tet.e-technik.uni-kassel.de URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.htmlhttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

2 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 2 Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle Gegeben: Gesucht: Gesucht sind alle Ströme über die Knotenanalyse. Bild 2.76. Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005])

3 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 3 Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle Lösung: 1. Spannungsquelle in Stromquelle umwandeln Bild 2.95. Äquivalente Quellen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 105, 2005])

4 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 4 Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle Bild 2.96. Dreimaschiges Netz mit einer Stromquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 106, 2005]) Bild 2.76. Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005]) Ergibt Netz mit unabhängigen Spannungen Bezugspunkt! 2. Bezugspunkt festlegen und vollständigen Baum sternförmig einzeichen G6 I

5 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 5 Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle Knoten A: 1. Zeile der Leitwertmatrix bildet sich aus den Leitwerten G 1 = 1 S, G 4 = 1/3 S, G 6 = 1 S Quellstrom I Q6 = 10 A fließt in den Knoten Bezugspunkt! Knoten- leitwert Kopplungsleitwert Kopplungs- leitwert

6 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 6 Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle Knoten B 2. Zeile der Leitwertmatrix bildet sich aus den Leitwerten G 2 = 1 S, G 4 = 1 S, G 5 = 1/5 S kein Quellstrom am Knoten B Bezugspunkt! Knoten- leitwert Kopplungs- leitwert Kopplungsleitwert

7 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 7 Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle Knoten C 3. Zeile der Leitwertmatrix bildet sich aus den Leitwerten G 3 = 1/2 S, G 5 = 1/5 S, G 6 = 1 S Bezugspunkt! Quellstrom I Q6 = 10 A fließt von dem Knoten weg. Knoten- leitwert Kopplungs- leitwert Kopplungsleitwert

8 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 8 Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle Leitwertmatrix Spannungs- vektor Stromvektor der Quellströme Leitwertmatrix ist symmetrisch!

9 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 9 Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle 3. Zeile *10 auf 1. Zeile *17 addieren: -> mal -57 -> -> mal 36 -> U 3 eliminieren: 2. Zeile *(-5) und auf 1. Zeile addieren: -> mal 3 ->

10 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 10 Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle

11 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 11 Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle Also folgt also für die 3 unabhängigen Spannungen und die 3 abhängigen Spannungen (Umlaufgleichungen): Über die Leitwerte folgen dann die Ströme:

12 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 12 Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle Bezugspunkt!

13 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 13 2.8.5 Vergleich zwischen Umlauf- und Knotenanalyse Wie viele Zweige kann ein Netz mit K Knoten maximal haben? (jeweils Maximalzahl Zweige) Zu einem Netz mit K Knoten (oben hier K = 4 ) kann man mit einem weiteren Knoten (hier der Knoten E ) zusätzliche Zweige hinzufügen (hier 4 zusätzliche Zweige, also so viele Zweige wie im vorherigen Netz Knoten waren: Bild 2.98. Zur Herstellung des Zusammenhanges zwischen K und (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 108, 2005]) Beim Übergang von K nach K + 1 folgt

14 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 14 2.8.5 Vergleich zwischen Umlauf- und Knotenanalyse Zahl der Baumzweige bei K Knoten: Damit maximal mögliche Zahl an Verbindungszweigen: Knoten- anzahl K Anzahl der Baumzweige = Zahl der Unbekannten Knotenanalyse B = K - 1 Maximale Anzahl der Zweige Anzahl der Ver- bindungszweige = Zahl der Unbekannten Umlaufanalyse 2110(-1) 3231 43630 541062 6515105 7621159 Bei V > B ergibt Knotenanalyse einfacheres Gleichungssystem (weniger Unbekannte, ab K ≥ 5 möglich). Ab K = 5 Knoten ist Knotenanalyse vorteilhafter, außer wenn Spannungen und/oder Ströme vorgegeben = eingeprägt sind (damit entsprechend weniger Unbekannte). bis zu dem die Umlaufanalyse effizienter ist, zu höheren Knotenzahlen. Wenn Zahl der Zweige deutlich kleiner als o. g. Maximalzahl, verschiebt sich der Punkt, Gleicher Aufwand für Umlauf- und Knotenanalyse Bei dieser Betrachtung werden alle Knoten nur einfach über einen Zweig verbunden!

15 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 15 2.8.5 Vergleich zwischen Umlauf- und Knotenanalyse

16 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 16 2.8.5 Vergleich zwischen Umlauf- und Knotenanalyse Gleiche Spannung! Nur eine Unbekannte bei der Knotenanalyse! … man könnte beliebig viele Baumzweige anhängen! Dies wird aber bei der obigen Betrachtung nicht zugelassen. Es werden nur die Zweige betrachtet, die die Knoten nur einmal verbinden! Bei der eben durchgeführten Betrachtung nicht erlaubt ist beispielsweise …

17 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 17 Beispiel 2.34: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Spannungsquelle Gegeben: Gegeben sind alle Leitwerte und die Quellspannung Gesucht: Gesucht sind alle Spannungen über die Knotenanalyse. Das heißt, gesucht sind die Spannungen U 2 und U 3, da U Q1 gegeben und damit bekannt ist. Bild 2.99. Dreimaschiges Netz mit einer idealen Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 108, 2005]) Knotenanalyse Umlaufanalyse eigentlich führt dies jeweils auf 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten -> gleicher Aufwand U Q1 ist aber gegeben, d.h. bei der Knotenanalyse sind nur 2 Unbekannte zu bestimmen, wobei bei der Umlaufanalyse 3 Unbekannte berechnet werden müssten.

18 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 18 Beispiel 2.34: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Spannungsquelle Lösung: 1. Bezugspunkt festlegen 2. Baum sternförmig festlegen Bezugspunkt!

19 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 19 Beispiel 2.34: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Spannungsquelle 3. Leitwertmatrix aufstellen Die untersten zwei Zeilen führen direkt auf zwei Gln. mit zwei Unbekannten, da U 1 bekannt ist ( I 1 nur Platzhalter, wird zu Lösung nicht benötigt ): Zahlen eingesetzt: (*2) in erste Gl. einsetzen:

20 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 20 Beispiel 2.34: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Spannungsquelle Damit können die abhängigen Spannungen in den Verbindungszweigen berechnet werden: Bild 2.99. Dreimaschiges Netz mit einer idealen Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 108, 2005])

21 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 21 Beispiele zur Umlauf- und Knotenanalyse …

22 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 22 Ende der Vorlesung


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