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Kapitel 5 Rotation 5. Rotationsbewegung 5.1 Translation - Rotation.

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Präsentation zum Thema: "Kapitel 5 Rotation 5. Rotationsbewegung 5.1 Translation - Rotation."—  Präsentation transkript:

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2 Kapitel 5 Rotation 5. Rotationsbewegung 5.1 Translation - Rotation

3 Kapitel 5 Rotation

4 5. Rotationsbewegung 5.1 Translation – Rotation Eine Rotationsbewegung liegt vor, wenn sich ein starrer Körper relativ zu einem Inertialsystem um einen festen Punkt dreht. Im Folgenden wollen wir eine feste Drehachse annehmen. Beispiele: Schaukel, Karussell, Drehstuhl,...

5 Kapitel 5 Rotation Der Drehwinkel (Winkelweg) Die Punkte des starren Körpers umlaufen die Achse umso schneller, je weiter sie von der Achse entfernt sind. Drehwinkel: Einheit: Radiant ist dimensionslos. In der Physik wird fast ausschließlich mit dem Bogenmaß gearbeitet.

6 Kapitel 5 Rotation Eine volle Umdrehung (360°) entspricht 2 π. Umrechnung Gradmaß Bogenmaß: Wiederhole die Formel zur Berechnung der Bogenlänge! Daraus folgt: φ... Winkel im Bogenmaß α … Winkel im Gradmaß Gradmaß030°45°57°90°180°360° Bogenmaß01 π 2π2π

7 Kapitel 5 Rotation Führe Aufgabe A 2 S. 77 (Basiswissen 5RG) aus! Sekundenzeiger: dreht sich in 1/2 h 30 mal. s = 30*15*2π = 900 π mm Minutenzeiger: min = 14* π mm Stundenzeiger: h = 12 * π /12 = mm

8 Kapitel 5 Rotation Winkelgeschwindigkeitsvektor  5.2 Winkelgeschwindigkeit, Winkelbe- schleunigung, Bahngeschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit = Einheit: Die Winkelgeschwindigkeit ist ein Vektor in Richtung der Drehachse. Seine Richtung wird mit Hilfe der Korkenzieherregel (Rechtsschraubenregel) bestimmt.

9 Kapitel 5 Rotation Für eine gleichförmige Drehung gilt: ω = const. Für viele Anwendungen ist die Zeitdauer für eine Umdrehung wichtig. Periodendauer: T ( = Zeit für einen Umlauf) Umdrehungszahl: f ( = Frequenz)

10 Kapitel 5 Rotation Winkelbeschleunigung – ungleichförmige Rotation Wird eine Rotation schneller oder langsamer, ändert sich die Winkelgeschwindigkeit. Dies geben wir durch die Winkelbeschleunigung an. Winkelbeschleunigung = Einheit: Die Winkelbeschleunigung ist ebenso ein Vektor in Richtung der Drehachse.

11 Kapitel 5 Rotation Die Bahngeschwindigkeit  v r r  v = x Die Geschwindigkeit ist ein Vektor. Vektorielles Produkt: Beispiel: Berechne die Bahngeschwindigkeit der Erde am Äquator!

12 Kapitel 5 Rotation Winkelgeschwindigkeitsvektor  Bahngeschwindigkeitsvektor  v r r  v = x

13 Kapitel 5 Rotation Kreuzprodukt

14 Kapitel 5 Rotation Versuch: Mit der Faust wird auf das Brett geschlagen. Dadurch werden die beiden Körper in die Höhe geschleudert. Um wie viel springt K 2 höher? Vermutung: wegen v = r → doppelt so hoch. Richtig: Wegen der kinetischen Energie 4 mal so hoch.

15 Kapitel 5 Rotation 5.3 Die Zentripetalkraft Versuch: Eine Gruppe von SchülerInnen stellt sich im Kreis auf und versucht ein Spielzeugauto auf einer Kreisbahn zu halten. Was ist dazu notwendig? Die Zentripetalkraft ist jene Kraft, die nötig ist, einen Körper auf einer Kreisbahn zu halten. Sie ist zum Zentrum hin gerichtet.

16 Kapitel 5 Rotation

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20 vv v r  Zentripetalbeschleunigung ss 

21 Kapitel 5 Rotation Die Zentripetalkraft ergibt sich somit zu: Führe Rechenbeispiel A1 S. 81 (Basiswissen 5RG) aus! Ein Auto fährt durch eine Kurve, deren kleinster Krümmungsradius r = 15 m beträgt. Welche Zentripetalbeschleunigung muss auf das Auto wirken, wenn die Kurve mit 30, 60 und 120 km/h durchfahren werden soll? Welche Werte sind realistisch? Wird die Zentripetalbeschleunigung doppelt so groß, wenn die Geschwindigkeit auf das Doppelte erhöht wird? 1) 30 km/h 2) 60 km/h 3) 120 km/h Nicht realistisch

22 Kapitel 5 Rotation Straßenverkehr Ob eine Kurve noch durchfahren werden kann, kommt auf die Straßenverhältnisse, auf die Enge der Kurve (Kurvenradius) und auf die Geschwindigkeit des Fahrzeuges an. Dabei ist zu beachten, dass die Zentripetalkraft mit dem Quadrat der Geschwindigkeit wächst („Fahre v-denke v 2 ")!

23 Kapitel 5 Rotation v=const. Indirekt proportional zu r

24 Kapitel 5 Rotation F=m  2 r  =const. Direkt proportional zu r

25 Kapitel 5 Rotation F=m  2 r Auto in der Kurve

26 Kapitel 5 Rotation 5.4 Die Zentrifugalkraft Ein Körper wird auf einer sich gleichmäßig rotierenden Scheibe von einer Federwaage festgehalten. Die Federwaage zeigt eine Kraft an.

27 Kapitel 5 Rotation Erklärung: 1. Beobachter im Inertialsystem (außerhalb der Scheibe): Der Körper ist relativ zur Scheibe in Ruhe, relativ zum Inertialsystem auf einer Kreisbahn mit der Geschwindigkeit v = ωr. Dazu ist die Zentripetalkraft notwendig. Sie wird von der Feder aufgebracht. 2. Beobachter auf der rotierenden Scheibe (kein Inertialsystem): Die Kugel ist trotz der wirkenden Federkraft in Ruhe. Es muss eine Kraft angreifen, die der Federkraft das Gleichgewicht hält. Sie ist nach außen gerichtet.

28 Kapitel 5 Rotation ruhend rotierend Zentripetalkraft Zentrifugalkraft Die Zentripetalkraf t bewirkt die Kurvenfahrt. Die Zentrifugalkraf t drängt mich nach außen.

29 Kapitel 5 Rotation Die Zentrifugalkraft ist eine Trägheitskraft, die nur in rotierenden Systemen auftritt. Trägheitskräfte werden eingeführt, um die Newtonsche Mechanik auch auf Nicht ‑ Inertialsysteme anwenden zu können. Beachte: Die Zentrifugalkraft ist nicht die Gegenkraft zur Zentripetralkraft. Beispiele zur Zentrifugalkraft: Zentrifuge, Wäscheschleuder Fliehkraftregeler (z. B. in Dampfmaschinen, Kupplungen,...) Abplattung der Erde (Modell zeigen) Versuch: Prinzip der Flex (Winkelschleifer) Pappscheibe in Bohrmaschine einspannen und in schnelle Rotation versetzen. → Sie ist in der Lage Holz zu durchtrennen Erklärung: Durch die Zentrifugalkraft streben alle Teilchen nach außen. Dadurch erfährt die Scheibe eine große Verbiegungsfestigkeit.

30 Kapitel 5 Rotation Fliehkraftregler

31 Kapitel 5 Rotation Geoid a=6378km, b=6357km Geoid mit überhöhten Abweichungen. Schwarze Linie = Greenwich-Meridian Geoid

32 Kapitel 5 Rotation Fliehkraftversuche m 1  2 r 1 = m 2  2 r 2 m 1 r 1 = m 2 r 2 m 1 : m 2 = r 2 : r 1

33 Kapitel 5 Rotation Ende Kugelschwebe

34 Kapitel 5 Rotation Übungsaufgaben zu Rotation Rotation: Zentrifugalkraft 1. In zukünftigen Weltraumstationen will man das irdische Schwerefeld simulieren. Aus diesem Grund plant man, den Stationen die Form von riesigen, hohlen Rädern zu geben. Die Wohnräume sollen sich am Außenrand des Rades (Radius r=100m ) befinden. a) Mit welcher Winkelgeschwindigkeit muss das Rad umlaufen, um außen das irdische Schwerefeld (g=10ms -2 ) vorzutäuschen? /(0,3s -1 ) b) Wie lange benötigt die Station für eine Drehung? (21s) c) Welche Geschwindigkeit (aufgrund der Rotation) hat jeder Körper in den Wohnräumen? (32ms -1 ) 2. Beim Schispringen wird der Athlet (m=80kg) durch die Krümmung vor dem Schanzentisch in die Anlaufspur gedrückt. a) Berechne diese zusätzliche Kraft: Die Krümmung ist kreisförmig mit einem Krümmungsradius von 70m, die Geschwindigkeit des Springers ist 90km/h. (710N) b) Laut internationaler Regel darf die zusätzliche Beschleunigung durch Krümmungen die Erdbeschleunigung g nicht überschreiten. Wie groß muß der Krümmungsradius zwischen Aufsprung und Auslauf mindestens sein, um diese Forderung zu erfüllen, wenn der Springer eine Maximalgeschwindigkeit von 105km/h erreichen kann? (87m)

35 Kapitel 5 Rotation 5.5 Rotationsenergie - Trägheitsmoment Die Translationsenergie beträgt: Die Massenpunkte haben jeweils andere,... ………. Weil

36 Kapitel 5 Rotation Rotationsenergie Das Trägheitsmoment hängt von der Masse des Körpers und vom Abstand der Masse vom Drehzentrum ab. Das Trägheitsmoment spielt bei der Rotationsbewegung dieselbe Rolle wie die Masse bei der Translationsbewegung. Das Trägheitsmoment ist für unregelmäßige Körper schwierig zu bestimmen. Für regelmäßige Körper gibt es Berechnungsformeln (mit Integralrechnung 8. Klasse)

37 Kapitel 5 Rotation Vollzylinder (mit Drehachse = Körperachse): Kugel: Versuch: Ein Hohl- und ein Vollzylinder mit gleicher Masse rollen eine schiefe Ebene hinunter. Welcher der beiden ist zuerst unten? Ergebnis: Der Vollzylinder. Ansatz: Hohlzylinder: Vollzylinder: Im Hohlzylinder steckt mehr Rotationsenergie.

38 Kapitel 5 Rotation Beispiele, wo sich das Trägheitsmoment auswirkt: Schwungräder (bei Dampfmaschine, Automotoren,...) Autoreifen auswuchten (Schwerpunkt muss in der Drehachse liegen, sonst unruhiger Lauf).

39 Kapitel 5 Rotation 5.6 Der Drehimpuls Analog zum Impuls bei der Translation wollen wir den Drehimpuls festlegen. Translation: Impuls p = mv Rotation: Drehimpuls: Der Drehimpulssatz im abgeschlossenen System Translation: = konstant Rotation: Gesamtdrehimpuls: Im abgeschlossenen System bleibt der Drehimpuls erhalten. Anhand von Versuchen soll der Drehimpulssatz überprüft werden. L 

40 Kapitel 5 Rotation  L = I · Drehimpulsvektor  L

41 Kapitel 5 Rotation Drehschemelversuch

42 Kapitel 5 Rotation Versuch 1: Nun zieht die VP die Gewichte ganz nahe an sich. → VP rotiert schneller. Versuchsperson sitzt auf Drehschemel und bekommt in beide Hände ein Gewicht. Die Versuchsperson wird bei gestreckten Armen (Gewichte außen) in Rotation versetzt. Mit gestreckten Armen: Mit angezogenen Armen: aus Man könnte auch mit Kräften argumentieren: Durch das Hereinziehen tritt eine zusätzliche Kraft auf (Kräftezerlegung), die eine Erhöhung der Winkelgeschwindigkeit bewirkt.

43 Kapitel 5 Rotation Versuch 2: Die Versuchsperson sitzt auf dem Drehschemel und hält ein Rad mit Drehachse parallel zur Schemelachse. Beide sind in Ruhe. Gesamtdrehimpuls: Die VP beginnt das Rad von oben gesehen gegen den Uhrzeigersinn zu drehen.  Die VP mit dem Schemel dreht sich im Uhrzeigersinn. Bremst die VP das Rad wieder ab, kommen VP und Rad zur Ruhe.

44 Kapitel 5 Rotation Versuch 3 Die Versuchsperson sitzt auf dem Drehschemel in Ruhe. Sie bekommt ein rotierendes Rad mit Drehachse parallel zur Schemelachse. Gesamtdrehimpuls:  Die VP mit dem Schemel dreht sich nicht. Nun bremst die Versuchsperson ab.

45 Kapitel 5 Rotation Zusatzversuch: VP bekommt wieder das rotierende Rad. Gesamtdrehimpuls: Nun dreht die VP die Achse des rotierenden Rades um 180°.

46 Kapitel 5 Rotation Gesamtdrehimpuls am Beginn: Gesamtdrehimpuls nach Drehen der Radachse um 180°: Die Versuchsperson dreht sich in die ursprüngliche Richtung des Rades (vor Drehen) aber mit höherer Geschwindigkeit als im Abbremsversuch.

47 Kapitel 5 Rotation In einem abgeschlossenen System bleibt der Gesamtdrehimpuls nach Betrag und Richtung konstant.

48 Kapitel 5 Rotation

49 5.6.2 Das Drehmoment Gleichgewichtsbedingung Der Hebel ┴ Wir heben die Last F 1. Dazu üben wir eine Kraft F 2 längs b 2 aus. Arbeit: W 1 = W 2 F 1 b 1 = F 2 b 2 Hebelgesetz: Kraft x Kraftarm = Last x Lastarm Gleichgewichtsbedingung am Hebel: Wenn die Summe der Drehmomente 0 ist. Das Produkt r·F wird als Drehmoment bezeichnet.

50 Kapitel 5 Rotation Wir haben vorausgesetzt. ┴ Es kommt aber auch auf den Winkel zwischen r und F an. Die Einheit des Drehmoments ist 1 Nm. Definition des Drehmoments als Vektor: M ist ein Vektor in Richtung der Drehachse (Rechtsschraubenregel) vektorielles Produkt M = 0 wenn r║ F M = max wenn r ┴ F Ein Drehmoment bewirkt eine Beschleunigung oder Verzögerung einer Drehbewegung.

51 Kapitel 5 Rotation Bewegungsgleichung für die Rotation Analog zu F = m·a setzen wir: M = I·α wobei: M.... Drehmoment; I... Trägheitsmoment; α... Winkelbeschleunigung Ursache für eine beschleunigte Rotationsbewegung ist ein Drehmoment.

52 Kapitel 5 Rotation Drehimpulssatz im nicht abgeschlossenen System M F L LL Versuch: Rad einseitig aufhängen und in Rotation versetzen. Ergebnis: Durch das zusätzliche Drehmoment wird der Drehimpuls verändert.

53 Kapitel 5 Rotation Die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist gleich dem gesamten von außen angreifenden Drehmoment. Der Drehimpulsvektor sucht sich zum angreifenden Drehmoment gleichsinnig parallel einzustellen. Regel vom gleichsinnigen Parallelismus. Die Achse kippt also nicht, sondern weicht senkrecht dazu aus.

54 Kapitel 5 Rotation Kippt man das Fahrrad nach links, entsteht ein Drehmoment, welches eine Richtungsänderung der Radachse nach links hervorruft. M ΔLΔL L L1L1 F Beispiel: Kurve mit dem Fahrrad fahren.

55 Kapitel 5 Rotation Präzession der Erde Auf der sonnenzuge- wandten Seite ist die Gravitationskraft größer, auf der abgewandten Seite die Zentrifugalkraft. Die resultierenden Kräfte rufen ein Drehmoment hervor. Erde kippt nicht, sondern weicht senkrecht dazu aus. Präzessionskegel. Diese Präzession dauert Jahre und hat zur Folge, dass in Jahren die Wega im Norden steht und nicht mehr der Polarstern.

56 Kapitel 5 Rotation 5.7 Analogien Translation-Rotation Erstelle eine Tabelle ähnlich wie im Buch auf Seite 93! Füge zusätzlich noch die Einheiten dazu! GrößeFormelEinheitGrößeFormelEinheit WegmWinkelwegrad Geschwin digkeit Winkel- geschwin- digkeit TranslationRotation

57 Kapitel 5 Rotation Translation Zeit Weg Geschwindigkeit Beschleunigung Masse Impuls Impulssatz n.abg.S. Kinetische Energie Bewegungsgleichung ttZeit m Drehwinkel Winkelgeschwindigkeit Drehimpuls Trägheitsmoment Winkelbeschleunigung Rotationsenergie Drehimpulss.n.abg.S. Bewegungsgleichung I=m·r 2 Rotation Ende

58 Kapitel 5 Rotation Frisbee

59 Kapitel 5 Rotation Kreiselachse einseitig aufgehängt schräggestellter Kreisel F=m·g M L


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