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Gravitation regiert die Welt Einsteins Gleichungen leicht gemacht.

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Präsentation zum Thema: "Gravitation regiert die Welt Einsteins Gleichungen leicht gemacht."—  Präsentation transkript:

1 Gravitation regiert die Welt Einsteins Gleichungen leicht gemacht

2 Am Anfang war das Gesetz Λόγος ἐ ν ἀ ρχ ῇ ἦ ν ὁ Λόγος κα ὶ ὁ Λόγος ἦ ν πρ ὸ ς τ ὸ ν Θε ὸ ν κα ὶ Θε ὸ ς ἦ ν ὁ Λόγος „ Im Anfang war das Wort, und das Wort war bei Gott, und das Wort war Gott.“

3 Vorhersagbarkeit

4 Gleichung für die kosmologische Evolution : Friedmann Gleichung a(t) : Skalenfaktor ρ(t) : Energie- Dichte Dichte t : Zeit t : Zeit M : Planck-Masse verknüpft mit Gravitationskonstante G

5 Friedmann Gleichung beschreibt die Änderung der beschreibt die Änderung der kosmologischen Abstände mit der Zeit ; a(t) kosmologischen Abstände mit der Zeit ; a(t) enthält Ableitung enthält Ableitung Differentialgleichung Differentialgleichung erlaubt Bestimmung der Zukunft und Vergangenheit wenn a und ρ zu bestimmtem Zeitpunkt t gegeben erlaubt Bestimmung der Zukunft und Vergangenheit wenn a und ρ zu bestimmtem Zeitpunkt t gegeben benötigt Eigenschaften benötigt Eigenschaften von ρ von ρ

6 Friedmann Gleichung Mit Friedmann Gleichung Mit Friedmann Gleichung läßt sich Evolution des läßt sich Evolution des Universums einfach Universums einfach verstehen verstehen Spezialfall der Spezialfall der Einstein Gleichung Einstein Gleichung

7 Ableitung Spezialfall: konstante Steigung

8 Ableitung und Tangentenvektor je kleiner v, desto kleiner ist die Steigung

9 Differentialgleichung v(a,t)

10 Friedmann Gleichung Verschiedene Anfangsbedingungen ergeben verschiedene Geschichten des Universums Verschiedene Anfangsbedingungen ergeben verschiedene Geschichten des Universums Zukunft und Vergangenheit Zukunft und Vergangenheit v: Expansions- geschwindigkeit v: Expansions- geschwindigkeit

11 wenn Materie dominiert : n : Teilchendichte Expansion wird langsamer, wenn a größer wird

12 The Accelerating Universe Brian P. Schmidt, Mainz, 17.6.

13 Vorhersagen für Kosmologie mit Dunkler Energie Die Expansion des Universums beschleunigt sich heute !

14 Dunkle Energie und Dunkle Materie sind ( heute ) Gegenspieler : Dunkle Materie verlangsamt Expansion Dunkle Energie beschleunigt Expansion ρ konstant: Expansion wird schneller, wenn a größer wird

15 (1) Vorhersage der Zukunft aus dem Jetzt Differentialgleichung

16 Gravitations - Wechselwirkung

17 Gravitation dominiert die Kräfte der Makrowelt Gravitation ist die weitaus schwächste Wechselwirkung zwischen einzelnen Elementarteilchen Gravitation ist die weitaus schwächste Wechselwirkung zwischen einzelnen Elementarteilchen Aber : alles zieht sich an ! Aber : alles zieht sich an ! Elektromagnetische Wechselwirkung zum Teil abstoßend Elektromagnetische Wechselwirkung zum Teil abstoßend

18 Gravitation dominiert die Kräfte der Makrowelt Elektromagnetismus : + und – ++ abstoßend, – – abstoßend, + – anziehend ++ abstoßend, – – abstoßend, + – anziehend Gravitation nur + ++ anziehend ++ anziehend Gravitation dominiert Makrokosmos Gravitation dominiert Makrokosmos Elektromagnetische Wechselwirkung dominiert Mikrokosmos Elektromagnetische Wechselwirkung dominiert Mikrokosmos

19 (1) Gravitation ist die dominierende Wechselwirkung (Kraft) bei großen Abständen

20

21 Gravitationsfeld

22 Felder Felder haben einen Wert für jeden Ort im Raum (x,y,z) und für jeden Zeitpunkt t Beispiel: elektrisches Feld Magnetfeld elektrisches Feld Magnetfeld talk Wilczek

23 Gravitationspotenzial : Feld Φ(t,x,y,z) Φ(t,x,y,z) Für jede Zeit t, und für jeden Ort (x,y,z), hat das Gravitationspotenzial einen Wert Φ Für jede Zeit t, und für jeden Ort (x,y,z), hat das Gravitationspotenzial einen Wert Φ Ähnlich wie elektrisches Feld Ähnlich wie elektrisches Feld Aber : keine Richtung ist ausgezeichnet Aber : keine Richtung ist ausgezeichnet (kein Vektor ) (kein Vektor )

24 Gravitationspotenzial ( Newton ) Φ(t,x,y,z) Φ(r) Φ(x,y)

25 Gravitations - Potenzial Materieklumpen erzeugen Gravitationspotenzial Materieklumpen erzeugen Gravitationspotenzial (Newton ) (Newton ) Dies kann vermessen werden Dies kann vermessen werden Bestimmung der Masse des Klumpens Bestimmung der Masse des Klumpens z.B. Sonnenmasse genau bekannt z.B. Sonnenmasse genau bekannt

26 Gravitationsfeld

27 Elektromagnetisches Feld: 6 Größen elektrisches Feld Magnetfeld elektrisches Feld Magnetfeld

28 Gravitations - Feld: 10 Größen

29 Matrix Newton – Näherung : Gravitations- potenzial

30 GPS braucht die 10 Größen

31 (3) Gravitation wird durch ein Gravitations - Feld beschrieben

32 Geometrie

33 Ist Raum einfach da ? Eigenschaften des Raums werden durch physikalische Eigenschaften bestimmt Eigenschaften des Raums werden durch physikalische Eigenschaften bestimmt Wie lange braucht ein Lichtstrahl von Mainz nach Wiesbaden oder Heidelberg ? Wie lange braucht ein Lichtstrahl von Mainz nach Wiesbaden oder Heidelberg ? Wieviele Atome liegen in einem Kristall zwischen zwei Punkten A und B ? Wieviele Atome liegen in einem Kristall zwischen zwei Punkten A und B ? Es gibt keinen „leeren Raum“ außerhalb physikalischer Prozesse Es gibt keinen „leeren Raum“ außerhalb physikalischer Prozesse

34 Abstand und Metrik Pythagoras : Riemann Geometrie : Metrik g μν ds 2 = g 11 dx 2 + g 22 dy 2 +g 12 dx dy +g 12 dx dy

35 Einheitlicher Raum für Ort und Zeit : Raumzeit Vierer - Vektor

36 Abstand und Metrik Riemann Geometrie : Metrik g μν

37 Das Gravitationsfeld ist die Metrik der Raumzeit Geometrie wird dynamisch !

38 Wie zeigt sich die Geometrie ?

39 Massive Körper oder Elementarteilchen nehmen den „kürzesten Weg“ minimale Eigenzeit

40 Räumliche Geometrie ändert sich mit der Zeit Vier – dimensionale Geometrie : (t,x,y,z)

41 Lichtstrahlen werden durch Massen abgelenkt

42

43 Metrik des Universums homogen und isotrop Räumlicher Abstand ist proportional a(t) Ausdehnung des Raums wenn a(t) wächst

44 (4) Das Gravitationsfeld bestimmt die Geometrie von Raum und Zeit Metrik

45 Einstein Gleichung

46

47 Einstein Gleichung Einstein Gleichung Differentialgleichung für Gravitationsfelder (Metrik) Differentialgleichung für Gravitationsfelder (Metrik) Verknüpft Geometrie und Materie Verknüpft Geometrie und Materie ( Energie-Impuls-Tensor) ( Energie-Impuls-Tensor) Benötigt weitere Gleichung für Eigenschaften des Energie- Impuls-Tensors ( Zustandsgleichung ) Benötigt weitere Gleichung für Eigenschaften des Energie- Impuls-Tensors ( Zustandsgleichung ) Wenn Verteilung der Materie sowie Metrik und ihre Ableitung an jedem Ort zu einer bestimmten Zeit gegeben: Berechnung für jeden späteren oder früheren Zeitpunkt möglich !

48 Einstein Gleichung Einstein Gleichung M : Planck-Masse verknüpft mit Gravitationskonstante G

49 Einstein Gleichung Krümmungstensor Zusammenhang inverse Metrik g μν Krümmungsskalar

50

51 Newton Gravitation Einstein Gleichung für zeitunabhängiges Φ :

52 Newton - Gravitation

53 Altes Gesetz ist in neuem als Näherung enthalten

54 Kosmologische Gleichung Einstein – Gleichung für Metrik ρ : Energie- Dichte Dichte Friedmann Gleichung

55 Hubble Parameter

56 Kritische Dichte ρ c =3 H² M² ρ c =3 H² M² Kritische Energiedichte des Universums Kritische Energiedichte des Universums ( M : reduzierte Planck-Masse, M -2 =8 π G ; ( M : reduzierte Planck-Masse, M -2 =8 π G ; H : Hubble Parameter ) H : Hubble Parameter ) Ω b =ρ b /ρ c Ω b =ρ b /ρ c Anteil der Atome ( Baryonen ) an der (kritischen) Energiedichte Anteil der Atome ( Baryonen ) an der (kritischen) Energiedichte

57 Modifikation der Einstein Gleichung modifizierteGravitationDunkleEnergie Unterschied ist nicht eindeutig ! Kosmologische Konstante links oder rechts ?

58 (5) Das Materielle bestimmt die Geometrie Einstein Gleichung

59 Was steckt hinter der Einstein Gleichung ? Symmetrie Symmetrie Allgemeine Relativitätstheorie Allgemeine Relativitätstheorie Invarianz unter Änderung der Koordinaten Invarianz unter Änderung der Koordinaten Quantengravitation : Metrik ist Erwartungswert eines Metrik- Operators Quantengravitation : Metrik ist Erwartungswert eines Metrik- Operators

60 Symmetrieprinzip Physik ist die Gleiche Physik ist die Gleiche in allen frei fallenden Systemen in allen frei fallenden Systemen

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62 (6) Konstruktionsprinzip Symmetrie Allgemeine Relativitätstheorie

63 Zusammenfasssung

64 (1) Vorhersage der Zukunft aus dem Jetzt Differentialgleichung

65 (2) Gravitation ist die dominierende Wechselwirkung (Kraft) bei großen Abständen

66 (3) Gravitation wird durch ein Gravitations - Feld beschrieben

67 (4) Das Gravitationsfeld bestimmt die Geometrie von Raum und Zeit Metrik

68 (5) Das Materielle bestimmt die Geometrie Einstein Gleichung

69 (6) Konstruktionsprinzip Symmetrie Allgemeine Relativitätstheorie

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