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Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Lineare Optimierung Hauptstudium Mathematische Planungsmethoden Umfang ca. 2 TWS mit Übungen Hauptstudium Mathematische Planungsmethoden.

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2 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Lineare Optimierung Hauptstudium Mathematische Planungsmethoden Umfang ca. 2 TWS mit Übungen Hauptstudium Mathematische Planungsmethoden Umfang ca. 2 TWS mit Übungen

3 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Gliederung l Einführung l Planung, Zielsysteme, Präferenzen l Lineare Optimierung l Fallstudie Berger, graphische Lösung l Simplex Verfahren l Interpretation, Sensitivität, Dualität l Betriebswirtschaftl. Anwendungsbeispiele l Transportproblem, Zuordnungsproblem l Optimierung unter mehrfacher Zielsetzung l Einführung l Planung, Zielsysteme, Präferenzen l Lineare Optimierung l Fallstudie Berger, graphische Lösung l Simplex Verfahren l Interpretation, Sensitivität, Dualität l Betriebswirtschaftl. Anwendungsbeispiele l Transportproblem, Zuordnungsproblem l Optimierung unter mehrfacher Zielsetzung

4 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Definition Planung Planung: gedanklich rationale Vorwegnahmezukünftigen Handelns und Geschehens l auf die Zukunft gerichtet l Treffen von Entscheidungen und nicht deren Durchsetzung

5 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm ausführende Tätigkeit Elementarfaktoren Betriebsmittel Werkstoffe Produktionsfaktoren Leitung/Führung Planung dispositive FaktorenOrganisation Kontrolle ausführende Tätigkeit Elementarfaktoren Betriebsmittel Werkstoffe Produktionsfaktoren Leitung/Führung Planung dispositive FaktorenOrganisation Kontrolle Produktionsfaktoren

6 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Dispositive Faktoren l Leitung/Führung: l Festlegen des betrieblichen Zielsystems l Festlegen der globalen Unternehmenskonzeption l Koordination der großen betrieblichen Funktionsbereiche (enthält auch nicht rationale Elemente: Kreativität, Intuition, etc.) l Organisation: l Realisierung der Planung l Verteilung von Aufgaben l Übertragung von Befugnissen, etc. l Kontrolle: l Überprüfung der durch die Planung vorgegebenen und durch die Organisation realisierten Größen l Leitung/Führung: l Festlegen des betrieblichen Zielsystems l Festlegen der globalen Unternehmenskonzeption l Koordination der großen betrieblichen Funktionsbereiche (enthält auch nicht rationale Elemente: Kreativität, Intuition, etc.) l Organisation: l Realisierung der Planung l Verteilung von Aufgaben l Übertragung von Befugnissen, etc. l Kontrolle: l Überprüfung der durch die Planung vorgegebenen und durch die Organisation realisierten Größen

7 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Neuere Ergebnisse empirischer Zielforschung x Leistungsziel Marktziel  Ertragsziel

8 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Unternehmenssituation - Unternehmensziele

9 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Präferenzen Höhenpräferenz l Höhenpräferenz Welcher Zielwert wird innerhalb eines Zieles welchem Zielwert gegenüber bevorzugt? vollständige Präordnungsrelation auf Z k Artenpräferenz l Artenpräferenz Welches Ziel wird gegenüber einem anderen Ziel bevorzugt? Zeitpräferenz l Zeitpräferenz Wie beurteilt der Entscheidungsträger Ergebnisse zu verschiedenen Zeiten? Risiko-, Unsicherheitspräferenz l Risiko-, Unsicherheitspräferenz Wie beurteilt der Entscheidungsträger Ergebnisse bei unvollkommener Information? Höhenpräferenz l Höhenpräferenz Welcher Zielwert wird innerhalb eines Zieles welchem Zielwert gegenüber bevorzugt? vollständige Präordnungsrelation auf Z k Artenpräferenz l Artenpräferenz Welches Ziel wird gegenüber einem anderen Ziel bevorzugt? Zeitpräferenz l Zeitpräferenz Wie beurteilt der Entscheidungsträger Ergebnisse zu verschiedenen Zeiten? Risiko-, Unsicherheitspräferenz l Risiko-, Unsicherheitspräferenz Wie beurteilt der Entscheidungsträger Ergebnisse bei unvollkommener Information?

10 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Klassifikation von Entscheidungsmodellen Entscheidungs-modelle eine Zielsetzung mehrere Zielsetzungen Risiko Sicher- heit Unge- wißheit Risiko Sicher- heit Unge- wißheit dynamisch statisch statisch dynamisch statisch dynamisch statisch dynamisch statisch dynamisch dynamisch dynamisch statisch

11 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Lineare Entscheidungsmodelle l Grundlagen linearer Optimierung l Schattenpreise, Sensitivität l Lineares Entscheidungsmodell mit EXCEL l Voraussetzungen linearer Entscheidungsmodelle l Lineare Entscheidungsmodelle bei mehreren Zielen l Grundlagen linearer Optimierung l Schattenpreise, Sensitivität l Lineares Entscheidungsmodell mit EXCEL l Voraussetzungen linearer Entscheidungsmodelle l Lineare Entscheidungsmodelle bei mehreren Zielen

12 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Fallstudie Berger (1)

13 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Fallstudie Berger (2)

14 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Fallstudie Berger (3) Kapazitätserhöhung Dreherei/Fräserei = 800 Einheiten ergibt € 300 pro Einheit und somit für Kapazitätserhöhung Dreherei/Fräserei = 800 Einheiten ergibt € 300 pro Einheit und somit für

15 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Berger - Entscheidungsblatt

16 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Fallstudie Berger (LP-1) x 1 = Menge M-1x 1 + 2x 2  2000 Dreherei x 2 = Menge M-1x 1 + x 2  2500 Bohrerei x 1 + x 2  2500 Stanzerei Gesamtdeckungsbeitrag3x 1 + 2x 2  4800 Spulenwicklerei 300 x x 2 x 1  1500 Endmontage M-1 x 2  900 Endmontage M-2 x 1, x 2  x 1 = Menge M-1x 1 + 2x 2  2000 Dreherei x 2 = Menge M-1x 1 + x 2  2500 Bohrerei x 1 + x 2  2500 Stanzerei Gesamtdeckungsbeitrag3x 1 + 2x 2  4800 Spulenwicklerei 300 x x 2 x 1  1500 Endmontage M-1 x 2  900 Endmontage M-2 x 1, x 2 

17 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Lineares Programm LP (1) Entscheidungsvariable x 1,..., x n Zielfunktionskoeffizienten c 1,..., c n Restriktionskoeffizienten a ij mit i=1,..., m und j=1,..., n Ressourcen - RHS b 1,..., b m Entscheidungsvariable x 1,..., x n Zielfunktionskoeffizienten c 1,..., c n Restriktionskoeffizienten a ij mit i=1,..., m und j=1,..., n Ressourcen - RHS b 1,..., b m

18 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Lineares Programm LP (2) c 1 x c n x n  MAX a 11 x a 1n x n  b 1... a m1 x a mn x n  b m x 1,..., x n  0 c 1 x c n x n  MAX a 11 x a 1n x n  b 1... a m1 x a mn x n  b m x 1,..., x n  0

19 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Lineares Programm LP (3) c T x  MAX Ax  b x  0 c T x  MAX Ax  b x  0 Standardform

20 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Fall Berger - Graphische Lösung

21 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Simplex - Verfahren

22 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Definition und Hauptsatz der LP Definition: x heißt zulässig Ax  b, x  x heißt optimal (y zulässig => c T y  c T x)Hauptsatz: Ist die Menge der zulässigen Punkte nicht leer, so enthält die Menge der optimalen Punkte mindestens eine Ecke (des Restriktionspolyeders) oder es existiert keine optimale Lösung Definition: x heißt zulässig Ax  b, x  x heißt optimal (y zulässig => c T y  c T x)Hauptsatz: Ist die Menge der zulässigen Punkte nicht leer, so enthält die Menge der optimalen Punkte mindestens eine Ecke (des Restriktionspolyeders) oder es existiert keine optimale Lösung

23 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Produktionsplanungsproblem Ein Produkt kann in zwei Qualitäten QI und QII hergestellt werden. Der Stückdeckungsbeitrag von QI beträgt 3, der von QII 2 Geldeinheiten. Zur Her- stellung des Produktes werden zwei Maschinen M1 und M2 benötigt, eine Einheit von QI benötigt 3 Zeiteinheiten auf M1 und 9 auf M2, für QII lauten die Werte 6 Zeiteinheiten auf M1 und 3 Zeiteinheiten auf M2. Insgesamt stehen in der Produktionsperiode 3000 Zeiteinheiten je Maschine zur Verfügung. Gesucht ist das Produktionsprogramm für eine Periode, das den höchsten Gesamtdeckungsbeitrag liefert. Ein Produkt kann in zwei Qualitäten QI und QII hergestellt werden. Der Stückdeckungsbeitrag von QI beträgt 3, der von QII 2 Geldeinheiten. Zur Her- stellung des Produktes werden zwei Maschinen M1 und M2 benötigt, eine Einheit von QI benötigt 3 Zeiteinheiten auf M1 und 9 auf M2, für QII lauten die Werte 6 Zeiteinheiten auf M1 und 3 Zeiteinheiten auf M2. Insgesamt stehen in der Produktionsperiode 3000 Zeiteinheiten je Maschine zur Verfügung. Gesucht ist das Produktionsprogramm für eine Periode, das den höchsten Gesamtdeckungsbeitrag liefert.

24 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Lineares Modell x 1 Menge Qualität I x 2 Menge Qualität II Ziel3x 1 + 2x 2  MAX 3x 1 + 6x 2  x 1 + 3x 2  3000 x 1, x 2  0 x 1 Menge Qualität I x 2 Menge Qualität II Ziel3x 1 + 2x 2  MAX 3x 1 + 6x 2  x 1 + 3x 2  3000 x 1, x 2  0

25 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Graphische Lösung

26 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Basislösung Gegeben sei ein Gleichungssystem der Form Ax + y = b mit A  mxn, x  n, y, b  m Setzt man einige der Variablen {x 1,..., x n, y 1,..., y m } willkürlich auf Null und lassen sich die restlichen Variablen dann eindeutig aus dem obigen Gleichungssystem ermitteln, so heißt die ermittelte Lösung Basislösung; gilt für diese Basislösung x i  0 (i = 1,..., n) und y i  0 (i = 1,..., m), so heißt sie zulässige Basislösung. Gegeben sei ein Gleichungssystem der Form Ax + y = b mit A  mxn, x  n, y, b  m Setzt man einige der Variablen {x 1,..., x n, y 1,..., y m } willkürlich auf Null und lassen sich die restlichen Variablen dann eindeutig aus dem obigen Gleichungssystem ermitteln, so heißt die ermittelte Lösung Basislösung; gilt für diese Basislösung x i  0 (i = 1,..., n) und y i  0 (i = 1,..., m), so heißt sie zulässige Basislösung.

27 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Ecken und Basislösungen Satz: Bei einem linearen Optimierungssystem mit den Restriktionen Ax  b, x  0 ist x eine Ecke genau dann, wenn x Teil einer zulässigen Basislösung des zugehörigen Gleichungs- systems Ax + y = b ist. Satz: Bei einem linearen Optimierungssystem mit den Restriktionen Ax  b, x  0 ist x eine Ecke genau dann, wenn x Teil einer zulässigen Basislösung des zugehörigen Gleichungs- systems Ax + y = b ist.

28 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Simplex Start Basis {y 1, y 2, z} Nichtbasis {x 1, x 2 } Pivotzeile; d.h. y 2 aus der Basis neue Basis {x 1, y 1, z} neue Nichtbasis {y 2, x 2 } Pivotspalte, d.h. x 1 in die Basis

29 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Simplex Umformung B = Basiselement N = Nichtbasiselement -x 2 + 1/3y 2 + z = 1000  z = x 2 - 1/3y 2 = 1000

30 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Simplex Endtableau z = /5y 1 - 4/15y 2 mit y 1, y 2  maximal möglicher Wert von z ist 1400

31 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Simplex Vorgehensweise 1.Wandle die  -Gleichungen durch Schlupfvariable in Gleichungen um und stelle das Tableau samt Zielfunktionszeile auf. 2.Suche negativen Wert in der Zielfunktionszeile und bestimme damit die Pivotspalte. Lässt sich kein solcher Wert finden, so ist das Endtableau und damit die optimale Lösung gefunden. 3.Bilde die Quotienten aus der Rechten Seite, dividiert jeweils durch den positiven Wert in der Pivotspalte ohne Berücksichtigung der Zielfunktionszeile. Der kleinste Quotient bestimmt die Pivotzeile. Lässt sich kein Quotient bilden, so ist das Problem unbeschränkt und keine optimale Lösung möglich. 4.Das Element, das sowohl in der Pivotzeile als auch in der Pivotspalte liegt, heißt Pivotelement. 5.Teile die Pivotzeile durch das Pivotelement und ziehe von jeder anderen Zeile des Tableaus ein Vielfaches der so umgeformten Pivotzeile derart ab, dass das Element in der Pivotspalte dieser Zeile Null wird. Schließe die Zielfunktionszeile hierbei ein. 6. (Gehe zu 2). 1.Wandle die  -Gleichungen durch Schlupfvariable in Gleichungen um und stelle das Tableau samt Zielfunktionszeile auf. 2.Suche negativen Wert in der Zielfunktionszeile und bestimme damit die Pivotspalte. Lässt sich kein solcher Wert finden, so ist das Endtableau und damit die optimale Lösung gefunden. 3.Bilde die Quotienten aus der Rechten Seite, dividiert jeweils durch den positiven Wert in der Pivotspalte ohne Berücksichtigung der Zielfunktionszeile. Der kleinste Quotient bestimmt die Pivotzeile. Lässt sich kein Quotient bilden, so ist das Problem unbeschränkt und keine optimale Lösung möglich. 4.Das Element, das sowohl in der Pivotzeile als auch in der Pivotspalte liegt, heißt Pivotelement. 5.Teile die Pivotzeile durch das Pivotelement und ziehe von jeder anderen Zeile des Tableaus ein Vielfaches der so umgeformten Pivotzeile derart ab, dass das Element in der Pivotspalte dieser Zeile Null wird. Schließe die Zielfunktionszeile hierbei ein. 6. (Gehe zu 2).

32 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Voraussetzungen eines LP l Zielfunktionswert proportional abhängig von den Entscheidungsvariablen l Zielfunktionswert additiv zusammengesetzt aus den einzelnen Größen der Entschei- dungsvariablen l Additive Zusammensetzung ebenso für die Restriktionen l beliebig unterteilbare Variablen l genaue Kenntnis der Koeffizienten l Zielfunktionswert proportional abhängig von den Entscheidungsvariablen l Zielfunktionswert additiv zusammengesetzt aus den einzelnen Größen der Entschei- dungsvariablen l Additive Zusammensetzung ebenso für die Restriktionen l beliebig unterteilbare Variablen l genaue Kenntnis der Koeffizienten

33 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Berger - LP mit EXCEL gelöst

34 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Berger - Scenarios

35 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Fallstudie Berger (LP-2)

36 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Fallstudie Berger (4) l höchster Stück-DB bei M-2 ergibt M-1: 200 und M-2: 900 Gesamt-DB: € l Engpaßfaktor Dreherei, relativer Stück-DB bei M-1 ergibt M-1: 1500 und M-2: 150 Gesamt-DB: € l Berücksichtigung aller Restriktionen simultan ergibt M-1: 1400 und M-2: 300 Gesamt-DB: € l höchster Stück-DB bei M-2 ergibt M-1: 200 und M-2: 900 Gesamt-DB: € l Engpaßfaktor Dreherei, relativer Stück-DB bei M-1 ergibt M-1: 1500 und M-2: 150 Gesamt-DB: € l Berücksichtigung aller Restriktionen simultan ergibt M-1: 1400 und M-2: 300 Gesamt-DB: €

37 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Berger - Handlungsvorschlag

38 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Literatur: Lineare Optimierung l Domschke/Drexl: Einführung in Operations Research, 2. Aufl., Springer, 1991 l Meyer/Hansen: Planungsverfahren des OR, 3. Aufl., Vahlen, 1985 l Neumann: OR-Verfahren, Carl Hanser, 1977 l Hillier/Liebermann: Introduction to OR, 4. Aufl., Holden-Day, 1986 l Cook/Russel: Introduction to Management Science, 3. Aufl.., Prentice Hall, 1985 l Render/Stair: Quantitative Analysis for Management, 3. Aufl., Allyn & Bacon Inc., 1988 l Gordon/Pressman: Quantitative Decision Making for Business, Prentice Hall, 1978 l Anderson/Sweeney/Williams: Quantitative Methods for Business, West Publishing Company, 1986 l Ellinger: OR, 3. Aufl., Springer, 1990 l Bol: Lineare Optimierung, Athenäum, 1980 l Noltemeier: Graphentheorie, de Gruyter, 1976 l Hanssmann: Einführung in die Systemforschung, 3. Aufl., Oldenbourg, 1987 l Domschke/Drexl: Einführung in Operations Research, 2. Aufl., Springer, 1991 l Meyer/Hansen: Planungsverfahren des OR, 3. Aufl., Vahlen, 1985 l Neumann: OR-Verfahren, Carl Hanser, 1977 l Hillier/Liebermann: Introduction to OR, 4. Aufl., Holden-Day, 1986 l Cook/Russel: Introduction to Management Science, 3. Aufl.., Prentice Hall, 1985 l Render/Stair: Quantitative Analysis for Management, 3. Aufl., Allyn & Bacon Inc., 1988 l Gordon/Pressman: Quantitative Decision Making for Business, Prentice Hall, 1978 l Anderson/Sweeney/Williams: Quantitative Methods for Business, West Publishing Company, 1986 l Ellinger: OR, 3. Aufl., Springer, 1990 l Bol: Lineare Optimierung, Athenäum, 1980 l Noltemeier: Graphentheorie, de Gruyter, 1976 l Hanssmann: Einführung in die Systemforschung, 3. Aufl., Oldenbourg, 1987

39 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Interpretation der Lösung des Modells Sensitivität Dualität Spieltheorie Sensitivität Dualität Spieltheorie

40 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Sensitivität-Produktionsplanungsbeispiel 1.In welchem Rahmen darf der DB für QI schwanken, damit die gefundene optimale Lösung weiterhin optimal bleibt. 2.Wenn sich die Kapazität der Maschine M1 verändern ließe, in welchem Maße verändert sich der Gesamtdeckungsbeitrag pro veränderter Kapazitätseinheit? 3.Wie groß ist der Spielraum der Kapazitätsveränderungen in 2)? 1.In welchem Rahmen darf der DB für QI schwanken, damit die gefundene optimale Lösung weiterhin optimal bleibt. 2.Wenn sich die Kapazität der Maschine M1 verändern ließe, in welchem Maße verändert sich der Gesamtdeckungsbeitrag pro veränderter Kapazitätseinheit? 3.Wie groß ist der Spielraum der Kapazitätsveränderungen in 2)?

41 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Sensitivität 1.In welchem Rahmen kann man den Zielfunktionskoeffizienten c i verändern, ohne daß sich die optimale Basis ändert; d.h. das Endtableau immer noch ein Endtableau ist? 2.In welchen Rahmen kann man die Rechte Seite so verändern, daß das Endtableau immer noch ein Endtableau ist? 1.In welchem Rahmen kann man den Zielfunktionskoeffizienten c i verändern, ohne daß sich die optimale Basis ändert; d.h. das Endtableau immer noch ein Endtableau ist? 2.In welchen Rahmen kann man die Rechte Seite so verändern, daß das Endtableau immer noch ein Endtableau ist?

42 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Sensitivität Koeffizienten Fall 1: Entscheidungsvariable x k in der Basis Variation des Zielfunktionskoeffizienten c k um Fall 2: Entscheidungsvariable x k nicht in der Basis

43 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Sensitivität Restriktionen Fall 1: Schlupfvariable y k in der Basis Fall 2: Schlupfvariable y k nicht in der Basis Schattenpreis = 0 fürSchattenpreis d k für

44 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Duales Problem Seic T x  MAXein lineares Optimierungsproblem (*) A x  b x  0 dann bezeichnetdas zu (*) duale Problem b T y   A T y  c y  0 (*) wird dementsprechend primales Problem genannt Es gilt: Das zu (**) duale Problem ist wieder (*) und besitzen (*) und (**) zulässige Punkte, so gilt für alle zulässigen Punkte x von (*) und y von (**) c T x  b T y. Insbesondere besitzen in diesem Falle beide Probleme Optimallösungen und die optimalen Zielfunktionswerte beider Probleme sind gleich. Seic T x  MAXein lineares Optimierungsproblem (*) A x  b x  0 dann bezeichnetdas zu (*) duale Problem b T y   A T y  c y  0 (*) wird dementsprechend primales Problem genannt Es gilt: Das zu (**) duale Problem ist wieder (*) und besitzen (*) und (**) zulässige Punkte, so gilt für alle zulässigen Punkte x von (*) und y von (**) c T x  b T y. Insbesondere besitzen in diesem Falle beide Probleme Optimallösungen und die optimalen Zielfunktionswerte beider Probleme sind gleich.

45 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Duales Problem und Schattenpreise Satz: Besitzen das primale als auch das duale Problem zulässige Lösungen, so sind die Schattenpreise im Endtableau des Simplexalgorithmus gerade die Lösung des dualen Problems. Begründung:Durch Veränderung von b verändert sich auch der Zielfunktionswert von (**). Aufgrund der Gleichheit im Optimum von (**) und (*) verändert sich auch der optimale Zielfunk- tionswert des primalen Problems und bei der Veränderung um eine Einheit von z.B. b k genau um y k *, wenn (y 1 *,..., y m *) die optimale Lösung von (**) darstellt. Satz: Besitzen das primale als auch das duale Problem zulässige Lösungen, so sind die Schattenpreise im Endtableau des Simplexalgorithmus gerade die Lösung des dualen Problems. Begründung:Durch Veränderung von b verändert sich auch der Zielfunktionswert von (**). Aufgrund der Gleichheit im Optimum von (**) und (*) verändert sich auch der optimale Zielfunk- tionswert des primalen Problems und bei der Veränderung um eine Einheit von z.B. b k genau um y k *, wenn (y 1 *,..., y m *) die optimale Lösung von (**) darstellt.

46 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Berger - Schattenpreise

47 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Berger - Lösung

48 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Modellierung linearer Entscheidungsmodelle in verschiedenen Funktionalbereichen

49 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm EXCEL - Liquiditätsproblem

50 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm EXCEL - Lineares Entscheidungsmodell

51 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm EXCEL-Antwortbericht

52 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm EXCEL - Empfindlichkeitsbericht

53 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm EXCEL - Grenzbericht

54 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Beispiel: Personaleinsatzplanung In einem Krankenhaus besteht durchschnittlich folgender Bedarf an Aufsichts- und Pflegepersonal: Von Uhr: 30 Personen Von Uhr: 50 Personen Von Uhr: 100 Personen Von Uhr: 80 Personen Von Uhr: 100 Personen Von Uhr: 50 Personen Schichtbeginn ist jeweils um 0.00, 4.00, 8.00, 12.00, 16.00, Uhr, eine Schicht dauert jeweils 8 Stunden. Wie muß der Schichtplan lauten, damit insgesamt möglichst wenig Aufsichts- und Pflegepersonal benötigt wird? In einem Krankenhaus besteht durchschnittlich folgender Bedarf an Aufsichts- und Pflegepersonal: Von Uhr: 30 Personen Von Uhr: 50 Personen Von Uhr: 100 Personen Von Uhr: 80 Personen Von Uhr: 100 Personen Von Uhr: 50 Personen Schichtbeginn ist jeweils um 0.00, 4.00, 8.00, 12.00, 16.00, Uhr, eine Schicht dauert jeweils 8 Stunden. Wie muß der Schichtplan lauten, damit insgesamt möglichst wenig Aufsichts- und Pflegepersonal benötigt wird?

55 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Transportproblem F = Fabriken V = Verbraucher a i = Kapazität der Fabrik F i b j = Nachfrage des Verbrauchers V j c ij Transportkosten pro Einheit von F i nach V j F1F1 FmFm V1V1 VnVn (- max c ij,  (c 11,  (c ij,  (c mn,  (0, a i )(0, b j )

56 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Zuordnungsproblem K = Kandidaten S = Stellen c ij = Grad der "Un"-eignung von Kandidat K i für Stelle S j (c ij,  K1K1 KmKm S1S1 SnSn (0, 1) (- max c ij, 

57 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm MEHRZIELOPTIMIERUNG

58 Entscheidung bei mehrfacher Zielsetzung (1) Beispiel: Eine Firma stelle zwei Produkte A und B in den Quantitäten x 1 und x 2 her (jeweils in 1000 Stück). Die erzielbaren Absatzpreise seien 6 (für A), bzw. 4 (für B) Geldeinheiten pro hergestellter Einheit (= 1000 Stück), wobei aber nur 7 Einheiten von B abgesetzt werden können. Die beiden Produkte durchlaufen drei Abteilungen, wobei folgende Kapazitätsrestriktionen gegeben sind: x 1 + 2x 2  16 x 1 + x 2  10 4x 1 + x 2  28 Beispiel: Eine Firma stelle zwei Produkte A und B in den Quantitäten x 1 und x 2 her (jeweils in 1000 Stück). Die erzielbaren Absatzpreise seien 6 (für A), bzw. 4 (für B) Geldeinheiten pro hergestellter Einheit (= 1000 Stück), wobei aber nur 7 Einheiten von B abgesetzt werden können. Die beiden Produkte durchlaufen drei Abteilungen, wobei folgende Kapazitätsrestriktionen gegeben sind: x 1 + 2x 2  16 x 1 + x 2  10 4x 1 + x 2  28

59 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Entscheidung bei mehrfacher Zielsetzung (2) l Die Stückkosten betragen bei Produkt A 5 Geldeinheiten und bei B eine Geldeinheit. l Das Management verfolgt zum einen das Ziel eines möglichst hohen Gesamtdeckungsbei- trages, zum anderen das Ziel einer hohen Auslastung sowie aus Marktgründen einen möglichst hohen Absatz und damit eine möglichst hohe Produktion des Produktes A. l Die Stückkosten betragen bei Produkt A 5 Geldeinheiten und bei B eine Geldeinheit. l Das Management verfolgt zum einen das Ziel eines möglichst hohen Gesamtdeckungsbei- trages, zum anderen das Ziel einer hohen Auslastung sowie aus Marktgründen einen möglichst hohen Absatz und damit eine möglichst hohe Produktion des Produktes A.

60 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Effiziente - Ineffiziente Entscheidungen l Eine zulässige Entscheidung heißt effizient bzgl. der Ziele z 1,..., z m (funktional effizient), wenn es keine andere zulässige Entscheidung gibt, die bzgl. aller Ziele mindestens gleich gut, bzgl. mindestens eines Zieles aber echt besser ist. l x effizient x zulässig und es existiert keine zulässige Entscheidung y mit: z i (y) > z i (x) (i=1,...,m) und z k (y) > z k (x) für ein k (bei Maximierung der z i ) l Eine zulässige Entscheidung heißt effizient bzgl. der Ziele z 1,..., z m (funktional effizient), wenn es keine andere zulässige Entscheidung gibt, die bzgl. aller Ziele mindestens gleich gut, bzgl. mindestens eines Zieles aber echt besser ist. l x effizient x zulässig und es existiert keine zulässige Entscheidung y mit: z i (y) > z i (x) (i=1,...,m) und z k (y) > z k (x) für ein k (bei Maximierung der z i )

61 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Beispiel a 1 ineffizient, da von a 2 dominiert a 3 ineffizient, da von a 5 dominiert

62 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Mehrzieloptimierung - Graphik x 1 +x 2 <=10 x 1 +2x 2 <=16 4x 1 +x 2 <=28 x 2 <=7 x2x2 x1x1 Deckungsbeitrag Auslastung Produktion A

63 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Methoden der Mehrzieloptimierung l Einmalige Methoden l Zielgewichtung l Zielprogrammierung (Goalprograming) l Interaktive Methoden l Setzen von Anspruchsniveaus (STEM) l Tauschratenverfahren (Geoffrion) l Einmalige Methoden l Zielgewichtung l Zielprogrammierung (Goalprograming) l Interaktive Methoden l Setzen von Anspruchsniveaus (STEM) l Tauschratenverfahren (Geoffrion)

64 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Zielgewichtung Artenpräferenz durch Angabe der Gewichte g 1,...,g m  mit  g i =1 Lösen des Problems mit der Zielfunktion z(x)=  g i *z i (x) l bei g i > 0 ergibt sich immer eine effiziente Lösung l jede effiziente Lösung läßt sich durch geeignete g i als Optimallösung des obigen Problems erreichen l Angabe für den Entscheidungsträger zu schwierig Artenpräferenz durch Angabe der Gewichte g 1,...,g m  mit  g i =1 Lösen des Problems mit der Zielfunktion z(x)=  g i *z i (x) l bei g i > 0 ergibt sich immer eine effiziente Lösung l jede effiziente Lösung läßt sich durch geeignete g i als Optimallösung des obigen Problems erreichen l Angabe für den Entscheidungsträger zu schwierig

65 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Goalprogramming Angabe von gewünschten Zielwerten z i * und Wahl der Entscheidung x, die  z i (x) - z i *| minimiert l ergibt durch Transformation eine lineare Zielfunktion l führt nicht notwendigerweise zu einer effizienten Entscheidung l Präferenzen für den Entscheidungsträger gut angebbar Angabe von gewünschten Zielwerten z i * und Wahl der Entscheidung x, die  z i (x) - z i *| minimiert l ergibt durch Transformation eine lineare Zielfunktion l führt nicht notwendigerweise zu einer effizienten Entscheidung l Präferenzen für den Entscheidungsträger gut angebbar

66 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Setzen von Anspruchsniveaus l Aufstellen der Payoff-Matrix, bestimmt durch die Zielwerte z j (x i ), wobei x i die optimale Entscheidung für Ziel z i ist. l min{z j (x i )|i} und max{z j (x i )|i} geben die Spann- weite der erreichbaren Zielwerte für Ziel z j an Setzen eines Anspruchsniveaus, z.B. durch z j (x)  z° als zusätzliche Restriktion und Eliminierung dieses Ziels bis eine akzeptabel Lösung erreicht oder nur noch ein Ziel da ist. l ergibt immer eine effiziente Lösung l sehr gute Akzeptanz des Verfahrens l Aufstellen der Payoff-Matrix, bestimmt durch die Zielwerte z j (x i ), wobei x i die optimale Entscheidung für Ziel z i ist. l min{z j (x i )|i} und max{z j (x i )|i} geben die Spann- weite der erreichbaren Zielwerte für Ziel z j an Setzen eines Anspruchsniveaus, z.B. durch z j (x)  z° als zusätzliche Restriktion und Eliminierung dieses Ziels bis eine akzeptabel Lösung erreicht oder nur noch ein Ziel da ist. l ergibt immer eine effiziente Lösung l sehr gute Akzeptanz des Verfahrens

67 Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Tauschratenverfahren l Ausgehend von einer nicht zufriedenstellenden effizienten Lösung werden Tauschraten zum Ziel z 1 festgelegt Mit diesen Tauschraten  z 1 /  z i wird eine Ziel- gewichtung durchgeführt und es wird in Richtung dieser so ermittelten Entscheidung gegangen, bis die Lösung akzeptabel ist oder neue Tauschraten festgelegt werden l u.U. ergibt sich keine effiziente Lösung l mit den Tauschraten z 1 zu z 2 und z 3 ergibt sich auch die Tauschrate z 2 zu z 3, deshalb keine so gute Akzeptanz des Verfahrens l Ausgehend von einer nicht zufriedenstellenden effizienten Lösung werden Tauschraten zum Ziel z 1 festgelegt Mit diesen Tauschraten  z 1 /  z i wird eine Ziel- gewichtung durchgeführt und es wird in Richtung dieser so ermittelten Entscheidung gegangen, bis die Lösung akzeptabel ist oder neue Tauschraten festgelegt werden l u.U. ergibt sich keine effiziente Lösung l mit den Tauschraten z 1 zu z 2 und z 3 ergibt sich auch die Tauschrate z 2 zu z 3, deshalb keine so gute Akzeptanz des Verfahrens


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