Lineare Optimierung Hauptstudium Mathematische Planungsmethoden

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1 Lineare Optimierung Hauptstudium Mathematische Planungsmethoden
Umfang ca. 2 TWS mit Übungen

2 Gliederung Einführung Lineare Optimierung Simplex Verfahren
Planung, Zielsysteme, Präferenzen Lineare Optimierung Fallstudie Berger, graphische Lösung Simplex Verfahren Interpretation, Sensitivität, Dualität Betriebswirtschaftl. Anwendungsbeispiele Transportproblem, Zuordnungsproblem Optimierung unter mehrfacher Zielsetzung

3 Definition Planung Planung: gedanklich rationale Vorwegnahme zukünftigen Handelns und Geschehens auf die Zukunft gerichtet Treffen von Entscheidungen und nicht deren Durchsetzung

4 Produktionsfaktoren ausführende Tätigkeit
Elementarfaktoren Betriebsmittel Werkstoffe Produktionsfaktoren Leitung/Führung Planung dispositive Faktoren Organisation Kontrolle

5 Dispositive Faktoren Leitung/Führung: Organisation: Kontrolle:
Festlegen des betrieblichen Zielsystems Festlegen der globalen Unternehmenskonzeption Koordination der großen betrieblichen Funktionsbereiche (enthält auch nicht rationale Elemente: Kreativität, Intuition, etc.) Organisation: Realisierung der Planung Verteilung von Aufgaben Übertragung von Befugnissen, etc. Kontrolle: Überprüfung der durch die Planung vorgegebenen und durch die Organisation realisierten Größen

6 Neuere Ergebnisse empirischer Zielforschung
x Leistungsziel Marktziel ª Ertragsziel

7 Unternehmenssituation - Unternehmensziele

8 Präferenzen Höhenpräferenz Artenpräferenz Zeitpräferenz
Welcher Zielwert wird innerhalb eines Zieles welchem Zielwert gegenüber bevorzugt? vollständige Präordnungsrelation auf Zk Artenpräferenz Welches Ziel wird gegenüber einem anderen Ziel bevorzugt? Zeitpräferenz Wie beurteilt der Entscheidungsträger Ergebnisse zu verschiedenen Zeiten? Risiko-, Unsicherheitspräferenz Wie beurteilt der Entscheidungsträger Ergebnisse bei unvollkommener Information?

9 Klassifikation von Entscheidungsmodellen
eine Zielsetzung mehrere Zielsetzungen Risiko Sicher- heit Unge- wißheit Risiko Sicher- heit Unge- wißheit dynamisch statisch

10 Lineare Entscheidungsmodelle
Grundlagen linearer Optimierung Schattenpreise, Sensitivität Lineares Entscheidungsmodell mit EXCEL Voraussetzungen linearer Entscheidungsmodelle Lineare Entscheidungsmodelle bei mehreren Zielen

11 Fallstudie Berger (1)

12 Fallstudie Berger (2)

13 Fallstudie Berger (3) Kapazitätserhöhung Dreherei/Fräserei = 800 Einheiten ergibt € 300 pro Einheit und somit für

14 Berger - Entscheidungsblatt

15 Fallstudie Berger (LP-1)
x1 = Menge M-1 x1 + 2x2 £ Dreherei x2 = Menge M-1 x x2 £ Bohrerei x1 + x2 £ Stanzerei Gesamtdeckungsbeitrag 3x1 + 2x2 £ 4800 Spulenwicklerei 300 x x2 x £ 1500 Endmontage M-1 x £ Endmontage M-2 x1, x ³ 0

16 Lineares Programm LP (1)
Entscheidungsvariable x1, ..., xn Zielfunktionskoeffizienten c1, ..., cn Restriktionskoeffizienten aij mit i=1, ..., m und j=1, ..., n Ressourcen - RHS b1, ..., bm

17 Lineares Programm LP (2)
c1x cnxn ® MAX a11x a1nxn £ b1 am1x amnxn £ bm x1, ..., xn ³ 0

18 Lineares Programm LP (3)
cTx ® MAX Ax £ b x ³ 0 Standardform

19 Fall Berger - Graphische Lösung

20 Simplex - Verfahren

21 Definition und Hauptsatz der LP
x heißt zulässig <=> Ax £ b, x ³ 0 x heißt optimal <=> (y zulässig => cTy £ cTx) Hauptsatz: Ist die Menge der zulässigen Punkte nicht leer, so enthält die Menge der optimalen Punkte mindestens eine Ecke (des Restriktionspolyeders) oder es existiert keine optimale Lösung

22 Produktionsplanungsproblem
Ein Produkt kann in zwei Qualitäten QI und QII hergestellt werden. Der Stückdeckungsbeitrag von QI beträgt 3, der von QII 2 Geldeinheiten. Zur Her-stellung des Produktes werden zwei Maschinen M1 und M2 benötigt, eine Einheit von QI benötigt 3 Zeiteinheiten auf M1 und 9 auf M2, für QII lauten die Werte 6 Zeiteinheiten auf M1 und 3 Zeiteinheiten auf M2. Insgesamt stehen in der Produktionsperiode 3000 Zeiteinheiten je Maschine zur Verfügung. Gesucht ist das Produktionsprogramm für eine Periode, das den höchsten Gesamtdeckungsbeitrag liefert.

23 Lineares Modell x1 Menge Qualität I x2 Menge Qualität II
Ziel 3x1 + 2x2 ® MAX 3x1 + 6x2 £ 3000 9x1 + 3x2 £ 3000 x1, x2 ³ 0

24 Graphische Lösung

25 Ax + y = b mit A Î Âmxn, x Î Ân, y, b Î Âm
Basislösung Gegeben sei ein Gleichungssystem der Form Ax + y = b mit A Î Âmxn, x Î Ân, y, b Î Âm Setzt man einige der Variablen {x1, ..., xn, y1, ..., ym} willkürlich auf Null und lassen sich die restlichen Variablen dann eindeutig aus dem obigen Gleichungssystem ermitteln, so heißt die ermittelte Lösung Basislösung; gilt für diese Basislösung xi ³ 0 (i = 1, ..., n) und yi ³ 0 (i = 1, ..., m), so heißt sie zulässige Basislösung.

26 Ecken und Basislösungen
Satz: Bei einem linearen Optimierungssystem mit den Restriktionen Ax £ b, x ³ 0 ist x eine Ecke genau dann, wenn x Teil einer zulässigen Basislösung des zugehörigen Gleichungs-systems Ax + y = b ist.

27 Simplex Start Basis {y1, y2, z} Nichtbasis {x1, x2} Pivotzeile;
d.h. y2 aus der Basis neue Basis {x1, y1, z} neue Nichtbasis {y2, x2} Pivotspalte, d.h. x1 in die Basis

28 Simplex Umformung B = Basiselement N = Nichtbasiselement
-x2 + 1/3y2 + z = 1000 Þ z = x2 - 1/3y2 = 1000

29 Simplex Endtableau z = 1400 - 1/5y1 - 4/15y2 mit y1, y2 ³ 0
maximal möglicher Wert von z ist 1400

30 Simplex Vorgehensweise
1. Wandle die £ -Gleichungen durch Schlupfvariable in Gleichungen um und stelle das Tableau samt Zielfunktionszeile auf. 2. Suche negativen Wert in der Zielfunktionszeile und bestimme damit die Pivotspalte. Lässt sich kein solcher Wert finden, so ist das Endtableau und damit die optimale Lösung gefunden. 3. Bilde die Quotienten aus der Rechten Seite, dividiert jeweils durch den positiven Wert in der Pivotspalte ohne Berücksichtigung der Zielfunktionszeile. Der kleinste Quotient bestimmt die Pivotzeile. Lässt sich kein Quotient bilden, so ist das Problem unbeschränkt und keine optimale Lösung möglich. 4. Das Element, das sowohl in der Pivotzeile als auch in der Pivotspalte liegt, heißt Pivotelement. 5. Teile die Pivotzeile durch das Pivotelement und ziehe von jeder anderen Zeile des Tableaus ein Vielfaches der so umgeformten Pivotzeile derart ab, dass das Element in der Pivotspalte dieser Zeile Null wird. Schließe die Zielfunktionszeile hierbei ein. 6. (Gehe zu 2).

31 Voraussetzungen eines LP
Zielfunktionswert proportional abhängig von den Entscheidungsvariablen Zielfunktionswert additiv zusammengesetzt aus den einzelnen Größen der Entschei-dungsvariablen Additive Zusammensetzung ebenso für die Restriktionen beliebig unterteilbare Variablen genaue Kenntnis der Koeffizienten

32 Berger - LP mit EXCEL gelöst

33 Berger - Scenarios

34 Fallstudie Berger (LP-2)

35 Fallstudie Berger (4) höchster Stück-DB bei M-2
ergibt M-1: 200 und M-2: 900 Gesamt-DB: € Engpaßfaktor Dreherei, relativer Stück-DB bei M-1 ergibt M-1: 1500 und M-2: 150 Gesamt-DB: € Berücksichtigung aller Restriktionen simultan ergibt M-1: 1400 und M-2: 300 Gesamt-DB: €

36 Berger - Handlungsvorschlag

37 Literatur: Lineare Optimierung
Domschke/Drexl: Einführung in Operations Research, 2. Aufl., Springer, 1991 Meyer/Hansen: Planungsverfahren des OR, 3. Aufl., Vahlen, 1985 Neumann: OR-Verfahren, Carl Hanser, 1977 Hillier/Liebermann: Introduction to OR, 4. Aufl., Holden-Day, 1986 Cook/Russel: Introduction to Management Science, 3. Aufl.., Prentice Hall, 1985 Render/Stair: Quantitative Analysis for Management, 3. Aufl., Allyn & Bacon Inc., 1988 Gordon/Pressman: Quantitative Decision Making for Business, Prentice Hall, 1978 Anderson/Sweeney/Williams: Quantitative Methods for Business, West Publishing Company, 1986 Ellinger: OR, 3. Aufl., Springer, 1990 Bol: Lineare Optimierung, Athenäum, 1980 Noltemeier: Graphentheorie, de Gruyter, 1976 Hanssmann: Einführung in die Systemforschung, 3. Aufl., Oldenbourg, 1987

38 Interpretation der Lösung des Modells
Sensitivität Dualität Spieltheorie

39 Sensitivität-Produktionsplanungsbeispiel
1. In welchem Rahmen darf der DB für QI schwanken, damit die gefundene optimale Lösung weiterhin optimal bleibt. 2. Wenn sich die Kapazität der Maschine M1 verändern ließe, in welchem Maße verändert sich der Gesamtdeckungsbeitrag pro veränderter Kapazitätseinheit? 3. Wie groß ist der Spielraum der Kapazitätsveränderungen in 2)?

40 Sensitivität 1. In welchem Rahmen kann man den Zielfunktionskoeffizienten ci verändern, ohne daß sich die optimale Basis ändert; d.h. das Endtableau immer noch ein Endtableau ist? 2. In welchen Rahmen kann man die Rechte Seite so verändern, daß das Endtableau immer noch ein Endtableau ist?

41 Sensitivität Koeffizienten
Fall 1: Entscheidungsvariable xk in der Basis Fall 2: Entscheidungsvariable xk nicht in der Basis Variation des Zielfunktionskoeffizienten ck um

42 Sensitivität Restriktionen
Fall 1: Schlupfvariable yk in der Basis Fall 2: Schlupfvariable yk nicht in der Basis Schattenpreis = 0 für Schattenpreis dk für

43 Duales Problem Sei cTx ® MAX ein lineares Optimierungsproblem
(*) A x £ b x ³ 0 dann bezeichnet das zu (*) duale Problem bTy ® MIN (**) ATy ³ c y ³ 0 (*) wird dementsprechend primales Problem genannt Es gilt: Das zu (**) duale Problem ist wieder (*) und besitzen (*) und (**) zulässige Punkte, so gilt für alle zulässigen Punkte x von (*) und y von (**) cTx £ bTy. Insbesondere besitzen in diesem Falle beide Probleme Optimallösungen und die optimalen Zielfunktionswerte beider Probleme sind gleich.

44 Duales Problem und Schattenpreise
Satz: Besitzen das primale als auch das duale Problem zulässige Lösungen, so sind die Schattenpreise im Endtableau des Simplexalgorithmus gerade die Lösung des dualen Problems. Begründung:Durch Veränderung von b verändert sich auch der Zielfunktionswert von (**). Aufgrund der Gleichheit im Optimum von (**) und (*) verändert sich auch der optimale Zielfunk- tionswert des primalen Problems und bei der Veränderung um eine Einheit von z.B. bk genau um yk*, wenn (y1*, ..., ym*) die optimale Lösung von (**) darstellt.

45 Berger - Schattenpreise

46 Berger - Lösung

47 Modellierung linearer Entscheidungsmodelle in verschiedenen Funktionalbereichen

48 EXCEL - Liquiditätsproblem

49 EXCEL - Lineares Entscheidungsmodell

50 EXCEL-Antwortbericht

51 EXCEL - Empfindlichkeitsbericht

52 EXCEL - Grenzbericht

53 Beispiel: Personaleinsatzplanung
In einem Krankenhaus besteht durchschnittlich folgender Bedarf an Aufsichts- und Pflegepersonal: Von Uhr: Personen Von Uhr: Personen Von Uhr: Personen Von Uhr: Personen Von Uhr: Personen Von Uhr: Personen Schichtbeginn ist jeweils um 0.00, 4.00, 8.00, 12.00, 16.00, Uhr, eine Schicht dauert jeweils 8 Stunden. Wie muß der Schichtplan lauten, damit insgesamt möglichst wenig Aufsichts- und Pflegepersonal benötigt wird?

54 Transportproblem F1 Fm V1 Vn (c11, ¥) (cij, ¥) (cmn, ¥) (0, ai)
(0, bj) F1 Fm V1 Vn (- max cij, ¥) F = Fabriken V = Verbraucher ai = Kapazität der Fabrik Fi bj = Nachfrage des Verbrauchers Vj cij Transportkosten pro Einheit von Fi nach Vj

55 Zuordnungsproblem K1 Km S1 Sn (0, 1) (- max cij, ¥) (cij, ¥)
K = Kandidaten S = Stellen cij = Grad der "Un"-eignung von Kandidat Ki für Stelle Sj

56 MEHRZIELOPTIMIERUNG

57 Entscheidung bei mehrfacher Zielsetzung (1)
Beispiel: Eine Firma stelle zwei Produkte A und B in den Quantitäten x1 und x2 her (jeweils in 1000 Stück). Die erzielbaren Absatzpreise seien 6 (für A), bzw. 4 (für B) Geldeinheiten pro hergestellter Einheit (= 1000 Stück), wobei aber nur 7 Einheiten von B abgesetzt werden können. Die beiden Produkte durchlaufen drei Abteilungen, wobei folgende Kapazitätsrestriktionen gegeben sind: x1 + 2x2 £ 16 x1 + x2 £ 10 4x1 + x2 £ 28

58 Entscheidung bei mehrfacher Zielsetzung (2)
Die Stückkosten betragen bei Produkt A 5 Geldeinheiten und bei B eine Geldeinheit. Das Management verfolgt zum einen das Ziel eines möglichst hohen Gesamtdeckungsbei-trages, zum anderen das Ziel einer hohen Auslastung sowie aus Marktgründen einen möglichst hohen Absatz und damit eine möglichst hohe Produktion des Produktes A.

59 Effiziente - Ineffiziente Entscheidungen
Eine zulässige Entscheidung heißt effizient bzgl. der Ziele z1,..., zm (funktional effizient), wenn es keine andere zulässige Entscheidung gibt, die bzgl. aller Ziele mindestens gleich gut, bzgl. mindestens eines Zieles aber echt besser ist. x effizient <==> x zulässig und es existiert keine zulässige Entscheidung y mit: zi(y) > zi(x) (i=1,...,m) und zk(y) > zk(x) für ein k (bei Maximierung der zi )

60 Beispiel a1 ineffizient, da von a2 dominiert

61 Mehrzieloptimierung - Graphik
4x1+x2<=28 x2 x1 Deckungsbeitrag Auslastung Produktion A x1+x2<=10 x1+2x2<=16 x2<=7

62 Methoden der Mehrzieloptimierung
Einmalige Methoden Zielgewichtung Zielprogrammierung (Goalprograming) Interaktive Methoden Setzen von Anspruchsniveaus (STEM) Tauschratenverfahren (Geoffrion)

63 Artenpräferenz durch Angabe der Gewichte g1,...,gm ³ 0 mit S gi=1
Zielgewichtung Artenpräferenz durch Angabe der Gewichte g1,...,gm ³ 0 mit S gi=1 Lösen des Problems mit der Zielfunktion z(x)= S gi*zi(x) bei gi > 0 ergibt sich immer eine effiziente Lösung jede effiziente Lösung läßt sich durch geeignete gi als Optimallösung des obigen Problems erreichen Angabe für den Entscheidungsträger zu schwierig

64 ergibt durch Transformation eine lineare Zielfunktion
Goalprogramming Angabe von gewünschten Zielwerten zi* und Wahl der Entscheidung x, die S |zi(x) - zi*| minimiert ergibt durch Transformation eine lineare Zielfunktion führt nicht notwendigerweise zu einer effizienten Entscheidung Präferenzen für den Entscheidungsträger gut angebbar

65 Setzen von Anspruchsniveaus
Aufstellen der Payoff-Matrix, bestimmt durch die Zielwerte zj(xi), wobei xi die optimale Entscheidung für Ziel zi ist. min{zj(xi)|i} und max{zj(xi)|i} geben die Spann-weite der erreichbaren Zielwerte für Ziel zj an Setzen eines Anspruchsniveaus, z.B. durch zj(x) ³ z° als zusätzliche Restriktion und Eliminierung dieses Ziels bis eine akzeptabel Lösung erreicht oder nur noch ein Ziel da ist. ergibt immer eine effiziente Lösung sehr gute Akzeptanz des Verfahrens

66 Tauschratenverfahren
Ausgehend von einer nicht zufriedenstellenden effizienten Lösung werden Tauschraten zum Ziel z1 festgelegt Mit diesen Tauschraten Ñz1/Ñzi wird eine Ziel-gewichtung durchgeführt und es wird in Richtung dieser so ermittelten Entscheidung gegangen, bis die Lösung akzeptabel ist oder neue Tauschraten festgelegt werden u.U. ergibt sich keine effiziente Lösung mit den Tauschraten z1 zu z2 und z3 ergibt sich auch die Tauschrate z2 zu z3, deshalb keine so gute Akzeptanz des Verfahrens