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Referentin: Mandy Peter Stetige Kleinste-Quadrate- Approximation.

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Präsentation zum Thema: "Referentin: Mandy Peter Stetige Kleinste-Quadrate- Approximation."—  Präsentation transkript:

1 Referentin: Mandy Peter Stetige Kleinste-Quadrate- Approximation

2 Ausblick 1. Wiederholung 2. Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation 2.1. Worum geht es? 2.2. Polynomapproximation + Beispiel 2.3. Approximation mit verallgemeinerten Polynomen 2.4. Harmonische Analyse + Beispiel 3. Literatur

3 1. Wiederholung Diskrete Kleinste-Quadrate-Approximation Funktion f(x) nur an diskreten Stellen bekannt Approximation des funktionalen Zusammenhangs mit Hilfe Näherungsfunktion Gesucht: Das Minimum der Funktion

4 Zugehöriges Gleichungssystem, welches zu berechnen ist:

5 2. Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation 2.1. Worum geht es? Konkreter funktionaler Zusammenhang y=f(x) bekannt Ziel: Funktion f(x) durch Näherungsfunktion P(x) zu ersetzen

6 2.2. Polynomapproximation Gesucht ist das jenige Polynom, dass im Sinne der Methode der Kleinsten Quadrate „möglichst gut“ den funktionalen Zusammenhang im vorgegeben Intervallapproximiert. Gesucht: Minimum der Funktion

7 Notwendige Bedingungen für Minimum: Man erhält: Daraus ergibt sich: Gaußsche Normalengleichungen

8 Dieses Gleichungssystem lässt sich in der üblichen Form linearer Gleichungssysteme aufschreiben, wenn man die Vektoren und die Matrixwie folgt definiert ist:

9 Satz: Es sei gegeben und es gelte. Dann besitzen die Normalengleichungen eine eindeutige Lösung.

10 Beispiel Man approximiere die Funktion auf dem Intervall durch ein Polynom zweiten Grades. Damit ist gesucht, für das gilt:

11 Das Gleichungssystem, was es zu lösen gilt, lautet:

12 2.3. Approximation mit verallgemeinerten Polynomen Sei ein System von n+1 stetigen Funktionen gegeben, die auf dem Intervall,, linear unabhängig sind. Satz: Es sei ein Polynom vom Grad k. Dann sind auf jedem beliebigen Intervall,, linear unabhängig.

13 Definition: Eine integrierbare Funktion heißt Gewichtsfunktion auf dem Intervall, falls gilt: für und auf jedem Teilintervall von. Zweck: Teilabschnitte vom Intervall können hervorgehoben werden, auf denen die Approximation besonders genau erfolgen soll.

14 Verallgemeinertes Polynom: Gesucht: Minimum der Funktion

15 Notwendige Bedingungen für ein Minimum: Normalengleichungen

16 Definition: Ein System stetiger Funktionen heißt orthogonal auf dem Intervall bezüglich der Gewichtsfunktion, falls: Gilt des weiteren, dann nennt man das Funktionensystem orthonomiert.

17 Definition: Die Zahl heißt die Norm der Funktion auf dem Intervall.

18 Satz:

19 2.4. Harmonische Analyse Sei orthonormiertes Funktionensystem auf dem Intervall mit den Funktionen

20 Sei eine stetige periodische Funktion mit der Periode auf dem Intervall. Dann lautet das verallgemeinerte Polynom: Die Summanden heißen Harmonische.

21 Gesucht: Minimale Abweichung des Polynomsvon der Fkt. im Sinne der Methode der Kleinsten Quadrate. Koeffizienten sind nach der Formel zu bestimmen: Man erhält: Die Koeffizienten und heißen trigonometrische Fourierkoeffizienten

22 Fall 1: f(x) ist gerade Funktion Dann:

23 Fall 2: f(x) ist ungerade Funktion Dann:

24 Bildet man nun im Trigonometrischen Fourierpolynom den Grenzübergang, so ergibt sich die trigonometrische Fourierreihe: mit,, Die Darstellung einer Funktion durch ihr trigonometrisches Fourierpolynom nennt man die harmonische Analyse dieser Funktion

25 Sägezahnschwingung

26 Lösung der Harmonischen Analyse Ungerade Funktion -> reicht aus b zu berechnen

27 Lösung der Harmonischen Analyse

28 Beispiel Man bestimme das allgemeine trigonometrische Polynom, das nach dem Kleinsten-Quadrate-Prinzip die Funktion bestmöglich approximiert. Gerade Funktion -> b fällt weg: Zu berechnen

29 Lösung der Harmonischen Analyse

30 3. Literatur HERMANN, M.(2006): Numerische Mathematik. München: Oldenbourg Wissenschaftsverlag. PETERS, Thomas: [http://www.mathe-seiten.de/fourier.pdf; ] [http://me-lrt.de/img/TM3-V02-05-Menschliche-Stimme- Klangkurve.png; ]


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