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Veröffentlicht von:Johann Henkels Geändert vor über 9 Jahren
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Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation
Referentin: Mandy Peter
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Ausblick 1. Wiederholung 2. Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation
2.1. Worum geht es? 2.2. Polynomapproximation + Beispiel 2.3. Approximation mit verallgemeinerten Polynomen 2.4. Harmonische Analyse + Beispiel 3. Literatur
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1. Wiederholung Diskrete Kleinste-Quadrate-Approximation
Funktion f(x) nur an diskreten Stellen bekannt Approximation des funktionalen Zusammenhangs mit Hilfe Näherungsfunktion Gesucht: Das Minimum der Funktion
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Zugehöriges Gleichungssystem, welches zu berechnen ist:
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2. Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation 2.1. Worum geht es?
Konkreter funktionaler Zusammenhang y=f(x) bekannt Ziel: Funktion f(x) durch Näherungsfunktion P(x) zu ersetzen
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2.2. Polynomapproximation
Gesucht ist das jenige Polynom , dass im Sinne der Methode der Kleinsten Quadrate „möglichst gut“ den funktionalen Zusammenhang im vorgegeben Intervall approximiert. Gesucht: Minimum der Funktion
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Notwendige Bedingungen für Minimum: Man erhält: Daraus ergibt sich: Gaußsche Normalengleichungen
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Dieses Gleichungssystem lässt sich in der üblichen Form linearer Gleichungssysteme aufschreiben, wenn man die Vektoren und die Matrix wie folgt definiert ist:
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Satz: Es sei gegeben und es gelte . Dann besitzen die
Normalengleichungen eine eindeutige Lösung.
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Beispiel Man approximiere die Funktion auf dem
Intervall durch ein Polynom zweiten Grades. Damit ist gesucht, für das gilt:
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Das Gleichungssystem, was es zu lösen gilt, lautet:
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2.3. Approximation mit verallgemeinerten Polynomen
Sei ein System von n+1 stetigen Funktionen gegeben, die auf dem Intervall , , linear unabhängig sind. Satz: Es sei ein Polynom vom Grad k. Dann sind auf jedem beliebigen Intervall , , linear unabhängig.
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Definition: Eine integrierbare Funktion heißt Gewichtsfunktion auf dem Intervall , falls gilt: für und auf jedem Teilintervall von . Zweck: Teilabschnitte vom Intervall können hervorgehoben werden, auf denen die Approximation besonders genau erfolgen soll.
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Verallgemeinertes Polynom: Gesucht: Minimum der Funktion
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Notwendige Bedingungen für ein Minimum: Normalengleichungen
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Definition: Ein System stetiger Funktionen heißt orthogonal auf dem Intervall bezüglich der Gewichtsfunktion , falls: Gilt des weiteren , dann nennt man das Funktionensystem orthonomiert.
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Definition: Die Zahl heißt die Norm der Funktion auf dem Intervall .
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Satz:
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2.4. Harmonische Analyse Sei orthonormiertes Funktionensystem auf dem Intervall mit den Funktionen
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Sei eine stetige periodische Funktion mit der Periode auf dem Intervall . Dann lautet das verallgemeinerte Polynom: Die Summanden heißen Harmonische.
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Gesucht: Minimale Abweichung des Polynoms von der Fkt.
im Sinne der Methode der Kleinsten Quadrate. Koeffizienten sind nach der Formel zu bestimmen: Man erhält: Die Koeffizienten und heißen trigonometrische Fourierkoeffizienten
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Fall 1: f(x) ist gerade Funktion Dann:
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Fall 2: f(x) ist ungerade Funktion Dann:
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Bildet man nun im Trigonometrischen Fourierpolynom den Grenzübergang , so ergibt sich die trigonometrische Fourierreihe: mit , , Die Darstellung einer Funktion durch ihr trigonometrisches Fourierpolynom nennt man die harmonische Analyse dieser Funktion
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Sägezahnschwingung
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Lösung der Harmonischen Analyse
Ungerade Funktion -> reicht aus b zu berechnen
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Lösung der Harmonischen Analyse
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Beispiel Man bestimme das allgemeine trigonometrische Polynom, das nach dem Kleinsten-Quadrate-Prinzip die Funktion bestmöglich approximiert. Gerade Funktion -> b fällt weg: Zu berechnen
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Lösung der Harmonischen Analyse
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3. Literatur HERMANN, M.(2006): Numerische Mathematik. München: Oldenbourg Wissenschaftsverlag. PETERS, Thomas: [ ] [ Klangkurve.png; ]
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