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Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation

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Präsentation zum Thema: "Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation"—  Präsentation transkript:

1 Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation
Referentin: Mandy Peter

2 Ausblick 1. Wiederholung 2. Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation
2.1. Worum geht es? 2.2. Polynomapproximation + Beispiel 2.3. Approximation mit verallgemeinerten Polynomen 2.4. Harmonische Analyse + Beispiel 3. Literatur

3 1. Wiederholung Diskrete Kleinste-Quadrate-Approximation
Funktion f(x) nur an diskreten Stellen bekannt Approximation des funktionalen Zusammenhangs mit Hilfe Näherungsfunktion Gesucht: Das Minimum der Funktion

4 Zugehöriges Gleichungssystem, welches zu berechnen ist:

5 2. Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation 2.1. Worum geht es?
Konkreter funktionaler Zusammenhang y=f(x) bekannt Ziel: Funktion f(x) durch Näherungsfunktion P(x) zu ersetzen

6 2.2. Polynomapproximation
Gesucht ist das jenige Polynom , dass im Sinne der Methode der Kleinsten Quadrate „möglichst gut“ den funktionalen Zusammenhang im vorgegeben Intervall approximiert. Gesucht: Minimum der Funktion

7 Notwendige Bedingungen für Minimum: Man erhält: Daraus ergibt sich: Gaußsche Normalengleichungen

8 Dieses Gleichungssystem lässt sich in der üblichen Form linearer Gleichungssysteme aufschreiben, wenn man die Vektoren und die Matrix wie folgt definiert ist:

9 Satz: Es sei gegeben und es gelte . Dann besitzen die
Normalengleichungen eine eindeutige Lösung.

10 Beispiel Man approximiere die Funktion auf dem
Intervall durch ein Polynom zweiten Grades. Damit ist gesucht, für das gilt:

11 Das Gleichungssystem, was es zu lösen gilt, lautet:

12 2.3. Approximation mit verallgemeinerten Polynomen
Sei ein System von n+1 stetigen Funktionen gegeben, die auf dem Intervall , , linear unabhängig sind. Satz: Es sei ein Polynom vom Grad k. Dann sind auf jedem beliebigen Intervall , , linear unabhängig.

13 Definition: Eine integrierbare Funktion heißt Gewichtsfunktion auf dem Intervall , falls gilt: für und auf jedem Teilintervall von . Zweck: Teilabschnitte vom Intervall können hervorgehoben werden, auf denen die Approximation besonders genau erfolgen soll.

14 Verallgemeinertes Polynom: Gesucht: Minimum der Funktion

15 Notwendige Bedingungen für ein Minimum: Normalengleichungen

16 Definition: Ein System stetiger Funktionen heißt orthogonal auf dem Intervall bezüglich der Gewichtsfunktion , falls: Gilt des weiteren , dann nennt man das Funktionensystem orthonomiert.

17 Definition: Die Zahl heißt die Norm der Funktion auf dem Intervall .

18 Satz:

19 2.4. Harmonische Analyse Sei orthonormiertes Funktionensystem auf dem Intervall mit den Funktionen

20 Sei eine stetige periodische Funktion mit der Periode auf dem Intervall . Dann lautet das verallgemeinerte Polynom: Die Summanden heißen Harmonische.

21 Gesucht: Minimale Abweichung des Polynoms von der Fkt.
im Sinne der Methode der Kleinsten Quadrate. Koeffizienten sind nach der Formel zu bestimmen: Man erhält: Die Koeffizienten und heißen trigonometrische Fourierkoeffizienten

22 Fall 1: f(x) ist gerade Funktion Dann:

23 Fall 2: f(x) ist ungerade Funktion Dann:

24 Bildet man nun im Trigonometrischen Fourierpolynom den Grenzübergang , so ergibt sich die trigonometrische Fourierreihe: mit , , Die Darstellung einer Funktion durch ihr trigonometrisches Fourierpolynom nennt man die harmonische Analyse dieser Funktion

25 Sägezahnschwingung

26 Lösung der Harmonischen Analyse
Ungerade Funktion -> reicht aus b zu berechnen

27 Lösung der Harmonischen Analyse

28 Beispiel Man bestimme das allgemeine trigonometrische Polynom, das nach dem Kleinsten-Quadrate-Prinzip die Funktion bestmöglich approximiert. Gerade Funktion -> b fällt weg: Zu berechnen

29 Lösung der Harmonischen Analyse

30 3. Literatur HERMANN, M.(2006): Numerische Mathematik. München: Oldenbourg Wissenschaftsverlag. PETERS, Thomas: [http://www.mathe-seiten.de/fourier.pdf; ] [http://me-lrt.de/img/TM3-V02-05-Menschliche-Stimme- Klangkurve.png; ]


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