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Scaffold 29S: Komplexe Zahlen Niall Palfreyman Biotechnology & Bioinformatics Weihenstephan-Triesdorf University of Applied Science.

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Präsentation zum Thema: "Scaffold 29S: Komplexe Zahlen Niall Palfreyman Biotechnology & Bioinformatics Weihenstephan-Triesdorf University of Applied Science."—  Präsentation transkript:

1 Scaffold 29S: Komplexe Zahlen Niall Palfreyman Biotechnology & Bioinformatics Weihenstephan-Triesdorf University of Applied Science

2 Phase 1: Präsentation

3 Quanten » Ein Photon ist weder Teilchen noch Welle, sondern ein Quantum. » Der Zustand eines Quantums ist ein Pfeil ψ, der sich über Zeit dreht (rechts). » Der Winkel des Zustands ist die Phase, und beschreibt die Welleneigenschaften des Quantums. » Der quadrierte Betrag beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass wir bestimmte Teilchen-Eigenschaften messen werden.

4 Was ist Phase? » Im Diagramm ist nur die eine Dimension x, doch ψ beschreibt die Position des Quantums in drei Dimensionen x, y, z. » Wie kann eine Phase senkrecht zu allen drei Achsenrichtungen zeigen?! » Kann es nicht. Also die Phase rotiert nicht im physikalischen Raum sondern in einem komplexen Raum!

5 1545: Cardanos Problem » Finde zwei Zahlen a und b, deren Summe 10 und Produkt 40 ist: » Eine Lösung wäre. » Doch existieren wirklich solche Zahlen?

6 Komplexe Zahlen » Carl-Friedrich Gauss ( ) nannte Zahlen wie komplex. » Eine komplexe Zahl hat die allgemeine Form, wobei und. » i ist definitiv keine reelle Zahl ( ), muss also eine komplett neuartige Zahl sein, deren Quadrat gleich –1 ist.

7 Tipp » Frage nicht, wie groß die Quadratwurzel von –1 ist. » Akzeptiere einfach, dass i eine neue Zahl ist, deren Quadrat gleich –1 ist.

8 Komplexe Berechnungen » Sei ; was ist der Wert von ? » Lösung: » Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren mit Komplexen Zahl ist genau so wie bei reellen Zahlen! » Nur überall dort, wo Du den Ausdruck bekommst, ersetze ihn durch –1.

9 Beispiele Berechnen » Berechne diese komplexen Zahlen: » Lösung:

10 Reeller und imaginärer Teil » Sei eine komplexe Zahl. » ist der reelle Teil von z. » ist der imaginäre Teil von z. » Merke: der imaginäre Teil y ist selber eine reelle Zahl!

11 Gleichheit » Zwei komplexe Zahlen z 1, z 2 sind sich gleich (z 1 = z 2 ) iff Re(z 1 )=Re(z 2 ) und Im(z 1 )=Im(z 2 ). » Falls Im(z 1 )=0, ist z rein reell. » Falls Re(z 1 )=0, ist z rein imaginär.

12 Komplex Konjugierte » Oft wollen wir das Vorzeichen des imaginären Teils tauschen; diese Operation heißt komplexe Konjugation. » Wenn eine komplexe Zahl ist, ist die Zahl die komplex Konjugierte von z.

13 Beispiel komplex Konjugierte » Was ist die komplex Konjugierte? » Merke:

14 Betrag einer komplexen Zahl » Der Betrag einer komplexen Zahl ist. » Also: » Wir können diese Idee benützen um komplexe Zahlen zu teilen, z.B:

15 Komplexe Ebene » Komplexe Zahlen sind Pfeile in der komplexen Ebene: » Addition ist ähnlich zur Vektoraddition: » Konjugation ist eine Reflektion durch die reelle Achse

16 Betrag und Argument » Wir können komplexe Zahlen auch als Betrag und Winkel darstellen. » ist der Betrag von z, und » ist das Argument von z. » Eine komplexe Zahl besteht also aus einem Abstand r und einer Drehung θ.

17 cis Notation » Wir können z auf die reelle und die imaginäre Achsen projizieren: » x = r cos(θ) » y = r sin(θ) » Also:

18 Eulers große Einsicht » Multiplikation mit dem Ausdruck entspricht also einer Drehung um den Winkel θ. » Eulers große Einsicht war, dass » dreht Zahlen um den Winkel θ!

19 Exponentialdarstellung komplexer Zahlen » Zusammenfassend ist jede komplexe Zahl das Produkt eines reellen Betrags r mit einer komplexen Drehung um den Winkel θ gegen den Uhrzeigersinn von der reellen Achse aus:

20 Multiplikation » Testen wir diese Idee: Was ist das Produkt der Zahlen und ? » » Beträge werden multipliziert; Argumente werden addiert!

21 Division » Was ist der Quotient der Zahlen und ? » » Beträge werden dividiert; Argumente werden subtrahiert!

22 Die Wurzeln aus 1 » Was ist die 3. Wurzel aus 1? » Jede Zahl z, für die gilt: Davon gibt‘s drei Stück:

23 Inverse » Was ist 1/z ? » Sei, dann gilt: » Betrag ist 1/r; Drehung ist –θ.

24 Exponentialfunktion » Berechne : » » Betrag ist ; Argument ist y.

25 Komplexe Berechnungen » Berechne : »

26 Komplexe Berechnungen » Berechne in Exponentialform: »

27 Eulers Gedicht » Berechne : » 2π ist eine Umdrehung, also » Berechne : » π ist halbe Umdrehung, also » Also:

28 Phase 2: Abruf

29 Komplexe Zahlen » Carl-Friedrich Gauss ( ) nannte Zahlen wie komplex. » Eine komplexe Zahl hat die allgemeine Form, wobei und. » i ist definitiv keine reelle Zahl ( ), muss also eine komplett neuartige Zahl sein, deren Quadrat gleich –1 ist.

30 Tipp » Frage nicht, wie groß die Quadratwurzel von –1 ist. » Akzeptiere einfach, dass i eine neue Zahl ist, deren Quadrat gleich ___ ist.

31 Komplexe Berechnungen » Sei ; was ist der Wert von ? » Lösung: » Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren mit Komplexen Zahl ist genau so wie bei reellen Zahlen! » Nur überall dort, wo Du den Ausdruck bekommst, ersetze ihn durch ___.

32 Beispiele Berechnen » Berechne diese komplexen Zahlen: » Lösung:

33 Reeller und imaginärer Teil » Sei eine komplexe Zahl. » ist der ____ Teil von z. » ist der imaginäre Teil von z. » Merke: der imaginäre Teil y ist selber eine reelle Zahl!

34 Gleichheit » Zwei komplexe Zahlen z 1, z 2 sind sich gleich (z 1 = z 2 ) iff Re(z 1 )=Re(z 2 ) und Im(z 1 )=Im(z 2 ). » Falls Im(z 1 )=0, ist z rein _____. » Falls Re(z 1 )=0, ist z rein ______.

35 Komplex Konjugierte » Oft wollen wir das Vorzeichen des imaginären Teils tauschen; diese Operation heißt komplexe _________. » Wenn eine komplexe Zahl ist, ist die Zahl die komplex Konjugierte von z.

36 Beispiel komplex Konjugierte » Was ist die komplex Konjugierte? » Merke:

37 Betrag einer komplexen Zahl » Der Betrag einer komplexen Zahl ist. » Also: » Wir können diese Idee benützen um komplexe Zahlen zu teilen, z.B:

38 Komplexe Ebene » Komplexe Zahlen sind Pfeile in der komplexen Ebene: » Addition ist ähnlich der Vektoraddition: » Konjugation ist eine Reflektion durch die _____ Achse

39 Betrag und Argument » Wir können komplexe Zahlen auch als Betrag und Winkel darstellen. » ist der _______ von z, und » ist das _________ von z. » Eine komplexe Zahl besteht also aus einem Abstand r und einer Drehung θ.

40 cis Notation » Wir können z auf die reelle und die imaginäre Achsen projizieren: » x = r cos(θ) » y = r sin(θ) » Also:

41 Eulers große Einsicht » Multiplikation mit dem Ausdruck entspricht also einer Drehung um den Winkel ___. » Eulers große Einsicht war, dass » __ dreht Zahlen um den Winkel θ!

42 Exponentialdarstellung komplexer Zahlen » Zusammenfassend ist jede komplexe Zahl das Produkt eines reellen Betrags r mit einer komplexen Drehung um den Winkel θ gegen den Uhrzeigersinn von der reellen Achse aus:

43 Multiplikation » Testen wir diese Idee: Was ist das Produkt der Zahlen und ? » » Beträge werden multipliziert; Argumente werden addiert!

44 Division » Was ist der Quotient der Zahlen und ? » » Beträge werden dividiert; Argumente werden subtrahiert!

45 Die Wurzeln aus 1 » Was ist die 3. Wurzel aus 1? » Jede Zahl z, für die gilt: Davon gibt‘s drei Stück:

46 Inverse » Was ist 1/z ? » Sei, dann gilt: » Betrag ist 1/r; Drehung ist –θ.

47 Exponentialfunktion » Berechne : » » Betrag ist ____; Argument ist ____.

48 Komplexe Berechnungen » Berechne : »

49 Komplexe Berechnungen » Berechne in Exponentialform: »

50 Eulers Gedicht » Berechne : » 2π ist eine Umdrehung, also » Berechne : » π ist halbe Umdrehung, also » Also: ____________

51 Phase 3: Übung

52 Berechnen » Berechne diese komplexen Zahlen:

53 Reeller und Imaginärer Teil » Berechne folgende Ausdrücke:

54 Division » Vereinfache den folgenden Bruch:

55 Quadratische Gleichungen » Find alle Lösungen dieser quadratischen Gleichung:

56 Berechnung des Betrags » Sei z = x + iy. Schreibe folgenden Ausdruck in der Form a + ib :

57 Berechnung des Betrags » Sei z = x + iy. Beweise, dass:

58 Multiplizieren » Sei und. Berechne und schreibe die Zahlen z 1, z 2 und z 1 z 2 in der Polarform. Was fällt Dir an den Argumenten und Beträgen auf?

59 Rotationen » Sei. Beweise, dass die Multiplikation mit dem Faktor einer Drehung um einen Winkel θ gleicht.

60 Komplex Konjugierte » Sei. Zeige, dass: und

61 Komplex Konjugierte » Seien z 1, z 2 zwei komplexe Zahlen in x+iy Form. Beweise folgende Ergebnisse:

62 Komplexe Zahlen und Trigonometrie » Berechne den Ausdruck als trigonometrische Formel. » Überrascht? Wir werden bald mehr zu dieser Formel zu sagen haben.

63 Gratuliere – super gemacht!


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