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Folie 1 §22 Invertierbare Matrizen und Äquivalenz von Matrizen Wir beginnen mit einer formalen Präzisierung der elementaren Umformungen von Matrizen. (22.1)

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Präsentation zum Thema: "Folie 1 §22 Invertierbare Matrizen und Äquivalenz von Matrizen Wir beginnen mit einer formalen Präzisierung der elementaren Umformungen von Matrizen. (22.1)"—  Präsentation transkript:

1 Folie 1 §22 Invertierbare Matrizen und Äquivalenz von Matrizen Wir beginnen mit einer formalen Präzisierung der elementaren Umformungen von Matrizen. (22.1) Definition: Unter einer Elementarmatrix versteht man jede (n,n)-Matrix der Form oder (22.2) Lemma: Jede Elementarmatrix F ist invertierbar, d.h. es gibt eine (n,n)-Matrix G mit FG =GF = E. Notation: F -1 := G.

2 Folie 2 Kapitel IV, §22 Wegen 1 o AF k (t) entsteht aus A durch Multiplikation der k-ten Spalte mit t (hier ist F k (t) eine (n,n)-Matrix). (22.3) Lemma: Die Inverse einer Elementarmatrix ist wieder eine Elementarmatrix. (22.4) Elementarmatrizen und elementare Umformungen von Matrizen: 3 o F k (t)A entsteht aus A durch Multiplikation der k-ten Zeile mit t (hier ist F k (t) eine (m,m)-Matrix). 2 o entsteht aus A durch Addition der k-ten Spalte zur j- ten Spalte. 4 o entsteht aus A durch Addition der j-ten Zeile zur k-ten Zeile. Sei A eine (m,n)-Matrix. Dann gilt: Jede elementare Umformung einer Matrix lässt sich also durch Heran- multiplizieren von Elementarmatrizen beschreiben. Daher nach 20.11:

3 Folie 3 A ist genau dann invertierbar, wenn A ein Produkt von Elementarmatrizen ist. Kapitel IV, §22 so dass gilt: (22.6) Korollar: Für eine (n,n)-Matrix A eine gilt: (22.8) Äquivalenzsatz: Zwei (m,n)-Matrizen A und B sind äquivalent, wenn sie den gleichen Rang haben. (22.5) Normalformensatz: Zu jeder Matrix A gibt es (m,m)-Matrizen U und (n,n)-Matrizen V, die jeweils Produkte von Elementarmatrizen sind, Andere Kriterien für „Invertierbarkeit“: Die durch A gegebene lineare Abbildung ist bijektiv (oder injektiv, oder surjektiv) oder rg(A) = n. (22.7) Definition: Zwei (m,n)-Matrizen A und B heißen äquivalent, wenn es invertierbare Matrizen P und Q gibt, so dass A = PBQ. Daher: K nxn /~ = {0,1,2,...,n} und K mxn /~ = {0,1,2,...,max{n,m}}.  Diese „Äquivalenz“ liefert eine Äquivalenzrelation auf K mxn.


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