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HELIOSEISMOLOGIE & ASTEROSEISMOLOGIE Markus Roth & Svetlana Berdyugina Fakultät für Mathematik und Physik Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Kiepenheuer-Institut.

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1 HELIOSEISMOLOGIE & ASTEROSEISMOLOGIE Markus Roth & Svetlana Berdyugina Fakultät für Mathematik und Physik Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Kiepenheuer-Institut für Sonnenphysik IV. Oszillationsgleichungen

2 Überblick stellare Oszillationen

3 Eigenschaften von Sonnen(-ähnlichen) Pulsationen Kleine Amplitude; können deshalb als lineare Störungen des Gleichgewichts angesehen werden Perioden sind viel kürzer als thermische Zeitskala in den meisten Sternen; deshalb Annahme adiabatischer Oszillationen gerechtfertigt. Modi sind wahrscheinlich hauptsächlich durch den konvektiven Fluss und turbulente Druckstörungen gedämpft Modi werden stochastisch durch die Konvektion angetrieben Amplituden werden durch ein Gleichgewicht zwischen Energiezufuhr und Dämpfung bestimmt. Deshalb gibt es Anregung von beobachtbaren Oszillationen über einen breiten Frequenzbereich Nicht-sonnenähnliche Oszillationen: Intrinsisch getrieben, der Stern funktioniert wie eine Wärmemaschine (in der kritischen Schicht) Begrenzung der Amplitude unklar, führt zur irregulären Auswahl von beobachtbaren Modi

4 Pulsierende Sterne im HR Diagramm

5 Grundgleichungen der (nicht-viskosen) Hydrodynamik

6 Energie Gleichung, adiabatische Näherung Relative Größen:

7 Kleine Störungen um das Gleichgewicht

8 Linearisierte Grundgleichungen Kontinuitätsgleichung Bewegungsgleichung Adiabatizität Poisson Gleichung

9 Schallwellen im homogenen Medium

10 Innere Schwerewellen In Wirklichkeit hat man erhöhte Trägheit wegen horizontaler Bewegungen

11 Stern zum „Leben“ erwecken Bewegung eines Gaspakets mit Masse m im dreidimensionalen Stern: Statischer Stern – eindimensional: Kontinuitätsgleichung (keine Massenquellen und -senken) Bewegungsgleichung (3D) Masse m ist keine geeignete Koordinate mehr, um dreidimensionale Bewegungen im Stern zu beschreiben

12 Grundgleichungen der (nicht-viskosen) Hydrodynamik

13 Störungen dieses zeitabhängigen Modells – durch kleine Bewegungen Alle Größen können in der Form © (r,t) = © 0 (r) + © ‘ (r, t), wenn © ‘ << © 0 geschrieben werden. gestörte Größe = Gleichgewichtsmodell + kleine zeitabhängige Störung ) Einsetzen in die Grundgleichungen der Hydrodynamik ) Beibehalten von Termen bis erster Ordnung in der Störung ) Abziehen der Gleichgewichtsgrößen

14 Linearisierte Grundgleichungen Kontinuitätsgleichung Bewegungsgleichung Adiabatizität Poisson Gleichung

15 Separation von ( ,  ) Separation der Auslenkung in Radialteil und Horizontalteil (radiale Richtung hat besonderen Status): Bewegungsgleichung separiert dann auch: Kontinuitätsgleichung: Radiale Komponente Horizontale Komponente

16 Separation von ( ,  ) Divergenz anwenden auf horizontalen Bewegungsgleichung: Divergenz von Gleichgewichtsgrößen verschwindet, da keine horizontalen Anteile Einsetzen der Kontinuitätsgleichung: Poisson Gleichung ausgeschrieben für Radial- und Horizontalteil:

17 Die letzten drei Gleichungen nochmals Ableitung nach den Winkelvariablen µ u. Á nur in Verbindung mit ! weitere Vereinfachung möglich Bis jetzt: Gleichungen sind ein System partielle Differentialgleichungen in erster Ordnung in den vier Variablen

18 Separation von ( ,  ) Weiterer Separationsansatz mit Funktion f( ,  ) in der Art, dass f( ,  ) Eigenfunktion des horizontalen Laplace-Operators ist: Erfüllt mit Ziel, Abhängigkeit von den Winkelkoordinaten weiter vereinfachen. Koeffizienten sind unabhängig von Á, d.h. weitere Separation f( µ, Á ) = f 1 ( µ ) f 2 ( Á )

19 Separation von ( ,  ) Ergebnis: Die r-abhängigen Variablen in dem Differentialgleichungssystem können geschrieben werden als: Den gemeinsamen Faktor Y l m exp (-i ! t) kürzt man aus den Gleichungen heraus und erhält ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen: Energiegleichung:

20 Separation von ( ,  ) Separation der skalaren Größen, z.B: Auslenkungsvektor: Effekt des horizontalen Laplace Operators auf eine beliebige Störung  ’:

21 Kugelflächenfunktionen

22 Nicht radiale Modi: Quadrupol Modus l=2, m=0 l=2, m=2 Rich Townsend Schwingungen in Sternen

23

24 Separierte Gleichungen Separation der Zeit gemäß exp(- i  t); adiabatische Oszillationen: Lamb Frequenz, Schallgeschw., Brunt-Väisälä-Frequenz System gewöhnlicher Differentialgleichungen vierter Ordnung für die vier Variablen:

25 Randbedingungen Im Zentrum singulärer Punkt (Taylor-Entwicklung in r) Für l ≠ 0 folgt: » r » r l-1, p’, © ’ » r l ;für l=0: » r » r An der Oberfläche: r=R 1. Forderung der Kontinuität der Lösung und ihrer Ableitung; außerhalb des Sterns verschwindet die Dichtestörung, Poisson Gl. analytisch lösbar. Im Unendlichen : Die Diff.Gl.en und Randbedingungen bestimmen die Frequenzen (Eigenwert)  nl 2. Lagrangesche Druckstörung verschwindet:

26 Frequenzabhängigkeit vom inneren Aufbau der Sonne Frequenzen hängen von dynamischen Größen ab: Jedoch können aus dem hydrostatischen Gleichgewicht und der Poisson-Gleichung p und g aus ½ bestimmt werden. Deshalb sind adiabatische Oszillationen vollständig charakterisiert durch oder äquivalent

27 Relevante Aspekte des inneren Aufbaus der Sonne Schematischer Aufbau der Sonne Dünner gestreifter Bereich nahe der Oberfläche: Physik unsicher wegen Effekten von Konvektion, Nicht-Adiabatiziät, … Boden der Konvektionszone: Konvektiver Overshoot und Diffusion führen zu Unsicherheit Aufbau des adiabatischen Teils der Konvektionszone: ist durch die Zustandsgleichung (EOS) und die konstante spezifische Entropie und die chemische Zusammensetzung bestimmt Unterhalb der Konvektionszone: hängt der Aufbau auch von der Opazität und der Energieerzeugungsrate ab.

28 Frequenzen von Model S =  / 2  Beobachtete Modi der Sonne

29 Experimenteller Beweis Franz-Ludwig Deubner, 1974

30 Genäherte Gleichungen Cowling Näherung Hohe radiale Ordnung ! Störungen variieren schneller mit r als Gleichgewichtsgrößen ) Ableitungen von Gleichgewichtsgrößen vernachlässigbar Kombination der zwei verbleibenden Gleichungen:

31 Moden-Einfang (“Mode Trapping”) Eigenfunktionen oszillieren als Funktion von r, falls Lokales Verhalten von » r hängt vom Vorzeichen von K(r) ab: K positiv: lokales oszillieren K negativ: exponentielles Verhalten

32 Asymptotische Frequenzen Dispersionsrelation für akustische Wellen Deshalb

33 Wellenpfade

34 Ort des Umkehrpunkts

35 Einfluß auf Eigenfunktionen rtrt rtrt

36 Seismologie der Sonne Unterschiedliche Wellen laufen durch unterschiedliche Bereich in der Sonne → Information aus verschiedenen Tiefen Voraussetzungen: Sehr genaue Messung der Frequenzen, um die Wellen trennen zu können → lange u. ununterbrochene Messungen Frequenzauflösung: Seismologie der Sonne damit möglich „Helioseismologie“ Aus den Tönen, auf den Aufbau des Instruments schließen

37 Asymptotische Frequenzen Dispersion Beziehung für akustische Wellen Deshalb Bedingung für stehene Wellen mit oberflächengeneriertem Phasensprung  Folgerung: Duvall’sches Gesetz (Duvall 1982; Nature 300, 242)

38 Beobachtetes Duvall’sches Gesetz

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42

43 F(w)

44 Innerer Aufbau der Sonne Dichte c 2 [m 2 /s 2 ]  [g/cm 3 ] (Kosovichev, 1996) (Vorontsov, 2002) Schallgeschwindigkeit Differenz zwischen theoretischem Modell und Helioseismologie: ca. 2% Inversion der Integralgleichung für die Schallgeschwindigkeit (ähnlich für die Dichte):

45 Zentraltemperatur der Sonne Die Zentraltemperatur der Sonne beträgt: 15,7 Millionen Grad Celsius Unsicherheit: 2% (Vorontsov, 2002)

46 Eine rigorosere asymptotische Analyse (I) Annahmen: Cowling Näherung Keine Ableitung der Gravitationsbeschleunigung, quasi- planparallele Näherung Thermodynamische Variationen erlaubt, inklusive  1 Verallgemeinerung einer Analyse von Lamb (1909) von D. Gough (Deubner & Gough 1984)

47 Eine rigorosere asymptotische Analyse (II) p-mode trapping

48 Eine rigorosere asymptotische Analyse (III) g mode p mode

49 Eine rigorosere asymptotische Analyse (IV)

50 Linearisierstes Duvall’sche Gesetz Linearisieren in Dann oder mit

51 Beispiel: Einfluß von Absacken (“Settling”) (Settling) – (kein Settling)

52 Frequenz Differenzen

53 Oberflächenterm Ohne “Settling”: Y s = “Settling”: Y s = 0.249

54 Frequenz Differenzen, Sonne – Modell


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