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Produktform der Inversen 1 Produktform der Inversen Eine numerisch stabilere Form der Basisinversen.

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Präsentation zum Thema: "Produktform der Inversen 1 Produktform der Inversen Eine numerisch stabilere Form der Basisinversen."—  Präsentation transkript:

1 Produktform der Inversen 1 Produktform der Inversen Eine numerisch stabilere Form der Basisinversen

2 Produktform der Inversen 2 Agenda 1. Elementarmatrizen 2. Alternative Darstellung der Iterationen 3. Produktform der Inversen 4. Implementierung 41. BTRAN 42. FTRAN 5. Vorteile der Produktform- Implementierung

3 Produktform der Inversen 3 1. Elementarmatrizen

4 Produktform der Inversen Berechnung des Eta-Vektors

5 Produktform der Inversen Beispiel Die Premultiplikation mit der Elementarmatrix ergibt:

6 Produktform der Inversen Darstellung der Basisinversen nach k Iterationen

7 Produktform der Inversen 7 2. Alternative Darstellung der Iterationen Anstelle der Umrechung der gesamten Basisinversen und deren vollständigen Aktualisierung beschränkt man sich auf den Teil, der für den Fortgang der Rechnung unbedingt auf aktuellem Stand gehalten werden muss: die Pivotspalte

8 Produktform der Inversen Pivotspalten Die Zusammenfassung der Pivotspalten von 4 Iterationen mit Markierung der Position der Pivotelemente:

9 Produktform der Inversen Darstellung der 1. Iteration

10 Produktform der Inversen Darstellung der 2. Iteration

11 Produktform der Inversen Darstellung der 3. Iteration

12 Produktform der Inversen Darstellung der 4. Iteration

13 Produktform der Inversen Darstellung der Basisinversen

14 Produktform der Inversen Implementierung Anstelle der Basisinversen wird nur die Datei der Eta-Vektoren in folgender Form gespeichert:

15 Produktform der Inversen Vorteile der Eta-Datei Eta-Vektoren werden nicht mehr umgerechnet. Jeder Vektor ist so häufig tranformiert, wie die laufende Iterationszahl angibt. Sie sind anfangs dünn besetzt, wenn die Problemdatei dünn besetzt ist. Solange nicht mehr als m Iterationen durchgeführt sind, enthält die Datei weniger Spalten als die vollständige Basisinverse.

16 Produktform der Inversen Nachteile der Eta-Datei? Sind mehr als m Iterationen durchzuführen, wird die Eta-Datei größer als die Basisinverse. Wird bei Verwendung der komplizierten Basisinversen der Rechenaufwand durch die vielen Matrixmultiplikationen nicht sehr groß? … und in Folge nicht auch der Rundungsfehler immer größer?

17 Produktform der Inversen Implementierung Erst durch die Implementierung wird die Wirksamkeit der Produktform verständlich! Dazu muss untersucht werden, an welchen Stellen die Inverse benutzt werden muss: 1. Berechnung der Simplex-Multiplikatoren, die ja nun nicht mehr abgelesen werden können: 2. Bei der Aktualisierung der Pivotspalte:

18 Produktform der Inversen BTRAN Zur Berechnung der Simplex-Multipikatoren wird der Zeilenvektor der Zielzeile von rechts mit der Basisinversen multipliziert: In der Ausgangslösung ist d B T der Einheitsvektor:

19 Produktform der Inversen Reihenfolge der Auswertungsschritte: rückwärts Auswertung besteht aus Multiplikation eines Zeilenvektors mit einer Elementarmatrix von rechts:

20 Produktform der Inversen FTRAN Zur Berechnung der aktuellen Pivotspalte wird der Spaltenvektor der entsprechenden Spalte der Problemdatei von links mit der Basisinversen multipliziert: Die s-te Spalte des Ausgangsproblems wird nun also vorwärts mit allen Elementarmatrizen multipliziert.

21 Produktform der Inversen Reihenfolge der Auswertungsschritte: vorwärts Jede Multiplikation mit einer Elementarmatrix umfaßt folgende Rechung:

22 Produktform der Inversen Aktualisierung der Basis Einerseits wird jeweils die Rechte Seite durch direkte Umrechung aktualisiert (wird für das Quotientenkriterium benötigt!) Andererseits braucht die umgerechnete Pivotspalte nur der Eta-Datei hinzugefügt werden:

23 Produktform der Inversen Vorteile der Produktform-Implementierung 1. Speicherplatz-Vorteile 2. Rechenzeit-Einsparungen 3. Rechengenauigkeit

24 Produktform der Inversen Kompakte Speicherung Es wird praktisch nur mit der Problemdatei und der Etadatei gearbeitet. Beide werden nicht umgerechnet, sondern nur benutzt. Da die Eta-Vektoren anfangs jedenfalls nur wenig transformiert sind, sind sie auch ähnlich dünn besetzt wie die Problemdatei. Folglich können beide Dateien kompakte gespeichert werden.

25 Produktform der Inversen Rechenzeiteinsparung Die kompakte Speicherung lässt eine effiziente Auswertung der Skalarprobdukte zu. Partial-Pricing und vor allem Multiple-pricing sind beschleunigende Techniken: Nun wird nur noch das Mini-LP gelöst, mit der ersten Major- und nachfolgenden Minor- Iterationen.

26 Produktform der Inversen Rechengenauigkeit : Reinversion INVERT In relativ kurzen Abständen wird die Basislösung jeweils neu berechnet, so dass die geringste Anzahl Iterationen benötigt werden: Dünne Besetzung Verkürzung der ETA-Datei Da der Pricing-Schritt praktisch entfällt, kann man die alternative, verkürzte Basisdarstellung schnell berechnen. Inversionen werden sehr häufig durchgeführt.


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