Ein Planungssystem zur Optimierung der Palettenbeladung mit kongruenten rechteckigen Versandgebinden Ein logistisches PC-gestütztes Decision-Support-System.

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1 Ein Planungssystem zur Optimierung der Palettenbeladung mit kongruenten rechteckigen Versandgebinden Ein logistisches PC-gestütztes Decision-Support-System zur Optimierung der Palettenstapelung mit kongruenten rechteckigen Versandgebinden Universität Karlsruhe(TH) Institut für Anwendung des Operations Research Prof. Dr. Gerald Hammer Wintersemester 2002/2003  Betreuer: Dipl. Math. Peer Giemsch  Yi Yin

2 Optimierung der Palettenbeladung
Agenda Einführung 1.1 Einführung in das DSS 1.2 Einführung in die Palettenbeladung DSS zur Optimierung der Palettenbeladung/-Stapelung 2.1 Voraussetzung 2.2 Generierung optimaler Lagenpläne 2.2.1 Suchphase: Problemdefinition Entscheidungsphase Auswahlphase Erweiterung: Abstimmung der Abmessungen Optimierung der Palettenbeladung

3 Optimierung der Palettenbeladung
Agenda Einführung 1.1 Einführung in das DSS 1.2 Einführung in die Palettenbeladung DSS zur Optimierung der Palettenbeladung/-Stapelung 2.1 Voraussetzung 2.2 Generierung optimaler Lagenpläne 2.2.1 Suchphase: Problemdefinition Entscheidungsphase Auswahlphase Erweiterung: Abstimmung der Abmessungen Optimierung der Palettenbeladung

4 Optimierung der Palettenbeladung
Einführung in das DSS Decision-Support-Systeme (DSS): sind rechnergestützte, interaktive Informationssysteme, die Entscheidungsträger mit Modellen, Methoden und problembezogenen Daten in ihrem Entscheidungsprozess unterstützen. Entscheidungsprozesse: Suchphase: Problemdefinition Entscheidungsphase: Finden, Entwickeln, Bewerten von Handelungsalternative Auswahlphase: Selektion einer der gefundenen Handelungsalternative Implementierungsphase: Umsetzung der getroffenen Entscheidung Analysephase: Verfolgung der Konsequenzen der Umsetzung, Dokumentation ggf. Rückkopplung mit früheren Phase * DSS unterstützen Phasen 2, 3 und 5 Optimierung der Palettenbeladung

5 Einführung in die Palettenbeladung(1)
1. Einheit: Verbrauchseinheit: Einzelpackung (Grundpackung) Verkaufseinheit: mehrere Einzelpackungen (kleinste Einheit, in der ein Produkt dem Einzelhändler geliefert wird) Versandgebinde: Sammelpackung, Versandpackung, Versandeinheit (die größte auf eine Paletten zu stapelnde Einheit eines Produktes) Stapelfähig, ein direktes Aufeinandersetzen möglich hier: ohne Berücksichtigung von: mechanische Beanspruchung (Druck, Stoß) Diebstahl klimatische Einflüsse (Feuchtigkeit, Temperatur) Optimierung der Palettenbeladung

6 Einführung in die Palettenbeladung(2)
2. Zielsetzung: Maximiere die Zahl der auf eine Palette zu stapelnden Einzelpackungen bzw. Versandgebinde. Kosten minimieren!! 3. Stapelpläne: Stapelplan: wie die Versandgebinden auf der Palette zu stapeln sind. Lagenplan: Anordnung von x Packstücken auf der Nutzbaren Palettengrundfläche LXB bei gegebener Höhenorientierung der Packstücke. Optimaler Lagenplan: für eine zulässige Höhenorientierung des Versandgebindes, die Anordnung einer maximalen Anzahl von Versandgebinden bzw. Einzelpackungen auf der Nutzbaren Palettengrundfläche LXB. Optimaler Stapelplan: die lagenweise Stapelung einer maximalen Anzahl von Versandgebinden bzw. Einzelpackungen auf der Palette unter Beachtung der Zulässigkeitsbedingungen vorsieht. Optimierung der Palettenbeladung

7 Optimierung der Palettenbeladung
Agenda Einführung 1.1 Einführung in das DSS 1.2 Einführung in die Palettenbeladung DSS zur Optimierung der Palettenbeladung/-Stapelung 2.1 Voraussetzung 2.2 Generierung optimaler Lagenpläne 2.2.1 Suchphase: Problemdefinition Entscheidungsphase Auswahlphase Erweiterung: Abstimmung der Abmessungen Optimierung der Palettenbeladung

8 Optimierung der Palettenbeladung
Voraussetzungen 1. Versandgebinden mit gleicher Höhenorientierung 2. Orthogonale Lagenpläne Gleiche Höhenorientierung In der Praxis wird eine Stapelung der Versandgebinde nahezu ausschließlich in ebenen Lagen vorgeschrieben. Wir beschränken uns hier auf die Stapelung gleichdimensionierter rechteckiger Versandgebinde mit ebenen Oberflächen. In einer Lage haben alle Versandgebinde die gleiche Höhenorientierung, d.h. genau eine der Kanten l, b, h der Versandgebinde steht in der Lage senkrecht. Optimierung der Palettenbeladung

9 Voraussetzung: Orthogonal
In der Praxis, dominieren die nicht-orthogonale Lagenpläne selten die orthogonale (außerdem lassen sich rechnerisch nur unter großen Aufwand ermitteln). nicht-orthogonale Lagenpläne sind nicht stabil. Und es besteht die Gefahr, dass die Packstücke gegenseitig beschädigen. Hier eingesetzten Verfahren zur Generierung optimaler Lagenpläne beschränken sich auf die Generierung orthogonaler Lagenpläne. Optimierung der Palettenbeladung

10 Optimierung der Palettenbeladung
Agenda Einführung 1.1 Einführung in das DSS 1.2 Einführung in die Palettenbeladung DSS zur Optimierung der Palettenbeladung/-Stapelung 2.1 Voraussetzung 2.2 Generierung optimaler Lagenpläne Suchphase: Problemdefinition Entscheidungsphase Auswahlphase Erweiterung: Abstimmung der Abmessungen Optimierung der Palettenbeladung

11 DSS zur Optimierung der Palettenbeladung/-stapelung
Schritt 1 (Suchphase): Problem definieren Für jede zulässige Stapelgrundfläche bzw. Höhenorientierung der Versandgebinde sind alle Lagenpläne zu generieren, bis die Anordnung eine maximalen Anzahl von Versandgebinden x auf der nutzbaren Palettengrundfläche LxB vorsieht. Schritt 2 (Entscheidungsphase): Finden, Entwickeln, Bewerten von Handelungsalternativen Heuristische Verfahren: Blockerzeugende Heuristiken Theoretische Obergrenze: Zwei Vorgehensweisen Exaktes Verfahren: Branch-and-Bound Verfahren Schritt 3 (Auswahlphase): Selektion einer der gefundenen Handelungsalternativen Optimierung der Palettenbeladung

12 Blockerzeugende Heuristiken
4 Block Heuristik d 1 f g c a h i e 3 4 2 B 1 L Max: ac+de+fg+hi Optimierung der Palettenbeladung

13 Beispiele für Blockerzeugende Heuristiken
4-Block Heuristik 5-Block Heuristik 8-Block Heuristik Optimierung der Palettenbeladung

14 Theoretische Obergrenze: Vorgehensweise 1
Überdeckung (i, j): i Packstücke mit l-seiteparallel zur L-Seite, j Packstücke mit b-seiteparallel zur L-Seite, mit il+jb=Lij Zulässig: wenn Lij<=L; Effizient: wenn keine zulässige Überdeckung (f, g) von L existiert mit (f, g) ≥ (i, j) und (f, g) ≠ ( i, j) Vorgehensweise 1: (K. A. Dowsland) L*=max { Lij } und B*=max{ Bfg }, mithilfe aller effiziente Überdeckungen (i, j) von L und effiziente Überdeckungen (f, g) von B Idee:  Der optimale Lagerplan wird innerhalb der maximalen nutzbaren, rechteckigen Stapelgrundfläche L* x B* angeordnet (vgl. Dowsland, 1983). Eine erste Obergrenze für die Anzahl der Packstück beträgt: O1=[L*B*/lb] Optimierung der Palettenbeladung

15 Theoretische Obergrenze: Vorgehensweise 1 (Fortsetzung)
Erweiterung: Minimiere die nicht nutzbaren Stapelgrundfläche bei einer Stapelung von Rechtecken der Abmessungen 1xl und 1xb. Für das Rechteck 1x b: L* = a (mod b) 0≤a<b B* = c (mod b) 0≤c<b Nicht genutzte Stapelgrundfläche (vgl. Brunaldi and Foregger): Für das Rechteck 1x l L*= d (mod l) 0≤d<l B*= e (mod l) 0≤e<l Nicht genutzte Stapelgrundfläche ( vgl. Brunaldi and Foregger): Min: H ( ist die Untergrenze der nicht genutzten Stapelgrundfläche) u.d.N H ≥ max {F,G} H=h (mod b) F=h (mod b) H=k (mod l) G=k (mod l) O2=(L*B* )/lb Optimierung der Palettenbeladung

16 Theoretische Obergrenze: Vorgehensweise 2
Stetige Variable: yij Die Länge der Überdeckung der Seite B des Palettendecks durch die zulässige Überdeckung (i,j) von L iyij/b: Wie viele Packstücke mit der l-Seite des Packstücks parallel zur L-Seite der Palette auf der Palette angeordnet werden können Analog: jyij/l, fzfg/b, gzfg/l Lineare Restriktionen Zielfunktion: Max S= O3=[ ] Theoretische Obergrenze: X* = min{ O2, O3 } Optimierung der Palettenbeladung

17 Optimierung der Palettenbeladung
Basisordnung Eine orthogonale Anordnung von rechteckigen Packstücken auf einem Palettendeck heißt: Basisanordnung: wenn kein Packstück in der Anordnung senkrecht nach unten oder waagerecht nach links verschoben werden kann. Endanordnung: eine Basisanordnung und es kann kein weiteres Packstück auf dem Palettendeck angeordnet werden. Nicht nutzbare Fläche Optimierung der Palettenbeladung

18 Branch-and-Bound-Verfahren
K: die nicht genutzte Stapelgrundfläche, soll hier minimiert werden i: Knoten, repräsentiert eine Basisanordnung Grad eines Knotens: wie viele Packstücke die Basisanordnung umfasst Ki (die Knotenbewertung): die der Basisanordnung zugeordnete nicht nutzbare Fläche. : die Anzahl der Versandgebinde des besten Lagenplanes, der mit einer Heuristik bestimmt wird x*: die theoretische Obergrenze, bei Aktive: Knoten i heisst aktive, wenn gilt: , nicht aktive: falls nicht gilt. Optimierung der Palettenbeladung

19 Branch-and-Bound-Verfahren
Algorithmus: Binäre Optimierung Sind alle Blätter des Lösungsbaum nicht aktive, so ist der Lagenplan optimal, bei dem Versandgebinde auf der Palette gestapelt werden können. Ende. Hat ein Blatt des Lösungsbaum den Grad , so ermittelt man den zugehörigen Lagenplan. Falls ist dieser Lagerplan optimal. Ende Falls setze und aktualisiere den Status aller bisher aktiven Blätter des Lösungsbaums. Wähle unter den aktiven Blättern maximalen Grades jenes mit minimaler Knotenbewertung und erzeugen hier weitere Sohnknoten, so dass mit der zugehörigen Basisordnung eine zusätzliche Versandgebinde gestapelt werden kann. Für jeden neuen Knoten wird die Knotenbewertung sowie der Status des Knotens ermittelt. Setze wieder bei 1 fort. Optimierung der Palettenbeladung

20 Branch-and-Bound-Verfahren
1 2 Optimierung der Palettenbeladung

21 Entscheidungsaspekt: Stabilität
Turmstapelung (säulenstapelung, lineare Stapelung) Verbundenstapelung Optimierung der Palettenbeladung

22 Optimierung der Palettenbeladung
Verbundstapelung Eine Verbundstapelung wird einer Turmstaplung vorgezogen Da eine Verbundstaplung eine höhere Stabilität als die Turmstaplung vermittelt. Erzeugung einer Verbundstapelung durch: alternierende Stapelung von zwei verschiedenen Lagenmuster (mehrere optimale Lagenpläne zu generieren) Drehung einer Lage um 180 Grad Spiegelung der Lage an der Längs- bzw. Schmalseite der Palette eine partielle Verbundstapelung (Falls keine optimalen Lagenpläne existieren, die eine vollständige Verbundstapelung erlaben, ist im Einzelfall zu prüfen) Eine Turmstapelung unter Verwendung von Befestigungshilfen Einsatz suboptimaler Lagenpläne mit x-1 statt x Versandgebinden pro Lage Optimierung der Palettenbeladung

23 Optimierung der Palettenbeladung
Agenda Einführung 1.1 Einführung in das DSS 1.2 Einführung in die Palettenbeladung DSS zur Optimierung der Palettenbeladung/-Stapelung 2.1 Voraussetzung 2.2 Generierung optimaler Lagenpläne Suchphase: Problemdefinition Entscheidungsphase Auswahlphase Erweiterung: Abstimmung der Abmessungen Optimierung der Palettenbeladung

24 Variation der Abmessung (Beispiel)
Eine Versandgebind mit dem Volumen von V=17 dm3 auf der Euro-Palette, und mit einer zulässigen Stapelhöhe von 1600mm Abmessung: l=324mm, b=168mm, h=325mm Optimaler Lagenplan: 56 Packstücke in 4 Lagen je 14 Packstücke Veränderung erlaubt: 287≤ l ≤ 337, 132≤ b ≤ 167, 285≤ h ≤ 335 Abmessung: l=309mm, b=181mm, h=320mm Optimaler Lagenplan: 80 Packstücke in 5 Lagen je 16 Packstücke Optimierung der Palettenbeladung

25 Abstimmung der Abmessung der Einzelpackung mit der Palette (Beispiel)
1200mm x 800mm x 1050mm Palette Abmessung der Einzelpackung: 150mm x 150mm x 30mm l und b Seite dürfen nicht verkleinert werden Gleiches Volumen Die Abmessung der beiden Kanten können nur bis um 5mm erhöht werden 10 Packungen werden zu einem Versandgebinde zusammengefasst, und noch Verpackungsmaterial dazu: l Seite 3mm, b Seite 0,4mm, h Seite 0.4mm (Bmsp. Die ursprünglich vorgesehenen Abmessung der Versandgebinde beträgt: 153mm x 150,4mm x 300,4mm) Ausgangspunkt: 3 Lagen je 35 Versandgebinde (1050 Einzelpackungen). Sinnvolle Variationen: Annahme: quadratisch soll beibehalten werden. Abmessung der Einzelpackung:153 x 153 x 29, folgt Abmessung der Versandgebinde: 156 x 153,4 x 290,4. Lagenplan: 1300 Einzelpackungen in 3 Lagen je 20 Versandgebinde und 2 Lagen je 35 Versandgebinde. Abmessung(mm) Anzahl 151 x 155 x 29 1310 152 x 154 x 29 153 x 153 x 29 1300 Optimierung der Palettenbeladung

26 Optimierung der Palettenbeladung
Literatur Isermann H (1987): Ein Planungssystem zur Optimierung der Palettenbeladung mit kongrenten rechteckigen Versandgebinden. OR Spektrum Smith A, De Cani P (1980): An algorithm to optimize the layout of boxes in pallets. J Oper Res Soc 31 Brunaldi RA, Foregger TH (1974): Packing boxes with harmonic bricks. J Combi Theory 17 Downsland KA (1983): Determining an upper bound for a class of rectangular packing problem. Downsland WB (1984): The computer as an aid to phzsical distribution management. E J Oper Res 15 Optimierung der Palettenbeladung

27 Dank für Ihre Aufmerksamkeit
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