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Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen 1 Wie lösen wir ILPs exakt? Branch-and- Bound Schnittebenen- verfahren Branch-and-

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1 Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen 1 Wie lösen wir ILPs exakt? Branch-and- Bound Schnittebenen- verfahren Branch-and- Cut Acyclic Subgraph TSP

2 Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen 2 Zielfunktion IP Optimum Ganzzahliges Lineares Programm Abrunden der optimalen Lösung der LP- Relaxierung Zulässige Lösungen y x Optimum der LP Relaxierung

3 Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen 3 Branch-and-Bound Zerlegung in Teilprobleme Berechnung oberer und unterer Schranken Löse erste Relaxierung ! obere Schranke zulässig? ! optimal Sonst: Partitioniere in Teilprobleme Löse Relaxierung ! Lsg. (a) ganzzahlig oder (b) unzulässig oder (c) neue, evtl. schärfere, obere Schranke Fall (c) ! eventuell rekursive Aufteilung

4 Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen 4 Branch-and-Bound Vernünftige Aufteilungsstrategie und endliche Lösungsmenge ! endliche Anzahl Schritte Ergibt Branch-and-Bound-Baum Knoten = Teilproblem Söhne = Partitionierung des Vaterproblems Intelligente Enumeration Permanent Gütegarantie, bei Termination beweisbar optimal

5 Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen 5 Branch-and-Bound Betrachte das folgende ILP: Max x + y + 2z Subject to 7x + 2y + 3z 36 5x + 4y + 7z 42 2x + 3y + 5z 28 x, y, z 0, ganzzahlig (IP 0 ) LP-Relaxierung

6 Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen 6 IP 0 IP 2 IP 1 Bester IP- Wert Beste IP- Lösung 10 / Integral IP 4 IP 3 Unzulässig IP 6 IP 5 / 11 Integral IP 8 IP 7 Obj. · bestem gefundenen Wert Obj. · bestem gefundenem Wert Branch-and-Bound für ILPs: Beispiel Löse LP- Relaxierung Max x + y + 2z Subject to 7x + 2y + 3z 36 5x + 4y + 7z 42 2x + 3y + 5z 28 x, y, z 0, ganzzahlig Garantie87,3% 87,7% 88,2% 98,2% 100%

7 Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen 7 Branch-and-Bound Eingabe: Gemischt-ganzzahliges lineares Programm (A, b, c, N 1 ) Ausgabe: Lösung von (MIP = ) oder Beweis der Unlösbarkeit

8 Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen 8 P 0 = {x j Ax = b, x ¸ 0, x i ganzzahlig 8 i 2 N 1 } U = - 1 K := {P 0 } (Liste der offenen Probleme) x = NIL (beste Lösung) ja K = ; ? Löse Relaxierung von (MIP j = ) (Bounding) x * ist Optimallö- sung mit Wert c * c * · U? U = c *, x = x * ja U = - 1 ! MIP = hat keine Lösung U ¸ - 1 ! x ist Optimallösung mit Wert U ja x i * 2 Z 8 i 2 N 1 ? nein Wähle P j 2 K, K = K – {P j } (Branching) nein Wähle i 2 N 1 mit x * i Z K += (P j Å {x j x i · b x * i c }) + (P j Å {x j x i ¸d x * i e }) nein

9 Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen 9 Branch-and-Bound Analyse: (LMIP = ) unzulässig oder unbeschränkt ! B&B bricht ab mit korrektem Ergebnis (LMIP = ) hat endliches Optimum und P 0 ; ! endlich viele Schritte zur Optimallösung (LMIP = ) hat endliches Optimum und P 0 = ; ! Abbruch durch Zusatzrestriktionen Praxis: Beschränkung der Baumgröße meist notwendig ! Branch-and-Cut ! später


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