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25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 METSWN Organisation, 2 nd half 1 830. NovemberRadiation introduction (UL) 97. DecemberEM.

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1 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 METSWN Organisation, 2 nd half NovemberRadiation introduction (UL) 97. DecemberEM Spectrum; Reflection and refraction (SC) DecemberThermal emission and Transmission (SC) JanuaryGas absorption (SC) JanuaryHeating rates (Exercises, KE) JanuaryRadiative transfer; Scattering (SC) 141. FebruaryRT Exercise and summary (UL) Klausurtermin!

2 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 2 Content 1.Introduction 2.Properties of electro- magnetic radiation 3.Electromagnetic Spectrum 4. Reflection and Refraction 5. Radiative properties of natural surfaces 6. Thermal emission 7. Atmospheric transmission 8. Atmospheric emission 9. Absorption atmospheric gases 10. Broadband fluxes and heating rates (cloud free) 11. Radiative transfer with scattering 12. Scattering and absorption by particels 13. Radiative transfer with multiple scattering

3 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/ Breitbandige Flüsse und Erwärmungsraten Wieviele Moleküle und Spektrallinien müssen zur vollständigen Beschreibung der Ausbreitung elektomagnetoscher Strahlung in der Atmosphäre genutzt werden? Wie berechnet sich der Absorptionskoeffizient β λ ? Wie wird Strahlung in NWP und Klimamodellen berücksichtigt? 3 HITRAN'2004 Database (Version 13.0) enthält 2,713,968 Spektrallinien für 39 verschiedene Molekülehttp://cfa-www.harvard.edu/HITRAN/ Strahlungsfluss- divergenz

4 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/ Breitbandige Flüsse und Erwärmungsraten Wie funktioniert die Umrechung von monochromatischen Strahldichten auf breitbandige Strahlungsflüsse? 4 Integration über Halbraum und Wellenlängen

5 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 k-Verteilungsmethode effiziente, flexible Methode zur Integration über komplexes Spektralintervall wesentlich gröbere Diskretisierung und somit Reduktion der Rechenzeit möglich auch möglich bei Streuung Petty, Fig gleicher Wert von k taucht mehrfach auf Sortierung nach der Größe des Absorptionskoeffizienten k Aufteilung in Bereich g[0,1] ergibt neue, leicht integrierbare Funktion k(g)

6 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 k-Verteilungsmethode Petty, Fig.10.5 Vorteil: macht keinen Annahmen über die Art der Linienverteilung Datenkompression Problem: inhomogene Atmosphäre Korrelation verschiedener Druckniveaus Rekonstruktion Correlated-k Methode hat < 1% Fehler 6

7 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Heizraten: Solare Strahlung Petty, Fig.10.6 Standardatmosphären mit typischen Temperatur- und Feuchteprofilen für tropisch, mittl. Breiten, subarktisch und arktisch Wasserdampf und Ozon sind die dominanten Absorber solarer Strahlung Ozon dominiert die Stratosphäre mit H>2K/Tag (Ursache für die Existenz der Stratosphäre) Wasserdampf hat höchste Konzentration in unterer Atmosphäre und führt zur Erwärmung bis 1.5 K/Tag Kohlendioxid ist gleichmäßig durchmischt (Lebenszeit ca. 5 Jahre) und hat geringe Er- wärmungsrate von 0.05 K/Tag 7

8 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/ Strahlungstransfer mit Streuung Extinktion als Summe von Absorption und Streuung Einfachstreualbedo sagt, welcher Anteil der Extinktion durch Streuung bedingt ist. Reine Absorption o = 0 Streuung führt nur zur Umlenkung der Strahlungsenergie Verlust in einer Ausbreitungsrichtung wird kompensiert durch Zugewinn in anderer Ausbreitungsrichtung komplexer Prozess Wichtige Streuprozesse -alle Beobachtungen solarer Strahlung abseits der Sonnenrichtung; Wolken, Aerosole & Dunst verursachen sichtbaren Kontrast -Wolken und Niederschlag im IR -Eis und Niederschlag im Mikrowellenbereich 8

9 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Was genau ist Streuung? Strahlung besteht aus elektromagnetischen Wellen. Das oszillierende elektromagnetische Feld regt in allen dielektrischen Medien elektrische und magnetische Dipole (und Multipole) zum Schwingen an. Die Strahlung des dabei erzeugten Feldes nennt man Streustrahlung. Je nach Größe des dielektrischen Teilchens relativ zur Wellenlänge weist das Streufeld eine charakteristische wellenlängen- abhängige und winkelabhängige Verteilung auf. muenchen.de/iggf/multimedia/Physik/ph_h auptseite.htm muenchen.de/iggf/multimedia/Physik/ph_h auptseite.htm 9

10 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2011/12 Beispiele: Rayleigh- und Mie-Streuung Rayleigh-StreuungMie-Streuung Bei sichtbarem Licht erfolgt diese durch die Luftmoleküle. Erzeugt Himmelsblau da Blau stärker gestreut wird als Rot. Aus gleichem Grunde erscheint die untergehende Sonne rot (Blau ist herausgestreut) Rayleigh-Streuung ist stark polarisiert (nur eine Polarisationsrichtung) rechtwinklig zur Sonneneinstrahlung Bei sichtbarem Licht erfolgt diese durch Dunst, aber vor allem Wolkentropfen (~10μm). Mie-Streuung erscheint wegen der schwachen Wellenlängenabhängigkeit weiß. Daher sind Wolken und Dunst im Sonnenlicht weiß oder grau. 10

11 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Komponenten der Strahlungstransfergleichung ds I λ (s, Ω) I λ (s+ds,Ω) I λ (s, Ω) B λ (s(T) Der Extinktion der Strahldichte durch Streuung (Ablenkung aus Ursprungsrichtung) und Absorption nach dem Bouguer-Lambert-Gesetz stehen zwei Strahlungsquellen gegenüber: a)Emissionsstrahlung nach dem Planckschen und dem Kirchhoffschen Gesetz, und b)Streustrahlung, die aus allen anderen Richtungen in die betrachte Richtung umgelenkt wird. Alles wird kombiniert in der Strahlungstransfergleichung auch Schuster-Schwarzschild-Gleichung monospektral! IStrahldichte ΩRaumrichtung ωRaumwinkel 11

12 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Allgemeine Strahlungstransfergleichung ds I λ (s, Ω) I λ (s+ds,Ω) I λ (s, Ω) B λ (s(T) normierte Phasenfunktion p Wahrscheinlichkeit, dass Strahl aus der Richtung Ω kommend in die Richtung Ω umgelenkt wird 12

13 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Allgemeine Strahlungstransfergleichung (II) Umformung (Division) mittels optischer Dicke Zusammenfassung der Quellen (Emission und Streustrahlung) in Quellenfunktion J(Ω) Polarisierte Streuung z.B. an orientierten Teilchen (fallende Eiskristalle) Vektorform der Strahlungstransfergleichung Stokes-Vektor4x4 Streu-Phasenmatrix p 13

14 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Streuphasenfunktion p Vereinfachung für Streuung - an sphärischen Teilchen (Wolkentröpfchen) oder - zufällig orientierten Teilchen (Aerosol, Luftmoleküle) Streu-Phasenfunktion nur Funktion des Winkels Θ zwischen der Originalrichtung Ω und der Streurichtung Ω Ersetzen von p(Ω, Ω) mit p(Ω Ω) reduziert die Anzahl der unabhängigen Richtungsvariablen in p von vier zu einer Spezialfall: Isotrope Streuung Alle Richtungen sind für die Streuung eines Photons gleich wahrscheinlich 14

15 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Zufällige Photonenwege Isotrope Streuung Photon wandert zufällig und ziellos durch Wolke. Direkte Transmission ist bei optisch dicker Wolke sehr unwahrscheinlich Petty Fig Photonenwege bei Vorwärtsstreuung mit Asymmetriefaktor g = Grad Einfallswinkel 15

16 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Asymmetriefaktor g g=1 Streuung in die ursprüngliche Richtung entspricht keiner Streuung g = 0 isotrope Streuung g= -1 Streuung in Rückwärtsrichtung Umkehr der Strahlung Zur genauen Berechnung gestreuter Strahldichten muss die Phasenfunktion p(cosΘ) spezifiziert werden. In realer Atmosphäre ist diese oft sehr komplex! Sind nicht die exakten Intensitäten sondern Flussdichten gefragt, können Details vernachlässigt werden. Es ist nur interessant, wieviel in Vorwärts- und wieviel in Rückwärtsrichtung gestreut wird. mittlerer Wert von cosΘ über eine große Anzahl von Photonen -1 g 1 g<0 g>0 Wolkentröpfchen sind starke Vorwärtsstreuer von Sonnenlicht 16

17 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Henyey-Greenstein Phasenfunktion Häufig verwendete Phasenfunktion g= 0 isotrope Streuung Ansprüche an Phasenfunktion - einfache mathematische Funktion - ähnlich zu realen Phasenfunktionen jedoch keine Details wie Halos - nie negativ Petty Fig

18 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Henyey-Greenstein Phasenfunktion g 1 > 0 g 2 < 0 0 < b < 1 g > 0 Vorwärtsstreuung realer Partikel wird gut reproduziert In Realität tritt häufig ausgeprägter Rückwärtspeak auf doppelte Henyey Greenstein (HG) Funktion Beispiel: Marine Dunstpartikel im Sichtbaren b = g 1 = g 2 = =? 18

19 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Reale Phasenfunktion Drusch & Crewell,

20 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Einfach- und Mehrfach-Streuung Betritt ein Photon eine Wolke findet entweder Absorption, Reflektion oder Transmission statt. Bei Einfachstreuung werden nahezu alle Photonen nur einmal gestreut bevor sie zur diffusen Transmission oder Albedo beitragen. Dies ist der Fall wenn die optische Dicke viel kleiner als 1 ist ( τ << 1 ) : die Wahrscheinlichkeit nach einem Streuereignis die Wolke zu verlassen ist sehr hoch. oder starke Absorption (ω o << 1) herrscht: die Wahrscheinlichkeit, dass das Photon absorbiert wird bevor es ein nächstes Mal gestreut wird ist sehr hoch Ist die Schicht optisch dick ( τ >1) und der Streuanteil hoch (1-ω o << 1) liegt Mehrfachstreuung vor. Ein Photon kann mehrere 100 Mal gestreut werden bevor es die Wolke verlässt! 20

21 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Nochmal zur Geometrie... 21

22 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Strahlungstransfergleichung mit Einfachstreuung RTE ohne Emission (z.B. Solare Strahlung) Annahme eines parallelen Strahls einer Punktquelle über der Wolke (wie Sonnenlicht mit μ o <0) μcos Zenitwinkel F 0 Solare Fluss senkr. zum Strahl [Wm -2 ] δ(x)Dirac-Funktion =0 für alle x0 direkte Transmission Umformungen und Integration über die optische Dicke 22

23 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Strahlungstransfergleichung mit Einfachstreuung Lösung für aufwärts- und abwärtsgerichtete Strahlung aufwärtsgerichtete Strahlung am Oberrand I(0) μ>0 abwärtsgerichtete Strahlung am Unterrand I(τ) μ<0 Annahmen: - multiple Streuung vernachlässigbar (d.h. ω 0 <<1 und/oder τ<<1) - ω o und p(cosΘ) sind konstant - nur eine Strahlungsquelle Weitere Annahmen - Vernachlässigung der direkten Transmission - τ<<1 - μ o und μ sind nahe an 1 - e x 1+x 23

24 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Anwendung – Intensität des Himmelslichtes Wellenlängenabhängigkeitp(Θ)raum-zeitl. Variation Moleküle λ -4 symmetrisch/glattnahezu konstant Aerosoleschwachstark asymmetrischsehr variable Rayleigh-Phasenfunktion gilt für die Streuung sichtbarer Strahlung an Luftmolekülen g = 0 ist symmetrisch bzgl. Vorwärts- und Rückwärtsstreuung Intensitätsunterschied zwischen Strahlrichtung und der Senkrechten dazu ist Faktor 2 mit glatten Übergang gleichmäßige Strahlungsintensität des Himmels mit Maximum durch direkt transmittiertes Sonnenlicht Aerosolpartikel im Bereich 0.01 bis 1 μm sind im Vergleich zu Molekülen relativ groß zur Wellenlänge starke Vorwärtsstreuung Streuverhalten von Molekülen im Vergleich zu Aerosolen: Vorherige Annahmen sind gültig für sichtbare und nah-infrarote Sonnenstrahlung bei wolken- und dunstfreier Atmosphäre gelten nicht im UV und nahe des Horizonts 24

25 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/ Streuung und Absorption von Partikeln Streuung wird beschrieben durch den Streukoeffizienten β s, die Einfachstreualbedo ω 0 und die Phasenfunktion p (oder vereinfacht den Asymmetrieparameter g) tritt an den verschiedenen Partikeln in der Atmosphäre (Moleküle bis Hagelkörper) auf hängt stark von Verhältnis der Partikelgröße (Umfang) zur Wellenlänge ab Sichtbares Licht Mikrowellen 25

26 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Atmosphärische Partikel 26

27 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Streuung und Absorption von Partikeln Größen-Parameter auch Mie-Parameter genannt Relativer Brechungsindex Problem: Nicht- sphärische Partikel 27

28 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Streuung an kleinen Partikeln gilt so erfährt jeder Teil des Partikels das gleiche externe, oszillierende elektrische Feld externe Strahlung polarisiert Partikel: - positive Ladung in Richtung der Strahlung - negative Ladung in gegensätzlicher Richtung elektrischer Dipol mit induziertem Dipolmoment Partikel wird zu oszillierendem Dipol, dessen Stärke und Orientierung vom einfallenden Feld bestimmt werden oszillierender Dipol produziert eigenes oszillierendes Feld, dass sich mit Lichtgeschwindigkeit vom Partikel entfernt Streustrahlung αPolarisierbarkeit (komplex) ω=2πνWinkelfrequenz ΩRichtungsvektor 28

29 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Streuung an kleinen Partikeln elektrischer Feldvektor ist senkrecht zur Ausbreitungsrichtung Ω Polarisierbarkeit hat gleiche Ausrichtung wie uns ist somit auch senkrecht zu Ω Aufgrund der Symmetrie der Ladungsverteilung muss die gestreute Strahlung in der Ebene von und Ω liegen αPolarisierbarkeit (komplex) γWinkel zwischen E und Streurichtung Ω ΩRichtungsvektor Die Stärke des elektrischen Feldes ist proportional zur Projektion von auf die betrachtete Richtung (γ Winkel zwischen und Ω) Die vom Dipol ausgestrahlte Leistung ist proportional zur Beschleunigung der elektrischen Ladung des Dipols Hertzscher Dipol Strahldichte Intensität der gestreuten Strahlung ist prop. zur 4. Potenz der Frequenz 29

30 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Rayleigh-Streuung Petty, Fig.12.2 Für Streurichtungen Φ = 90 oder 270° (Ebene senkrecht zu E o ) ist die Streuung maximal Für Streurichtungen Φ = 0 oder 180° und Θ=90° (entlang des Dipols) ist die Streuintensität =0 unpolarisiert Senkrecht zu E 0 Parallel in Ebene aus Ω und E E nur z-Komponente Dipolmoment p θ Winkel: ΩΩ Φ Winkel um Ω-Achse 30

31 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Rayleigh Streuung 31 Ω Ω Ω E E unpolarisierte Strahlung Mittlung über Φ und Normalisierung Petty, Fig.12.3 vertikale Polarisation horizontale Polarisation keine Streuung der horizontalen Komponente in 90° Richtung Streuung führt zur Polarisation von Strahlung mit Ausnahme der Rückwärts- (180°) und Vorwärts- (0°) Streuung θ Winkel: ΩΩ Φ Winkel um Ω

32 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Streu- und Absorptionseffizienzen (abgeleitet aus der Mie-Theorie) 32 Q e = Q a + Q s für kleine χ für kleine Partikel ist - die Absorptionseffizienz Q a proportional zu χ - die Streueffizienz Q s proportional zu χ 4 (λ -4 ) χMie-Parameter = 2πr/λ mrelativer Brechungsindex Vernachlässigung der Streuung bei 1.Molekularer Absorption von IR Strahlung 2.Absorption von Mikrowellen-Strahlung durch Wolkentropfen

33 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Streuquerschnitt σ s 33 Q s ist proportional X 4 und somit proportional zu (2 π r / λ) 4 Annahmen: - Mie-Parameter klein gegen 1(X<<1) - rel. Brechungsindex variiert langsam mit Wellenlänge Streuquerschnitt σ s ist das Produkt von Streueffizienz und Querschnittsfläche 1.Solare Strahlung und Gasmoleküle Himmel ist blau aufgrund der stärkeren Streuung des blauen Lichtes (λ -4 ) 2.Mikrowellen und Regentropfen Radarsignal ist proportional zur 6. Potenz de Tropfenradius

34 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Massenabsorptionskoeffizient 34 Kugel mit Radius r Massenabsorptionskoeffizient k a [m 2 /kg] ist definiert als Absorptionsquerschnitt pro Einheitsmasse k a hat keine Abhängigkeit vom Radius r β a Absorptionskoeffizient [m -1 ] ρDichte [kg m -3 ] σ a Streuquerschnitt Q a Abstorptionseffizienz Luftvolumen mit einer Anzahl von sphärischen Partikeln unterschiedlicher Größe, die alle klein gegen die Wellenlänge sind. Der Absorptionskoeffizient ist dann und mit σ i =k a M i (M i = Masse des Tropfens) Für Strahlung, die durch eine Wolke mit kleinen, absorbierenden Partikeln dringt, ist die gesamte Absorption proportional zu k a unabhängig von deren genauer Größe

35 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Rayleigh-Streuung 35 Fixer Radius r Strahlung zweier Wellenlängen λ 1 < λ 2 trifft auf Partikel mit Radius r kürzere Wellenlänge wird stärker gestreut mit dem Faktor Fixe Wellenlänge λ Strahlung einer Wellenlänge λ trifft auf zwei Partikel mit r 1 < r 2 an größerem Partikel wird stärker gestreut mit Faktor Für sehr kleine Partikel mit komplexem Brechungsindex m (nicht reiner Realteil!) ist - Streuung zu vernachlässigen - Absorption proportional zum Massenpfad (Wolke benimmt sich wie absorbierendes Gas)

36 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Mie-Theorie 36 Gustav Mie 1908 Streuung und Absorption an Kugeln Χ muss nicht mehr << 1 Aus Maxwell-Gleichungen wird eine Wellengleichung für elektromagnetische Strahlung in Polarkoordinaten (r, Φ, Θ) abgeleitet mit Randbedingungen an der Oberfläche partielle Differentialgleichung, deren Lösung eine unendliche Reihe von Produkten orthogonaler Basis-Funktionen ist (Sinus und Cosinus für Φ Abhängigkeit, sphärische Besselfunktionen für r Abhängigkeit und Legendre Polynome für Abhängigkeit von cosΘ) χMie-Parameter = 2πr/λ mrelativer Brechungsindex a n,b n Mie-Streukoeffizienten f(X,m)

37 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Petty, Fig.12.4 nichtabsorbierende Kugel mit m=1.33 Extinktions- effizienz= Streueffizienz opt. Limit Q e =2 Partikel streut 4x soviel wie von der Oberfläche her zu erwarten ist größeres λ 37

38 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Petty, Fig.12.5 Mie-Theorie & Wassertropfen Dunst Dunst extingiert UV-Strahlung viel stärker als rot und Nah-IR (reddening) 1 μm große Aerosol-Partikel schwächen im Nah-IR, rot (0.7 μm) und violett (0.4 μm) am stärksten ab Minimum bei μm würde daher bei solchen Teilchen zu grünem Himmel bei Sonnenuntergang führen Wolkentropfen haben keine starke spektrale Abhängigkeit und ändern daher die Farbe nicht sie sehen weiß aus Aerosol Wolke nichtabsorbierende Kugel mit m=1.33 Extinktionseffizienz = Streueffizienz 38

39 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Petty, Fig.12.6 Teilweise absorbierende Kugeln (Imaginärteil von m ungleich 0) Absorption glättet Kurven Für X >10 ist die von Beziehung von Im (m) und Q a bwz. ω o nicht direkt vorhersehbar Größere Partikel haben starke Vorwärtsstreuung Was passiert im Rayleigh-Limit? 39

40 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Petty, Fig.12.7 Rayleigh-Phasenfunktion Phasenfunktionen Mie-Rechnungen für m=1.33 nach oben versetzt Faktor 100 mehr Streuung in Vorwärts– als Rückwärts- bereich Vorwärtsstreuung als Delta-Funktion Primärer Regenbogen bei 137° und Nebenbogen bei 130° 40

41 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Petty, Fig.12.8 Phasenfunktionen lineare Werte in Polarkoordinaten 41

42 25. Januar 2013 METSWN, Susanne Crewell & Ulrich Löhnert, WS 2012/13 Petty, Fig.12.9 Phasenfunktionen logarithmisch Korona Glorie 42


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