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Infinitesimalrechnung 19. Folgen Aufzählung Bildungsgesetz Rekursionsformel Anfangsglied (a n ) = 2, 4, 6, 8, 10,...a n = 2na n = 2 + a.

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3 Infinitesimalrechnung

4 19. Folgen

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10 Aufzählung Bildungsgesetz Rekursionsformel Anfangsglied (a n ) = 2, 4, 6, 8, 10,...a n = 2na n = 2 + a n-1 a 1 = 2 (b n ) = 8, 10, 12, 14,...b n = 2(n + 3)b n = 2 + b n-1 b 1 = 8 (c n ) = 2, 4, 8, 16, 32,... c n = 2 n c n = 2c n-1 c 1 = 2 (d n ) = 1, 4, 9, 16, 25,... d n = n 2 d n = (1 + d n-1 ) 2 d 1 = 1 (e n ) = 9, 16, 25, 36,... e n = (n + 2) 2 e n = (1 + e n-1 ) 2 e 1 = 9 (f n ) = 1,1/2,1/3,1/4,...f n = 1/n1/f n = 1 + 1/f n-1 f 1 = 1 (g n ) = -1, 1, -1, 1, -1,...g n = (-1) n g n = -g n-1 g 1 = -1

11 Ein Häufungspunkt einer Folge ist eine Zahl h, in deren Umgebung (h -, h + ) für jedes > 0 unendlich viele Glieder der Folge liegen.

12 Ein Häufungspunkt einer Folge ist eine Zahl h, in deren Umgebung (h -, h + ) für jedes > 0 unendlich viele Glieder der Folge liegen.

13 Satz von Bolzano und Weierstraß: Jede beschränkte unendliche Folge besitzt mindestens einen Häufungspunkt. Besitzt eine beschränkte Folge nur einen Häufungspunkt, so heißt dieser Häufungspunkt Grenzwert der Folge. Karl Weierstraß ( ) Bernard Bolzano ( )

14 Satz von Bolzano und Weierstraß: Jede beschränkte unendliche Folge besitzt mindestens einen Häufungspunkt. Besitzt eine beschränkte Folge nur einen Häufungspunkt, so heißt dieser Häufungspunkt Grenzwert der Folge. Karl Weierstraß ( ) Bernard Bolzano ( ) lim a n = aoder kurz (a n ) a n

15 Satz. Jede Folge enthält eine monotone Teilfolge. a n heißt Spitze der Folge, wenn a n a m für m > n. Eine Folge besitzt endlich viele oder unendlich viele Spitzen. Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge. Augustin Louis Cauchy ( ) Die Folge (a n ) konvergiert genau dann, wenn es zu jedem > 0 eine natürliche Zahl n gibt, so dass für m, n n gilt |a n – a m | < (19.3)

16 (a n ) sei konvergent. |a n – a| < /2 und |a – a m | < /2. > |a n – a| + |a – a m | |a n – a + a – a m | = |a n – a m | ( ) Nun gelte (19.3). (a n ) ist beschränkt und enthält (a n k ) a. |a n – a n k | < /2 und | a n k – a| < /2 > |a n – a n k | + | a n k – a| |a n – a n k + a n k – a| = |a n – a| Augustin Louis Cauchy ( ) Eine konvergente Folge nennt man deshalb auch Cauchy-Folge. In den reellen Zahlen besitzt jede Cauchy-Folge einen Grenzwert, in den rationalen Zahlen nicht. Die Folge (a n ) konvergiert genau dann, wenn es zu jedem > 0 eine natürliche Zahl n gibt, so dass für m, n n gilt |a n – a m | < (19.3)

17 x = kx 2 = k 2x 2 = x 2 + k Irrationale Zahlen lassen sich als Grenzwerte von Folgen rationaler Zahlen definieren. Augustin Louis Cauchy ( )

18 x = kx 2 = k 2x 2 = x 2 + k Irrationale Zahlen lassen sich als Grenzwerte von Folgen rationaler Zahlen definieren.

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21 Leonardo von Pisa ( ) Fibonacci

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