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Idee: Maximum-Likelihood Schätzer Eine fremde Person bietet mir ein Glücksspiel mit seiner Münze an: – Wenn Kopf kommt, gewinne ich 1 Euro – Wenn Zahl.

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Präsentation zum Thema: "Idee: Maximum-Likelihood Schätzer Eine fremde Person bietet mir ein Glücksspiel mit seiner Münze an: – Wenn Kopf kommt, gewinne ich 1 Euro – Wenn Zahl."—  Präsentation transkript:

1 Idee: Maximum-Likelihood Schätzer Eine fremde Person bietet mir ein Glücksspiel mit seiner Münze an: – Wenn Kopf kommt, gewinne ich 1 Euro – Wenn Zahl kommt, verliere ich 1 Euro Wir werfen 10mal die Münze und es kommt nur 1mal Kopf. Welches Szenario ist am plausibelsten: a) Die Münze war unfair mit: p 1 =P({Kopf})=0,9 b) Die Münze war fair und somit: p 2 =P({Kopf})=0,5 c) Die Münze war unfair mit: p 3 =P({Kopf})=0,2

2 Idee: Maximum-Likelihood Schätzer Lösung: Am intuitivsten wäre wohl c) p 3 =P({Kopf})=0,2. Denn wäre a) p 1 =P({Kopf})=0,9 richtig, wäre es doch extrem unwahrscheinlich, dass bei 10 Würfen nur einmal Kopf kommt: P p 1 ({10 Münzwürfe: 1mal Kopf})= 0, Wäre b) p 2 =P({Kopf})=0,5 richtig, wäre die Wahrscheinlichkeit bei 10 Würfen nur einmal Kopf zu erhalten: P p 2 ({10 Münzwürfe: 1mal Kopf})= 0,0098 Bei c) p 3 =P({Kopf})=0,2 wäre es aber gar nicht so unwahrscheinlich, dass bei bei 10 Würfen nur einmal Kopf kommt: P p 3 ({10 Münzwürfe: 1mal Kopf})= 0,2684

3 Idee: Maximum-Likelihood Schätzer Gäbe es einen noch plausibleren Schätzer für p? Bei welcher Schätzung für p wäre es am wahrscheinlichsten gewesen, dass bei 10 Würfen nur einmal Kopf kommt? Wir berechnen für jeden möglichen Schätzwert von p die Wahrscheinlichkeit bei 10 Würfen nur einmal Kopf zu bekommen (und nennen dies Likelihoodfunktion L(p)= ) und tragen die Werte in eine Grafik ein.

4 Man sieht, dass es dann am wahrscheinlichsten ist, dass bei 10 Würfen nur einmal Kopf kommt, wenn p ML =0,1. Der Wert der Likelihood ist an dieser Stelle deutlich höher als z.B. bei p 3 = 0,2: P p ML ({10 Münzwürfe: 1mal Kopf}) 0,3874 > P p 3 ({10 Münzwürfe: 1mal Kopf}) 0,2684

5 Idee: Maximum-Likelihood Schätzer Diesen Wert p ML = 0,1 nennen wir Maximum-Likelihood Schätzung (weil er die Likelihoodfunktion maximiert). Wir hätten p ML auch direkt berechnen können: 1. Schritt: Likelihoodfunktion anschreiben: L(p)= 2. Schritt: Log-Likelihood berechnen: l(p)=log(L(p))= 3. Schritt: Log-Likelihood nach p ableiten und 0 setzen:

6 Idee: Maximum-Likelihood Schätzer 4. Schritt: p ML ausrechnen: (Dieser Schätzwert p ML (für die Wahrscheinlichkeit, dass Kopf kommt) ist eigentlich logisch. Immerhin ergab ja auch 1 von 10 Würfen Kopf.)


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