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Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

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1 Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp

2 Fairness bei Spielen Wann ist ein Spiel fair?

3 Fairness bei Spielen Wann ist ein Spiel fair? Beispiel 1: A darf dreimal würfeln und gewinnt, wenn mindestens einmal die 6 erscheint, andernfalls gewinnt B.

4 Fairness bei Spielen Wann ist ein Spiel fair? Beispiel 1: A darf dreimal würfeln und gewinnt, wenn mindestens einmal die 6 erscheint, andernfalls gewinnt B. Ein faires Spiel?

5 Fairness bei Spielen Wann ist ein Spiel fair? Beispiel 1: A darf dreimal würfeln und gewinnt, wenn mindestens einmal die 6 erscheint, andernfalls gewinnt B. Ein faires Spiel? P(A) = Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt P(B) = Wahrscheinlichkeit, dass B gewinnt

6 Fairness bei Spielen Wann ist ein Spiel fair? Beispiel 1: A darf dreimal würfeln und gewinnt, wenn mindestens einmal die 6 erscheint, andernfalls gewinnt B. Ein faires Spiel? P(A) = Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt P(B) = Wahrscheinlichkeit, dass B gewinnt = 125/216 0,578

7 Fairness bei Spielen Wann ist ein Spiel fair? Beispiel 1: A darf dreimal würfeln und gewinnt, wenn mindestens einmal die 6 erscheint, andernfalls gewinnt B. Ein faires Spiel? P(A) = Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt = 1 – 125/216 0,421 P(B) = Wahrscheinlichkeit, dass B gewinnt = 125/216 0,578

8 Fairness bei Spielen Wann ist ein Spiel fair? Beispiel 1: A darf dreimal würfeln und gewinnt, wenn mindestens einmal die 6 erscheint, andernfalls gewinnt B. Ein faires Spiel? P(A) = Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt = 1 – 125/216 0,421 P(B) = Wahrscheinlichkeit, dass B gewinnt = 125/216 0,578 Also: P(A) < P(B) Chancenungleichheit. Spiel nicht fair!

9 Fairness bei Spielen Wann ist ein Spiel fair? Beispiel 1: A darf dreimal würfeln und gewinnt, wenn mindestens einmal die 6 erscheint, andernfalls gewinnt B. Ein faires Spiel? P(A) = Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt = 1 – 125/216 0,421 P(B) = Wahrscheinlichkeit, dass B gewinnt = 125/216 0,578 Also: P(A) < P(B) Chancenungleichheit. Spiel nicht fair! Beispiel 2: Jemand gibt Ihnen 3,20 und fordert Sie auf zu würfeln. Sie müssen die gewürfelte Augenzahl in Euro zurückzahlen.

10 Fairness bei Spielen Wann ist ein Spiel fair? Beispiel 1: A darf dreimal würfeln und gewinnt, wenn mindestens einmal die 6 erscheint, andernfalls gewinnt B. Ein faires Spiel? P(A) = Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt = 1 – 125/216 0,421 P(B) = Wahrscheinlichkeit, dass B gewinnt = 125/216 0,578 Also: P(A) < P(B) Chancenungleichheit. Spiel nicht fair! Beispiel 2: Jemand gibt Ihnen 3,20 und fordert Sie auf zu würfeln. Sie müssen die gewürfelte Augenzahl in Euro zurückzahlen. Lassen Sie sich darauf ein?

11 Fairness bei Spielen Wann ist ein Spiel fair? Beispiel 1: A darf dreimal würfeln und gewinnt, wenn mindestens einmal die 6 erscheint, andernfalls gewinnt B. Ein faires Spiel? P(A) = Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt = 1 – 125/216 0,421 P(B) = Wahrscheinlichkeit, dass B gewinnt = 125/216 0,578 Also: P(A) < P(B) Chancenungleichheit. Spiel nicht fair! Beispiel 2: Jemand gibt Ihnen 3,20 und fordert Sie auf zu würfeln. Sie müssen die gewürfelte Augenzahl in Euro zurückzahlen. Lassen Sie sich darauf ein? P(A) = Wahrscheinlichkeit, dass Sie Gewinn machen P(B) = Wahrscheinlichkeit, dass Sie Verlust machen

12 Fairness bei Spielen Wann ist ein Spiel fair? Beispiel 1: A darf dreimal würfeln und gewinnt, wenn mindestens einmal die 6 erscheint, andernfalls gewinnt B. Ein faires Spiel? P(A) = Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt = 1 – 125/216 0,421 P(B) = Wahrscheinlichkeit, dass B gewinnt = 125/216 0,578 Also: P(A) < P(B) Chancenungleichheit. Spiel nicht fair! Beispiel 2: Jemand gibt Ihnen 3,20 und fordert Sie auf zu würfeln. Sie müssen die gewürfelte Augenzahl in Euro zurückzahlen. Lassen Sie sich darauf ein? P(A) = Wahrscheinlichkeit, dass Sie Gewinn machen = 0,5 P(B) = Wahrscheinlichkeit, dass Sie Verlust machen

13 Fairness bei Spielen Wann ist ein Spiel fair? Beispiel 1: A darf dreimal würfeln und gewinnt, wenn mindestens einmal die 6 erscheint, andernfalls gewinnt B. Ein faires Spiel? P(A) = Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt = 1 – 125/216 0,421 P(B) = Wahrscheinlichkeit, dass B gewinnt = 125/216 0,578 Also: P(A) < P(B) Chancenungleichheit. Spiel nicht fair! Beispiel 2: Jemand gibt Ihnen 3,20 und fordert Sie auf zu würfeln. Sie müssen die gewürfelte Augenzahl in Euro zurückzahlen. Lassen Sie sich darauf ein? P(A) = Wahrscheinlichkeit, dass Sie Gewinn machen = 0,5 P(B) = Wahrscheinlichkeit, dass Sie Verlust machen = 0,5

14 Fairness bei Spielen Wann ist ein Spiel fair? Beispiel 1: A darf dreimal würfeln und gewinnt, wenn mindestens einmal die 6 erscheint, andernfalls gewinnt B. Ein faires Spiel? P(A) = Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt = 1 – 125/216 0,421 P(B) = Wahrscheinlichkeit, dass B gewinnt = 125/216 0,578 Also: P(A) < P(B) Chancenungleichheit. Spiel nicht fair! Beispiel 2: Jemand gibt Ihnen 3,20 und fordert Sie auf zu würfeln. Sie müssen die gewürfelte Augenzahl in Euro zurückzahlen. Lassen Sie sich darauf ein? P(A) = Wahrscheinlichkeit, dass Sie Gewinn machen = 0,5 P(B) = Wahrscheinlichkeit, dass Sie Verlust machen = 0,5 Also: P(A) = P(B) Chancengleichheit, aber Spiel fair?

15 Fairness bei Spielen Aus Sicht des Spielanbieters:

16 Fairness bei Spielen Aus Sicht des Spielanbieters: A = Augensumme, N = Nettogewinn, B = Bruttogewinn, P = Wahrscheinlichkeit A N B P

17 Fairness bei Spielen Aus Sicht des Spielanbieters: A = Augensumme, N = Nettogewinn, B = Bruttogewinn, P = Wahrscheinlichkeit A N-2,20-1,20-0,200,801,802,80 B P

18 Fairness bei Spielen Aus Sicht des Spielanbieters: A = Augensumme, N = Nettogewinn, B = Bruttogewinn, P = Wahrscheinlichkeit A N-2,20-1,20-0,200,801,802,80 B P

19 Fairness bei Spielen Aus Sicht des Spielanbieters: A = Augensumme, N = Nettogewinn, B = Bruttogewinn, P = Wahrscheinlichkeit A N-2,20-1,20-0,200,801,802,80 B P1/6

20 Fairness bei Spielen Aus Sicht des Spielanbieters: A = Augensumme, N = Nettogewinn, B = Bruttogewinn, P = Wahrscheinlichkeit A N-2,20-1,20-0,200,801,802,80 B P1/6 Beobachtung: Gewinn und Verlust heben sich nicht auf

21 Fairness bei Spielen Aus Sicht des Spielanbieters: A = Augensumme, N = Nettogewinn, B = Bruttogewinn, P = Wahrscheinlichkeit A N-2,20-1,20-0,200,801,802,80 B P1/6 Beobachtung: Gewinn und Verlust heben sich nicht auf, denn -2,20 -1,20 -0,20 +0,80 +1,80 +2,80 = +1,80

22 Fairness bei Spielen Aus Sicht des Spielanbieters: A = Augensumme, N = Nettogewinn, B = Bruttogewinn, P = Wahrscheinlichkeit A N-2,20-1,20-0,200,801,802,80 B P1/6 Beobachtung: Gewinn und Verlust heben sich nicht auf, denn -2,20 -1,20 -0,20 +0,80 +1,80 +2,80 = +1,80 (-3,20+1)+(-3,20+2)+(-3,20+3)+(-3,20+4)+(-3,20+5)+(-3,20+6) = +1,80

23 Fairness bei Spielen Aus Sicht des Spielanbieters: A = Augensumme, N = Nettogewinn, B = Bruttogewinn, P = Wahrscheinlichkeit A N-2,20-1,20-0,200,801,802,80 B P1/6 Beobachtung: Gewinn und Verlust heben sich nicht auf, denn -2,20 -1,20 -0,20 +0,80 +1,80 +2,80 = +1,80 (-3,20+1)+(-3,20+2)+(-3,20+3)+(-3,20+4)+(-3,20+5)+(-3,20+6) = +1,80 Wählen Einsatz c so, dass Gewinn und Verlust sich aufheben:

24 Fairness bei Spielen Aus Sicht des Spielanbieters: A = Augensumme, N = Nettogewinn, B = Bruttogewinn, P = Wahrscheinlichkeit A N-2,20-1,20-0,200,801,802,80 B P1/6 Beobachtung: Gewinn und Verlust heben sich nicht auf, denn -2,20 -1,20 -0,20 +0,80 +1,80 +2,80 = +1,80 (-3,20+1)+(-3,20+2)+(-3,20+3)+(-3,20+4)+(-3,20+5)+(-3,20+6) = +1,80 Wählen Einsatz c so, dass Gewinn und Verlust sich aufheben: (-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

25 Fairness bei Spielen Aus Sicht des Spielanbieters: A = Augensumme, N = Nettogewinn, B = Bruttogewinn, P = Wahrscheinlichkeit A N-2,20-1,20-0,200,801,802,80 B P1/6 Beobachtung: Gewinn und Verlust heben sich nicht auf, denn -2,20 -1,20 -0,20 +0,80 +1,80 +2,80 = +1,80 (-3,20+1)+(-3,20+2)+(-3,20+3)+(-3,20+4)+(-3,20+5)+(-3,20+6) = +1,80 Wählen Einsatz c so, dass Gewinn und Verlust sich aufheben: (-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0 c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6, also c =

26 Fairness bei Spielen Aus Sicht des Spielanbieters: A = Augensumme, N = Nettogewinn, B = Bruttogewinn, P = Wahrscheinlichkeit A N-2,20-1,20-0,200,801,802,80 B P1/6 Beobachtung: Gewinn und Verlust heben sich nicht auf, denn -2,20 -1,20 -0,20 +0,80 +1,80 +2,80 = +1,80 (-3,20+1)+(-3,20+2)+(-3,20+3)+(-3,20+4)+(-3,20+5)+(-3,20+6) = +1,80 Wählen Einsatz c so, dass Gewinn und Verlust sich aufheben: (-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0 c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6, also c = 6 c = 1/6 · 1 + 1/6 · 2 + 1/6 ·3 + 1/6 ·4 + 1/6 ·5 + 1/6 ·6 = 3,

27 Fairness bei Spielen Aus Sicht des Spielanbieters: A = Augensumme, N = Nettogewinn, B = Bruttogewinn, P = Wahrscheinlichkeit A N-2,20-1,20-0,200,801,802,80 B P1/6 Beobachtung: Gewinn und Verlust heben sich nicht auf, denn -2,20 -1,20 -0,20 +0,80 +1,80 +2,80 = +1,80 (-3,20+1)+(-3,20+2)+(-3,20+3)+(-3,20+4)+(-3,20+5)+(-3,20+6) = +1,80 Wählen Einsatz c so, dass Gewinn und Verlust sich aufheben: (-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0 c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6, also c = 6 c = 1/6 · 1 + 1/6 · 2 + 1/6 ·3 + 1/6 ·4 + 1/6 ·5 + 1/6 ·6 = 3,50 = E(B)

28 Fairness bei Spielen Aus Sicht des Spielanbieters: A = Augensumme, N = Nettogewinn, B = Bruttogewinn, P = Wahrscheinlichkeit A N-2,20-1,20-0,200,801,802,80 B P1/6 Beobachtung: Gewinn und Verlust heben sich nicht auf, denn -2,20 -1,20 -0,20 +0,80 +1,80 +2,80 = +1,80 (-3,20+1)+(-3,20+2)+(-3,20+3)+(-3,20+4)+(-3,20+5)+(-3,20+6) = +1,80 Wählen Einsatz c so, dass Gewinn und Verlust sich aufheben: (-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0 c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6, also c = 6 c = 1/6 · 1 + 1/6 · 2 + 1/6 ·3 + 1/6 ·4 + 1/6 ·5 + 1/6 ·6 = 3,50 = E(B) 3,50 wären also ein fairer Einsatz gewesen

29 Fairness bei Spielen Ein solches Spiel ist also dann fair, wenn sich Gewinn und Verlust auf lange Sicht aufheben.

30 Fairness bei Spielen Ein solches Spiel ist also dann fair, wenn sich Gewinn und Verlust auf lange Sicht aufheben. Definition I Ein Zwei-Personen-Spiel ist dann fair, wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht: c = E(B)

31 Fairness bei Spielen Ein solches Spiel ist also dann fair, wenn sich Gewinn und Verlust auf lange Sicht aufheben. Alternative: da Nettogewinn N = Bruttogewinn B – Einsatz c Definition I Ein Zwei-Personen-Spiel ist dann fair, wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht: c = E(B)

32 Fairness bei Spielen Ein solches Spiel ist also dann fair, wenn sich Gewinn und Verlust auf lange Sicht aufheben. Alternative: da Nettogewinn N = Bruttogewinn B – Einsatz c gilt auch: E(N) = E(B – c) Definition I Ein Zwei-Personen-Spiel ist dann fair, wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht: c = E(B)

33 Fairness bei Spielen Ein solches Spiel ist also dann fair, wenn sich Gewinn und Verlust auf lange Sicht aufheben. Alternative: da Nettogewinn N = Bruttogewinn B – Einsatz c gilt auch: E(N) = E(B – c) = E(B) – c (wegen Linearität) Definition I Ein Zwei-Personen-Spiel ist dann fair, wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht: c = E(B)

34 Fairness bei Spielen Ein solches Spiel ist also dann fair, wenn sich Gewinn und Verlust auf lange Sicht aufheben. Alternative: da Nettogewinn N = Bruttogewinn B – Einsatz c gilt auch: E(N) = E(B – c) = E(B) – c (wegen Linearität) daraus folgt: E(N) = 0 Definition I Ein Zwei-Personen-Spiel ist dann fair, wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht: c = E(B)

35 Fairness bei Spielen Ein solches Spiel ist also dann fair, wenn sich Gewinn und Verlust auf lange Sicht aufheben. Alternative: da Nettogewinn N = Bruttogewinn B – Einsatz c gilt auch: E(N) = E(B – c) = E(B) – c (wegen Linearität) daraus folgt: E(N) = 0 Definition I Ein Zwei-Personen-Spiel ist dann fair, wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht: c = E(B) Definition II Ein Zwei-Personen-Spiel ist dann fair, wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist: E(N) = 0

36 Motivation 1.Die Lösung der Beispiele ist für die Schüler von Interesse: - es geht um Geld - Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei höheren Beträgen)

37 Motivation 1.Die Lösung der Beispiele ist für die Schüler von Interesse: - es geht um Geld - Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei höheren Beträgen) 2.Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irreführend oder unpräzise: - …aber 3-mal 1/6 ist doch 0,5! (Beispiel 1) - …aber es herrscht doch Chancengleichheit! (Beispiel 2)

38 Motivation 1.Die Lösung der Beispiele ist für die Schüler von Interesse: - es geht um Geld - Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei höheren Beträgen) 2.Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irreführend oder unpräzise: - …aber 3-mal 1/6 ist doch 0,5! (Beispiel 1) - …aber es herrscht doch Chancengleichheit! (Beispiel 2) 3.Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

39 Motivation 1.Die Lösung der Beispiele ist für die Schüler von Interesse: - es geht um Geld - Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei höheren Beträgen) 2.Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irreführend oder unpräzise: - …aber 3-mal 1/6 ist doch 0,5! (Beispiel 1) - …aber es herrscht doch Chancengleichheit! (Beispiel 2) 3.Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht 4.Die Lösung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

40 Weiterer Stundenverlauf Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschließend zwei Aufgaben bearbeitet werden:

41 Weiterer Stundenverlauf Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschließend zwei Aufgaben bearbeitet werden: 1.(als Unterrichtsgespräch) Ist Roulette fair?

42 Weiterer Stundenverlauf Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschließend zwei Aufgaben bearbeitet werden: 1.(als Unterrichtsgespräch) Ist Roulette fair? a) setzen Einsatz c auf ROT. E(B)= … Bruttogewinn B02c Wkt.19/3718/37

43 Weiterer Stundenverlauf Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschließend zwei Aufgaben bearbeitet werden: 1.(als Unterrichtsgespräch) Ist Roulette fair? a) setzen Einsatz c auf ROT. E(B)= … b) setzen Einsatz c auf 17. (analog) Bruttogewinn B02c Wkt.19/3718/37

44 Weiterer Stundenverlauf Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschließend zwei Aufgaben bearbeitet werden: 1.(als Unterrichtsgespräch) Ist Roulette fair? a) setzen Einsatz c auf ROT. E(B)= … b) setzen Einsatz c auf 17. (analog) c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair? Bruttogewinn B02c Wkt.19/3718/37

45 Weiterer Stundenverlauf Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschließend zwei Aufgaben bearbeitet werden: 1.(als Unterrichtsgespräch) Ist Roulette fair? a) setzen Einsatz c auf ROT. E(B)= … b) setzen Einsatz c auf 17. (analog) c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair? 2.(als Partnerarbeit) Ist Lotto fair? Bruttogewinn B02c Wkt.19/3718/37

46 Weiterer Stundenverlauf Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschließend zwei Aufgaben bearbeitet werden: 1.(als Unterrichtsgespräch) Ist Roulette fair? a) setzen Einsatz c auf ROT. E(B)= … b) setzen Einsatz c auf 17. (analog) c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair? 2.(als Partnerarbeit) Ist Lotto fair? gegeben: - Kosten für einen Tippschein - Erfahrungswerte, was man bei 3 bis 6 Richtigen (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann Bruttogewinn B02c Wkt.19/3718/37

47 Weiterer Stundenverlauf Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschließend zwei Aufgaben bearbeitet werden: 1.(als Unterrichtsgespräch) Ist Roulette fair? a) setzen Einsatz c auf ROT. E(B)= … b) setzen Einsatz c auf 17. (analog) c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair? 2.(als Partnerarbeit) Ist Lotto fair? gegeben: - Kosten für einen Tippschein - Erfahrungswerte, was man bei 3 bis 6 Richtigen (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann Lösung: Für ein faires Spiel müsste der Tippschein halb so teuer sein. Bruttogewinn B02c Wkt.19/3718/37

48 Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach) A und B vereinbaren folgendes Spiel: A darf eine faire Münze werfen, sooft er will, jedoch höchstens vier Mal. Jedes Mal, wenn Zahl fällt, erhält A einen Euro. Fällt Wappen, muss A an B einen Euro bezahlen.

49 Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach) A und B vereinbaren folgendes Spiel: A darf eine faire Münze werfen, sooft er will, jedoch höchstens vier Mal. Jedes Mal, wenn Zahl fällt, erhält A einen Euro. Fällt Wappen, muss A an B einen Euro bezahlen. Berechnen Sie für folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns für A.

50 Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach) A und B vereinbaren folgendes Spiel: A darf eine faire Münze werfen, sooft er will, jedoch höchstens vier Mal. Jedes Mal, wenn Zahl fällt, erhält A einen Euro. Fällt Wappen, muss A an B einen Euro bezahlen. Berechnen Sie für folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns für A. S1: Aufhören, sobald das erste Mal Zahl gefallen ist. S2: Aufhören, sobald das zweite Mal Zahl gefallen ist.

51 Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach) A und B vereinbaren folgendes Spiel: A darf eine faire Münze werfen, sooft er will, jedoch höchstens vier Mal. Jedes Mal, wenn Zahl fällt, erhält A einen Euro. Fällt Wappen, muss A an B einen Euro bezahlen. Berechnen Sie für folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns für A. S1: Aufhören, sobald das erste Mal Zahl gefallen ist. S2: Aufhören, sobald das zweite Mal Zahl gefallen ist. Welche Strategie würden Sie wählen? Warum?


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