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Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 150 CD-ROM zum Buch Prof. Dr.-Ing. habil. Ulrich Gabbert Dr.-Ing. Ingo Raecke Otto-von-Guericke-Universität.

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1 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 150 CD-ROM zum Buch Prof. Dr.-Ing. habil. Ulrich Gabbert Dr.-Ing. Ingo Raecke Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Institut für Mechanik Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Ulrich Gabbert Ingo Raecke 2 Festigkeitslehre Startseite Eine PowerPoint Präsentation mit Animationen in Text und Bild zur Vermittlung und Veranschaulichung der Grundkenntnisse in der Technischen Mechanik Ende ?

2 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 151 Ende ? Alle auf der beiliegenden CD-ROM enthaltenen Programme, Verfahren und Bilder wurden nach bestem Wissen erstellt und mit Sorgfalt getestet. Dennoch sind Fehler nicht ganz auszuschließen. Aus diesem Grunde ist das vorliegende Programm- Material mit keiner Verpflichtung oder Garantie irgendeiner Art verbunden. Autoren und Verlag übernehmen infolgedessen keine Verantwortung oder Garantie und werden keine daraus folgende oder sonstige Haftung übernehmen, die auf irgendeine Art aus der Benutzung dieses Programm-Materials oder Teilen davon entsteht. Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdrucks und der Vervielfältigung des Buches oder Teilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag © 2003 Carl Hanser Verlag München Wien 2 Festigkeitslehre Schutzrechte

3 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: Festigkeitslehre Hilfe Beachte: Beim erstmaligen Aufruf einer Seite (über das Inhaltsverzeichnis bzw. bei gesetzten Sprüngen oder der gezielten An- wahl einer Seite mit: PowerPoint Foliennummer und Eingabetaste) erscheint nur der von den Autoren vorgesehene Start- inhalt der Seite. Es kann somit das angewählte Kapitel oder das Ziel eines gesetzten Sprungs erst weiter unten auf der Seite nach einigen Animationen erscheinen. Weitere nützliche Funktionen: Im Inhaltsverzeichnis kann man durch Positionierung des Mauszeigers auf eine Kapitelzeile und einem Klick (linke Taste) direkt zu der Seite mit dem angewählten Kapitel gelangen (gesetzter Sprung). Das aktuelle Hauptkapitel (1 Statik, 2 Festigkeitslehre bzw. 3 Dynamik) und die aktuelle Seite (bis auf die Statik nicht identisch mit der Foliennummer) erscheint immer unten rechts.. Bestimmte Verweise auf Kapitel, Formeln usw. sind rot umrandet. Mit einem Mausklick (linke Taste) in den rot umrandeten Be- reich wird ein gesetzter Sprung zu dem Ziel ausgeführt. Zurück kommt man innerhalb eines Hauptkapitels schnell mit Beachte: Bei Präsentationen mit dem PowerPoint-Viewer erfolgt ein gesetzter Sprung in ein anderes Hauptkapitel (1 Statik, 2 Festigkeitslehre bzw. 3 Dynamik) programmbedingt immer nur auf die Startseite des Hauptkapitels. Über das Inhaltsverzeich- nis bzw. die Foliennummer (in der Form: S, F, D angegeben) gelangt man dann schnell an die gewünschte Stelle. Hinweis: Die Nummerierungen der Kapitel, Gleichungen und Bilder sind mit den Nummerierungen im Buch identisch. Zusätzliche Bilder in dieser Präsentation sind nicht nummeriert. Die Seitenzahlen sind nicht identisch mit denen des Buches. zurück zur letzten angesehenen Seite zum Inhaltver- zeichnisses eine Seite vor Aufruf dieser Hilfe ein Kapitel zurück. eine Seite zurück ein Kapitel vor Präsentation beenden Ende ? Zum vereinfachten Navigieren ist auf jeder Seite eine Symbolleiste mit folgenden Funktionen, die mit dem Mauszeiger durch Anklicken aktiviert werden, angeordnet: Hilfe (siehe auch Datei auf der CD-ROM: Hinweise.doc) Animationsschritt vorwärts:Eingabetaste ( ), Leertaste, linke Maustaste, Nach-Rechts-, Nach-Unten-, Bild-Nach-Unten-Taste und N Animationsschritt zurück:Nach-Links-, Nach-Oben-, Bild-Nach-Oben-Taste und P Seitenwechsel: erfolgen bei der fortlaufenden Animation automatisch Eine Seite anwählen:PowerPoint Foliennummer und Eingabetaste (z. B. im gelben Feld des Inhaltsverzeichnisses angegeben) Präsentation beenden:Esc Die PowerPoint-Präsentation kann mit den Funktionen, die das Programm PowerPoint bzw. PowerPoint-Viewer bietet, vorgenom- men werden (siehe auch die Hilfefunktion zu PowerPoint, die während der Präsentation, z. B. über das Menü der rechten Maus- taste, erreichbar ist). Für Nutzer von PowerPoint-Viewer (hier steht die Hilfe nicht zur Verfügung) sind die wichtigsten Funktionen nachfolgend aufgeführt: Ende ?

4 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: Festigkeitslehre Einführung Die CD-ROM enthält den kompletten 1 Buchinhalt in Form einer PowerPoint-Präsentation, die so aufbereitet wurde, dass sich die Lehrinhalte – wie bei einer Vorlesung – Schritt für Schritt auf dem Bildschirm entwickeln, wobei Sie selbst das Tempo bestimmen können. Vor- und Rücksprünge zu Kapiteln, Gleichungen und Bildern, auf die bei der Ableitung eines Zusammenhangs oder beim Lösen von Beispielen Bezug genommen wird sowie ein einfaches Navigieren auf der CD-ROM unter Nutzung des Inhaltsverzeichnisses und der auf jeder Seite vorhandenen Symbolleiste (siehe unten), erleichtern die Arbeit mit der PowerPoint-Präsentation. Zeichnungen, Bilder, zusätzliche Fotos und Animationen in Farbe begleiten die Entwicklung eines Gedanken- ganges, lassen den Lösungsweg einer Aufgabe klarer hervortreten und unterstützen so den nicht immer ein- fachen Lernprozess und das Verstehen der Zusammenhänge. Allerdings können Sie weder das Buch noch die CD-ROM von der Notwendigkeit entbinden, sich den Stoff mit Bleistift und Papier zu erarbeiten und selbständig möglichst viele Beispiele zu rechnen. Die Mechanik erschließt sich nicht einfach nur durch das Lesen eines Buches oder das Abspielen einer CD-ROM, sondern erfordert die Bereitschaft und die Mühe, das Gehörte und Gelesene zu verstehen und das Verständnis an Hand von Beispielen zu überprüfen. Wir hoffen aber, dass das vorliegende Buch und die beigefügte CD-ROM das Lernen, das Verstehen und das Anwenden der vermittelten Lehrinhalte erleichtern und wirkungsvoll unterstützen. 1 Die Textpassagen sind auf der CD-ROM gegenüber dem Buch etwas umgestellt und um die Teile gekürzt, die nicht unmittelbar zur Herleitung eines Gedankenganges benötigt werden. Das war unserer Meinung nach deshalb notwendig, um zusammen- hängende Ableitungen möglichst auf eine PowerPoint Seite bringen zu können und um unnötige Rücksprünge zu vermeiden. Ende ?

5 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 154 identisch mit Seite PowerPoint Folien-Nr. Inhaltsverzeichnis (Datei: TM-Wi-stat.ppt / Kennzeichnung der Folien-Nr. mit S ) Ende ? 2 Festigkeitslehre Inhalt Seite: 5 1.1Grundlagen15 S Starrer Körper15 S Kraft16 S Wechselwirkungsprinzip Schnittprinzip Reaktionskräfte und eingeprägte Kräfte Gleichgewicht Äquivalenz von Kräften23 1.2Zentrales ebenes Kraftsystem Resultierende Gleichgewicht von Kräften Lagerungsbedingungen32 1.3Allgemeines ebenes Kraftsystem Ermittlung der Resultierenden zweier paralleler Kräfte Moment Versetzungsmoment Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (Lösungskonzept) Gleichgewicht von Kräften und Momenten Bindungen, Freiheitsgrad und statische Bestimmtheit einer starren Scheibe46 S 46 Seite 1STATIK12 S 12

6 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 155 Ende ? 2 Festigkeitslehre Inhalt Seite: 6 identisch mit Seite 1.4Ebene Tragwerke49 S Grundbegriffe Lagerung starrer Scheiben Streckenlasten Definition von Streckenlasten Ermittlung der Resultierenden einer Streckenlast Beispiele59 1.5Scheibenverbindungen Ermittlung der statischen Bestimmtheit Dreigelenkträger Gerberträger Ebene Fachwerke Überprüfung der statischen Bestimmtheit von Fachwerken Arten von Fachwerken Berechnungsmethoden für Fachwerke83 1.6Schnittgrößen in ebenen Trägern und Trägersystemen Definition der Schnittgrößen Berechnung und grafische Darstellung der Schnittgrößen Differentielle Beziehungen Anwendungen98 1.7Zentrales räumliches Kraftsystem Ermittlung der Resultierenden Gleichgewicht einer zentralen räumlichen Kräftegruppe112 S 112

7 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 156 Ende ? 2 Festigkeitslehre Inhalt Seite: 7 identisch mit Seite 1.8Allgemeines räumliches Kraftsystem114 S Zusammensetzung von Kräften und Momenten Gleichgewichtsbedingungen für Kräfte und Momente Räumlich gestützter Körper Schnittgrößen am räumlich belasteten Balken Schwerpunkt Massenschwerpunkt Volumenschwerpunkt Flächenschwerpunkt ebener Flächen Linienschwerpunkt ebener Linien Schwerpunkt zusammengesetzter Gebilde Anmerkungen zur Berechnung von Schwerpunkten Definition der Flächenträgheitsmomente Satz von S TEINER Flächenträgheitsmomente einfacher Querschnittsflächen Hauptträgheitsmomente Flächenträgheitsmomente zusammengesetzter Flächen Flächenträgheitsmomente Haftung und Gleitreibung Haftung (Zustand der Ruhe) Gleitreibung (Zustand der Bewegung) Seilhaftung und Seilreibung Seilhaftung Seilreibung160 S 160

8 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 157 (Datei: TM-Wi-fest.ppt / Kennzeichnung der Folien-Nr. mit F ) 2Festigkeitslehre161 F Grundlagen der Festigkeitslehre162 F Einleitung162 F Spannungszustand168 F Deformationszustand 171 F Elastizitätsgesetze (Materialgesetze) 174 F Elastizitätsgesetz für die Dehnung 175 F Elastizitätsgesetz für die Gleitungen 181 F Verallgemeinertes H OOKE sches Gesetz 182 F Zug und Druck184 F Spannungen und Verformungen von Stabsystemen184 F Berechnung der Spannung184 F Berechnung der Verformungen188 F Flächenpressung198 F Biegung203 F Voraussetzungen und Annahmen203 F Spannungen bei gerader Biegung205 F Verformungen bei gerader Biegung 212 F Schiefe Biegung229 F Querkraftschub234 F Schubspannungen infolge Querkraftbelastung234 F Abschätzung der Verformungen infolge Querkraftbelastung238 F 89 Ende ? 2 Festigkeitslehre Inhalt Seite: 8

9 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 158 (Datei: TM-Wi-dyn.ppt / Kennzeichnung der Folien-Nr. mit D ) 2.5.1Torsion von Stäben mit Kreis- und Kreisringquerschnitten 243 F Annahmen und Voraussetzungen243 F Berechnung der Torsionsspannung244 F Berechnung der Verformung (Verdrehwinkel )247 F Hinweise zur Torsion allgemeiner Querschnitte254 F Torsion242 F Scherbeanspruchung258 F Überlagerung gleichartiger Spannungen 264 F Mehrachsige Spannungszustände265 F Spannungshypothesen275 F Zusammengesetzte Beanspruchung263 F Einführung 285 F Ein einfaches Stabilitätsproblem290 F E ULER -Fälle293 F Stabilität285 F Festigkeitslehre Inhalt Seite: 9 3Dynamik302 D Kinematik des Punktes304 D Definitionen304 D Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in kartesischen Koordinaten 305 D Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Bahnkoordinaten 307 D Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten 309 D Bewegung auf einer Kreisbahn 311 D Grundaufgaben der Kinematik 313 D 23 Ende ?

10 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 159 Ende ? 2 Festigkeitslehre Inhalt Seite: Grundlagen318 D Momentanpol319 D Kinematik von Systemen aus Punktmassen und starren Körpern325 D Kinematik der ebenen Bewegung des starren Körpers318 D D A LEMBERT sche Prinzip für Punktmassen 330 D Ebene Bewegungen von starren Körpern337 D Aufstellung von Bewegungsgleichungen349 D Kinetik der ebenen Bewegung von Punktmassen und starren Körpern330 D Energiebetrachtungen356 D Arbeit, Energie, Leistung356 D Arbeit356 D Potentielle Energie 359 D Energieerhaltungssatz360 D Leistung368 D Kinetische Energie für die ebene Bewegung eines starren Körpers371 D Verallgemeinerung des Energiesatzes376 D L AGRANGE sche Bewegungsgleichungen 2. Art380 D Schwingungen389 D Einführung389 D Freie ungedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad394 D Freie gedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad407 D Erzwungene Schwingungen mit einem Freiheitsgrad417 D Systeme mit mehreren (n) Freiheitsgraden424 D 134

11 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 160 Ende ? 2 Festigkeitslehre Inhalt Seite: Einführung424 D Aufstellen der Bewegungsgleichungen425 D 135 bis435 D 145

12 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 161 Ende ? 2Festigkeitslehre Im Kapitel 1 Statik (S 12) wurden mechanische Systeme im Zustand der Ruhe und unter der Annahme starrer (undeformierbarer) Körper untersucht. Mit Hilfe des Schnittprinzips konnten so Lager- und Gelenkreaktionen sowie resultierende innere Belastungen (Schnittgrößen) berechnet werden. Ziel der Festigkeitslehre In der Festigkeitslehre werden innere Beanspruchungen (Spannungen) und Verformungen von Körpern berechnet, um damit die Eignung des Körpers (Tragwerkes) hinsichtlich der Festigkeit, der Steifigkeit, der Stabilität, der Dauerfestigkeit usw. für den gedachten praktischen Einsatz einschätzen zu können. Ein weiteres wichtiges Ziel ist die Dimensionierung von Tragwerken, d. h. die Festlegung wichtiger geometrischer Größen (z. B. Querschnittsabmessungen von Stäben und Balken), die Auswahl geeigneter Werkstoffe usw., so dass die Tragwerke eine vorgegebene Funktion zuverlässig und sicher erfüllen. Da in der Realität die Körper aber deformierbar sind, kommt es zu Körperverformungen und zu inneren Beanspruchungen, den so genannten Spannungen (auf ein Flächenelement bezogene Kräfte). Mit der Berechnung dieser Verformungen und Spannungen wollen wir uns in der Festigkeitslehre beschäftigen. Das Ziel der Festigkeitslehre kann somit wie folgt zusammengefasst werden:

13 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: Grundlagen der Festigkeitslehre 2.1.1Einleitung deformierbar Festigkeitslehre Statik starr Bild 2.1 Starrer und deformierbarer Körper unter der Wirkung von Kräften Die in der Statik getroffene Annahme eines starren Körpers, muss in der Festigkeitslehre durch die Annahme eines deformierbaren Körpers ersetzt werden (Bild 2.1). Aus den in der Statik ermittelten Lagerreaktionen und Schnittgrößen allein lassen sich keine Aus- sagen über die Beanspruchungen bzw. die Verformungen einer Konstruktion ableiten. Erst durch das Einführen geeigneter Beanspruchungsgrößen (Spannungen) und Deformationsgrößen (Verschiebungen bzw. Dehnungen und Gleitungen - die so genannten Verzerrungen) sowie deren Verknüpfung mit in der Regel experimentell gewonnenen Materialkenngrößen über ein Materialgesetz (Stoffgesetz) lassen sich die Beanspruchungen und Verformungen ermitteln. Beachte: Durch die Annahme eines deformierbaren Körpers wird jetzt auch die Berechnung statisch unbestimmter Probleme möglich. Ende ?

14 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 163 Ausgehend von den Zielen der Festigkeitslehre lassen sich folgende typischen Grundaufgaben formulieren, wobei wir annehmen wollen, dass die Materialeigenschaften (in der Regel aus Experimenten in der Werkstofftechnik ermittelt) bekannt sind. 1. Festigkeitsnachweis (Spannungsnachweis): 2. Steifigkeitsnachweis (Verformungsnachweis): Geometriefestlegung so, dass die maximalen Spannungen kleiner werden als die zulässigen Spannungen Geometriefestlegung so, dass die Verformungen an jeder Stelle des Bauteils kleiner werden als die zulässigen Verformungen Berechnung der max. äußeren Belastung so, dass die zulässigen Spannungen nicht überschritten werden Berechnung der max. äußeren Belastung so, dass die zulässigen Verformungen an keiner Stelle des Bauteils überschritten werden Gegeben: Geometrie, Material und Belastung Nachweis: Spannungen im Bauteil müssen kleiner sein als die für das Material zulässigen Spannungen (werden aus experimentellen Untersuchungen bestimmt). Gegeben: Geometrie, Material und Belastung Nachweis: Verformungen des Bauteils müssen kleiner sein als zulässige Verformungen. Hinweis: Häufig müssen die Grundaufgaben 1. bis 4. kombiniert durchgeführt werden! 4. Belastbarkeitsrechnung bezüglich Steifigkeit: bezüglich Festigkeit: 3. Dimensionierung bezüglich Steifigkeit: bezüglich Festigkeit: Ende ?

15 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 164 Allgemeine Annahmen Gleichgewicht kann am unverformten System aufge- stellt werden (Theorie 1. Ordnung). Ausnahme: Stabi- litätsuntersuchungen; dort wird das Gleichgewicht am verformten System aufgeschrieben (siehe Kapitel 2.8) lineares Materialverhalten Die Verformungen seien klein. Das Material ist homogen (an jeder Stelle gelten die gleichen Materialeigenschaften) und isotrop (Materialeigenschaften sind unabhängig von der Richtung ). Die Verformungen und Spannungen sind linear voneinander abhängig. Die Verformungen gehen bei Wegnahme der Belastungen wieder vollständig zurück. ideal elastisches Materialverhalten Weiterhin werden wir vorzugsweise Bauteile bzw. Systeme betrachten, bei denen die Längenabmessungen wesentlich größer als die Querschnittsabmessungen sind (Stab- und Balkensysteme). Zur Lösung der oben aufgeführten Grundaufgaben werden im Rahmen dieses Lehrbuches folgende Annahmen eingeführt, die für viele Standardaufgaben der Ingenieurpraxis zu ausreichend genauen Ergebnissen führen: Ende ?

16 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 165 Hinweis: Falls obige Annahmen nicht erfüllt sind, kommen erweiterte Theorien zur Anwen- dung, z. B.: Theorie 2. und 3. Ordnung (für Stabilitätsuntersuchungen und für große Verfor- mungen); Theorien für nichtlineares Materialverhalten (Plastizitäts-, Viskoelastizitätstheorie usw.); Theorien bzw. Berechnungsverfahren für Scheiben, Platten, Schalen usw. Frage: Wie groß sind kleine Verformungen? Wann sind die Längenabmessungen wesentlich größer als die Querschnittsabmessungen? Antwort: Absolute Werte lassen sich nicht angeben! Empfehlungen bzw. Richtwerte sind von der Bauteilgeometrie und den Anforderungen an die Genauigkeit der Ergebnisse abhängig. 1 m 20 cm (groß!) 100 m 10 cm 2 m (groß!) 10 cm 20 cm (klein!) Bild 2.2 Maßverhältnisse (groß, klein) von Bauteilen Dazu hier einige Beispiele: Ende ?

17 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 166 Zug/Druck Beanspruchungsarten (Auswahl der technisch wichtigsten) Typische Verformung: Längsdehnung (konst. über die Querschnittsfläche) Verlängerung/Verkürzung Ursache: Längskraft F L Reine Biegung Ursache: Biegemomente M bx (vgl. Bild rechts) bzw.. M by Typische Verformung: Längsdehnung (linear veränderlich über den Querschnitt Biegung der Längsachse Torsion Ursache: Torsionsmoment M t Typische Verformung: Gleitung in der Querschnittsebene Verdrehung der Querschnitte um die Längsachse Stabilität (Knicken) Ursache: Kritische Druckkraft F K Typische Verformung: Knicken beim Erreichen von F K Biegung der Längsachse FLFL FLFL F

18 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 167 Querkraftschub bei Biegung Ursache: Querkräfte F Qx, F Qy Typische Verformung: Gleitungen in der Querschnittsebene Krümmung der Längsachse wie bei der Biegung Hinweis: Eine reine Querkraftschubbeanspruchung kommt praktisch kaum vor. Sie ist in der Regel an eine Biegebeanspruchung gekoppelt (vgl. Bild 2.4). Die Spannungen und Verformungen infolge des Querkraftschubs können bei Balken mit großer Länge gegenüber den Querschnittsabmessungen in der Regel vernachlässigt werden, da sie im Vergleich zu den Biegebeanspruchungen klein sind. Scherbeanspruchung Ursache: Dicht (theoretisch unendlich dicht) nebeneinander liegende entgegengesetzt gerichtete parallele Kräfte Typische Verformung: sehr große Gleitungen in der Querschnittsebene Gefahr der Zerstörung durch Abscheren Flächenpressung Ursache: Druckbelastung einer ebenen oder gekrümmten Fläche (z. B. zwischen Niet und Blech an der gemeinsamen Kontaktfläche) klein! Resultierende aus Flächen- pressung (Blech - Niet) zusätzlicher Verformungsanteil aus Querkraftschub (meist gering!) x y z Verformungsanteil aus der Biegung Bild 2.4 Bild 2.5 Scherbeanspruchung (oben); Flächenpressung zwischen Niet und Blech (links) Gefahr der Oberflächenschädigung (insbe- sonders bei einer Relativbewegung der Kontaktflächen, siehe Kapitel 1.11, S 148) Flächenpressung im Blech infolge der Belastung durch den Niet Ende ?

19 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 168 F P Bild 2.6 Innere Kräfte 2.1.2Spannungszustand Definition der Spannung Die Belastungen auf einen Körper werden über innere Kräfte zu den Lagern geleitet. Schneiden wir einen im Gleichgewicht befindlichen Körper, so muss auch jedes Teilsystem mit seiner Belastung und mit den in den Schnittflächen verteilten inneren Kräften im Gleichgewicht sein (Bild 2.6). dF über A verteilte Kräfte (mit F im Gleichgewicht) dF-Resultierende der auf dA angreifenden inneren Kräfte definiert man den Quotienten aus dF und dA als Spannung im Punkt P Einheit: Die Spannung ist ein Maß für die Beanspruchung des Bauteils. F P Schnitt n dA Die Spannung steht im Allgemeinen nicht normal (n = Normalenrichtung, vgl. Bild 2.6) auf dA. Für die Spannung gilt: Die Spannung ist wie die Kraft ein Vektor. (2.1) dA-differentielles Flächenelement in der Schnitt- fläche A im Punkt P Mit Ende ?

20 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 169 Bild 2.7 Spannungskomponenten P dA Fläche A Da die Spannung beliebig auf dA stehen kann, zerlegt man sie zweckmäßig in drei Komponenten bezogen auf ein kartesisches Koordinatensystem. Legen wir die x-Achse z. B. in Normalenrichtung n zur Fläche dA, so kann in drei Spannungskomponenten (Bild 2.7), in Hinweis zur Indizierung der Spannungen: Der erste Index gibt an, in welche Richtung die Flächennormale n zeigt und der zweite Index beschreibt die Richtung des Spannungsvektors (bei der Normalspannung kann der zweite Index auch wegfallen, da es nur eine Normalspannung für eine Fläche dA gibt). Definition des positiven Schnittufers und der positiven Spannungen am Schnittufer: Zeigen Flächennormale n und Achsenrichtung (z. B. x-Achse im Bild 2.7) in die gleiche Richtung, so liegt ein positives Schnittufer vor. Der Punkt P in Bild 2.7 liegt somit in einer Schnittfläche, die ein positives Schnittufer darstellt. Im umgekehrten Fall sprechen wir von einem negativen Schnittufer. Am positiven Schnittufer sind alle Spannungskomponenten positiv in positiver Koordinaten- richtung definiert. Am negativen Schnittufer zeigen sie in die entgegengesetzte Richtung. eine Normalpannung (normal zur Fläche dA) und in x zerlegt werden. zwei Tangental- oder Schubspannungen (liegen in der Fläche dA) xy, xz z x, n y x xz xy Ende ?

21 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 170 x z y P dx dy dz Bild 2.8 Räumlicher Spannungszustand Wird aus einem Körper im Punkt P ein differentiell kleiner Würfel mit den Flächennormalen in (x,y,z)-Richtung herausgeschnitten, Beachte: Für eine andere Orientierung des differentiell kleinen Würfels ergibt sich ein Spannungstensor mit anderen Komponenten. Dieser beschreibt aber den gleichen Spannungszustand. x xy xz y yx yz z zy zx Hinweis: Es sind nur die Spannungen am positiven Schnittufer dargestellt. Am negativen Schnittufer wirken sie genau entgegengesetzt. Diese 9 Spannungsgrößen beschreiben den so genannten räumlichen Spannungszustand im Punkt P. Sie bilden die Komponenten eines Tensors 2. Stufe bzw. den räumlichen Spannungstensor S, der wegen Gleichung (2.49) symmetrisch wird. (2.2)Spannungstensor so wirken jetzt in jeder der drei senkrecht aufeinander stehenden Flächen eine Normalspannung und zwei Schubspannungen (vgl. Bild 2.8). Ende ?

22 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 171 Hinweis: Bei gleich großen Verschiebungen aller Punkte erfährt der Körper eine Starr- körperverschiebung (siehe Bild 2.10, gestrichelte Zwischenlage) ohne dass dabei Verzer- rungen (Dehnungen und Gleitungen) eintreten! x y z P Bild 2.9 Definition der Verschiebungen Die Formänderung bzw. Deformation kann durch die Angabe der Verschiebungen u, v und w in x-, y- und z-Richtung für alle Punkte P eines Körpers beschrieben werden (Bild 2.9) Deformationszustand Die Änderung der Gestalt und der Größe eines Körpers infolge einer äußeren Belastung (auch Temperaturänderung zählen dazu) heißt Formänderung bzw. Deformation. u w P´ Als charakteristische Verzerrungsgrößen führen wir folgende Größen ein: Dehnung : Verlängerung einer Körperlinie bezogen auf die ursprüngliche Länge Gleitung : Winkelverkleinerung eines ursprünglich rechten Winkels Sind die Verschiebungen aller Punkte eines Körpers gleich groß, so erfährt er nur eine Starrkörperverschiebung, d. h. seine Gestalt und Größe ändern sich nicht. Sind die Verschiebungen der Punkte P eines Körpers jedoch unterschiedlich groß, so kommt es zur Änderung der Gestalt und der Größe des Körpers (Deformationen) infolge örtlicher Verzerrungen im Körper. v Ende ?

23 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 172 Die in Bild 2.10 dargestellten Verformungen werden als klein 2 vorausgesetzt (vergleiche Allgemeine An- nahmen im Kapitel 2.1.1, Seite 164). y x y y+dy x + dx x P1P1 P2P2 P3P3 dA 1 2 P2P2 P3P3 dx u x dx v x dy u y dy v y verzerrte Fläche dA Die Dehnung x der Seite P 1 P 2 in x-Richtung wird: Die Dehnung y der Seite P 1 P 3 in y-Richtung: Die Gleitung im Punkte P 1 wird: P1P1 u v u v v u Dehnungen und Gleitungen Bild 2.10 Verzerrung eines Flächenelements dA 0 0 Wir betrachten zunächst die (x,y)-Ebene. In Bild 2.10 ist ein Flächenelement dA = dx·dy im unbe- lasteten Zustand (Eckpunkte P 1, P 2, P 3 ) dargestellt. 2 cos 1 1, cos 2 1, tan 1 1, tan 2 2, Taylor-Reihe: 0 Es erfährt unter einer Belastung Verzerrungen und nimmt eine verschobene und verzerrte (deformier- te) neue Lage ein (Eckpunkte ). Ende ?

24 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 173 Hinweis: Im Nenner der Gleichung für die Gleitung kann der zweite Summand gegenüber dem ersten Summand vernachlässigt werden, da er das Produkt zweier differentiell kleiner Größen ist und damit im Vergleich zum ersten Summand sehr klein wird! Werden analoge Betrachtungen in der (x,z)-Ebene und in der (y,z)-Ebene angestellt, so erhält man die Dehnung z und die Gleitungen xz und yz in diesen Ebenen. Die Gesamtheit der drei Dehnungen und drei Gleitungen in einem Punkt P eines Körpers bezeichnen wir als Verzerrungs- oder Deformationszustand. Diese 6 Verzerrungsgrößen bilden die Komponenten eines Tensors 2. Stufe, den so genannten räumlichen Verzerrungs- oder Deformationstensor D. Hinweis: Es gilt allgemein i j = ji. Der Faktor ½ steht aus Gründen der Zweckmäßigkeit in D. (2.5) Zusammenfassend erhalten wir: Dehnungen (2.3) Gleitungen (2.4) Ende ?

25 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 174 F l Aluminium 3 · l Stahl F l Stahl 2.1.4Elastizitätsgesetze (Materialgesetze) Dieser Zusammenhang kann nur experimentell ermittelt werden. Es ist Aufgabe der Werkstofftechnik diese materialabhängigen Kennwerte zu bestimmen. Zum Ermittlung grundlegender Materialkennwerte dient der Zugversuch an einem genormten Zugstab (DIN 50145) mit Kreisquerschnitt d 0, festgelegter Messlänge l 0 und einer bestimmten Oberflächenbeschaffenheit (Bild 2.12). A, Aluminium l z Die Erfahrung zeigt, dass die Verformung eines Bauteils bei gleicher Geometrie, Lagerung und Belastung (d. h. auch gleicher Spannung) vom verwendeten Material abhängig ist (Bild 2.11). Es muss also einen Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen geben, der vom Material abhängt! Der Index 0 steht für die Maße des unbelasteten Zugstabes. l A, Stahl z Bild 2.11 Einfluss des Materials auf die Verformungen l0l0 d 0 F F A 0 (Querschnittsfläche) Bild 2.12 Zugstab zur experimentellen Ermittlung von Materialkennwerten Ende ?

26 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 175 RmRm Z P E ReRe auf Ausgangsfläche A 0 bezogen z plastischer Bereich elastischer Bereich Bild 2.13 Spannungs-Dehnungs-Diagramm auf aktuelle Fläche A bezogen Elastizitätsgesetz für die Dehnung Im Zugversuch wird die Belastung F bis zum Reißen des Zugstabes langsam gesteigert und die dabei in der Meßlänge l 0 auftretende Dehnung ermittelt. folgt das so genannte Spannungs-Dehnungs-Diagramm, welches im Allgemeinen für jedes Material ein anderes Aussehen hat (z. B. Bild 2.13, typisch für Baustähle bei Raumtemperatur). Es bedeuten: p - Proportionalitätsgrenze E - Elastizitätsgrenze R e - Streckgrenze (oft noch S, F ) R m - Zugfestigkeit (oft noch B ) Z - Bruchnennspannung Z - Bruchdehnung Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm zeigt bis zur Proportionalitätsgrenze p einen lineares Verlauf. Der Proportionalitätsfaktor E heißt Elastizitätsmodul (auch Y OUNG scher Modul) und stellt den Anstieg - also E = tan - der Geraden im Diagramm bis zur Proportionalitätsgrenze dar. tan = E Es gilt dann das H OOKE sche Gesetz: H OOKE sches Gesetz = E · (2.7) (Nennspannung) und (2.6) Mit Ende ?

27 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 176 Beachte: Das Hookesche Gesetz in der Form = E· gilt für den einachsigen Spannungs- zustand und für Spannungen bis zur Proportionalitätsgrenze P. Es verknüpft die Dehnung in Achsenrichtung (hier Achse des Stabes) mittels des Proportionalitätsfaktors E mit der Normalspannung in Achsenrichtung. Der Elastizitätsmodul E ist eine wichtige Materialkenngröße. Bei Raumtemperatur hat der Elastizitätsmodul z. B. folgende Größe (Richtwerte): Die Elastizitätsgrenze E grenzt den Bereich des elastischen Materialverhaltens (bei Entlastung bleiben keine dauerhaften Dehnungen zurück) von dem des plastischen Materialverhaltens (bei Entlastung bleiben dauerhafte Dehnungen zurück) ab. Beim Erreichen der Bruchnennspannung Z tritt der Bruch des Zugstabes ein. Werkstoff E in N mm -2 Werkstoff E in N mm -2 Stahl / Stahlguss 2, Glas 0, Kupfer 1, Aluminium 0, Messing 0, Stahlbeton 0, Grauguss 0, Buchenholz 0, Gummi Tabelle 2.1 Elastizitätsmodul E für ausgewählte Werkstoffe Auf Grund unserer allgemeinen Annahmen (vgl. Kapitel 2.1.1) bewegen wir uns bei allen folgenden Betrachtungen nur im elastischen Bereich und dort speziell nur bis zur Proportionalitätsgrenze. Ende ?

28 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 177 Mit (2.9) und der Definitionsgleichung (2.6) für die Längsdehnung, die für eine Zugbelastung > 0 und für eine Druckbelastung < 0 liefert, folgt die Querdehnung in Abhängigkeit von der Längsdehnung zu Bei der Zugbelastung kann man neben der Längsdehnung (Dehnung in Achsenrichtung des Stabes) auch eine Querdehnung beobachten (vgl. Bild 2.14). Querdehnung mit -Querkontraktionszahl bzw.-P OISSON sche Zahl l0l0 d 0 Bild 2.14 Querdehnung bei Zugbelastung eines Stabes l0l0 l d FF d 0 Mit Versuchen kann nachweisen werden, dass bis zur Proportionalitätsgrenze für alle Belastungen jeweils das gleiche Verhältnis aus Längsdehnung und Querdehnung gilt: (2.9) Querdehnung (2.10) Aus (2.8) in Verbindung mit den eintretenden Durchmesseränderungen liest man ab, dass bei einer Zugbelastung q 0 wird. Definition der Querdehnung: Querdehnung (2.8) Ende ?

29 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 178 Die Querkontraktionszahl ist eine weitere wichtige Materialkenngröße. Einige Richtwerte sind in Tabelle 2.2 angegeben. Beachte: Für homogenes isotropes Material ist die Querdehnung in allen Querrichtungen gleich groß. Es gilt: 0 0,5 ( = 0 bedeutet keine Querdehnung und = 0,5 bedeutet inkompressibles Material). Tabelle 2.2 Querkontraktionszahl für ausgewählte Werkstoffe Werkstoff Metalle (außer Grauguss)0,3 Grauguss0,1... 0,2 Beton 0,16 (in der Praxis wird häufig = 0 angenommen) Gummi 0, ,5 (nahezu inkompressibles Material) Ende ?

30 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 179 Temperaturdehnungen MitT A -Ausgangstemperatur (Einheit: K) T E -Endtemperatur (Einheit: K) T = T E -T A (Temperaturdifferenz) -Wärmeausdehnungskoeffizient (Einheit: K -1 ) TATA Bild 2.15 Temperaturdehnungen T E > T A ( T > 0 ) T E < T A ( T < 0 ) Wird ein Körper einer Temperaturänderung ausgesetzt, so dehnt er sich bezogen auf den Zustand der Ausgangstemperatur. ergibt sich für die Temperaturdehnung gegenüber dem Ausgangszustand bei T E = T Temperaturdehnung (2.11) und bei einer Verringerung der Temperatur ( T < 0) zusammenzieht (Bild 2.15). Beachte: Die Größe der Temperaturdehnung ist ebenfalls materialabhängig. Ende ? Aus der Erfahrung wissen wir, dass er sich bei einer Temperaturerhöhung ( T > 0) aus- dehnt

31 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 180 Beachte: Die Temperaturdehnung infolge einer konstanten Temperaturerhöhung im Körper ist für homogenes isotropes Material in allen Richtungen gleich groß, d. h. es gibt in diesem Fall keine Gleitungen. In der Tabelle 2.3 ist für einige Werkstoffe die für die Temperaturdehnung typische Materialkenngröße – der Wärmeausdehnungskoeffizienten – aufgeführt. Tabelle 2.3 Wärmeausdehnungskoeffizient für ausgewählte Werkstoffe Werkstoff in K -1 Aluminium Kupfer Stahl Grauguss Eine konstante Temperaturerhöhung im Körper führt nur bei Behinderung der Verformungen (z. B. bei statisch unbestimmten Systemen) zu Spannungen. Ende ?

32 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 181 Die Tabelle 2.4 enthält Werte für den Gleitmodul G, die mit der Gleichung (2.13), dem Elastizitäts- modul E aus Tabelle 2.1 und der Querkontraktionszahl nach Tabelle 2.2 ermittelt wurden. x y Bild 2.16 Gleitung infolge mit dem Proportionalitätsfaktor G, der Gleitmodul genannt wird. Der Gleitmodul G kann für homogenes und isotropes Material aus dem Elastizitätsmodul E und der Querkontraktionszahl berechnet werden. Wird ein differentielles Element außer durch Normalspannungen in Achsenrichtung noch durch Schubspannungen beansprucht, so kommt es neben der Dehnung in Achsenrichtung noch zu Gleitungen (vgl. Kapitel 2.1.3, Seite 171), die auch als Schub- verzerrungen bezeichnet werden (Bild 2.16) Elastizitätsgesetz für die Gleitung Analog zum H OOKE schen Gesetz für die Dehnung gibt es eine lineare Beziehung zwischen der Schubspannungen und der Gleitung : = G · (2.12) Tabelle 2.4 Gleitmodul G für ausgewählte Werk- stoffe Werkstoff G in N mm -2 Werkstoff G in N mm -2 Stahl / Stahlguss 0, Grauguss 0,33...0, Kupfer 0, Aluminium 0, Messing 0, Gummi 0, ,01 (2.13) Es gilt (auf eine Herleitung wird hier verzichtet): Ende ? ½

33 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 182 Liegt ein Spannungszustand mit allen Spannungskomponente und vor (räumlicher Spannungszustand, vgl. Kapitel 2.1.2, Bild 2.8), dann kann das Elastizitätsgesetz (auch verallgemeinertes H OOKE sches Gesetz genannt) durch Superposition der oben beschriebenen Dehnungen gewonnen werden Verallgemeinertes H OOKE sche Gesetz Aus den Gleichungen (2.7), (2.10) und (2.11) ergeben sich die Dehnungen in allen drei Koordi- natenrichtungen infolge der drei Normalspannungen und einer Temperaturdifferenz zu: Aus Gleichung (2.12) folgen die Gleitungen in den drei Koordinatenebenen infolge der drei Schubspannungen zu: (2.15) (2.14) Die Gleichungen (2.14) und (2.15) lassen sich nach den Spannungen auflösen und man erhält: Ende ?

34 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 183 und (2.16) mit der Volumendehnung e (2.17) Ende ?

35 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: Spannungen und Verformungen von Stabsystemen 2.2Zug und Druck Das Ziel dieses Kapitels ist die Berechnung der Spannungen und Verformungen in geraden Stäben, Balken und Seilen infolge einer Längskraft F L in z-Richtung. Die Längskraft F L ist die resultierende Kraft in z-Richtung der über den Querschnitt verteilten Normalspannungen z Berechnung der Spannungen Annahme: In hinreichender Entfernung von diskreten Lastangriffsstellen (auch Lagern) kann angenommen werden, 7 dass in allen Punkten einer Querschnittfläche die Normalspannungen z gleich groß sind. 7 Prinzip von DE S AINT V ENANT ; A. J. C. B ARRE DE S AINT V ENANT ( ), französischer Physiker Damit folgt aus Gleichung (2.18): (2.19) (2.18) Es gilt folglich Ende ?

36 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 185 l F Bild 2.17 Berechnung von Längskraft und Spannung in einem Stab l -z A(z) F F L (z)=F+F E (z) V(z) F E (z)= V(z) g z A(z) l -z F F E (z) z (z)= F+F E (z) A(z) Hinweis: F L und A können schwach veränderlich sein (vgl. Bild 2.17). Die Gleichung (2.19) ist die allgemeine Spannungsgleichung für die Zug/Druck Belastung eines Stabes bzw. Balkens, die auch für Seile gilt, wenn wir negative Längskräfte ausschließen. Da nur eine Normalspannung in Richtung der z-Achse auftritt, wird der Spannungszustand auch als einachsiger Spannungszustand bezeichnet. (2.19) Ende ?

37 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 186 K = K · n Bohrungen, Kerben, Absätze Bild 2.18 Kerbspannungen bei Bohrung in einem Flachstab unter Zugbeanspruchung FLFL FLFL b d Dicke h FLFL Sind in den Stäben oder Balken Bohrungen (Bild 2.18), Kerben (Bild 2.19), Absätze und dergleichen vorhanden, so verursa- chen diese ungleichmäßige Spannungsverteilungen über den Querschnitt bzw. Spannungsspitzen, die die rechnerisch ermit- telten Spannungen (Nennspannungen) nach Gleichung (2.19) wesentlich überschreiten können. Die Berechnung der Spannungsspitzen (Kerbspannung) erfolgt in diesen Fällen über so genannte Formzahlen K, deren Größe von der Form und Größe der Störung (Kerbe) abhängig ist. Mit der Nennspannung nach Gleichung (2.19) (Annahme: n ist über A vorhanden konstant) wird die Spannungsspitze (Kerbspannung) Kerbspannung (2.20) Die Werte für die Formzahlen K findet man in Diagrammen (z. B. Bild 2.19) und Vorschriften. Ihre Berechnung erfordert erweiterte Theorien und ist im Allgemeinen kompliziert. n = F L /([b-d]·h) Ende ?

38 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 187 Als Beispiel ist in Bild 2.19 ein Rundstab mit Umlaufkerbe unter Zugbelastung dargestellt. FLFL FLFL r t Bild 2.19 Kerbspannung für Rundstab mit Umlaufkerbe; Diagramm für K als Funktion der Kerbgeometrie In Abhängigkeit von der Kerbgeometrie kann aus dem Diagramm für diesen Fall die Formzahl K bestimmt werden. Die Kerbspannung K im geschwächten Querschnitt ergibt sich dann mit der Nennspannung n (siehe Bild 2.19) K = K · n FLFL n = F L /( r 2 ) Für eine Kerbe mit r = 10 mm, t = = 3 mm folgt mit t/ = 1 und /r = 0,3 aus dem Diagramm von Bild 2.19 für die Formzahl K 1,85 aus Gleichung (2.20) zu t/ K 1,0 1,4 1,8 2,2 2, ,5 0,6 0,3 /r = 0,1 Ende ?

39 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: Berechnung der Verformungen Bei Annahme der Gültigkeit des H OOKE schen Gesetzes und eines einachsigen Spannungs- zustandes in z-Richtung ( x = y = 0) folgt aus dem verallgemeinerten H OOKE schen Gesetz (3. Gleichung von (2.14)) und der Spannung z (z) nach Gleichung (2.19) für die Zug/Druck Beanspruchung die Dehnung in z-Richtung zu Das Produkt EA ist die so genannte Dehnsteifigkeit. Mit der Dehnung nach Gleichung (2.3), Seite 173 folgt (2.21) Gleichung (2.21) ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung für die Verschiebung w. Die Integra- tion von (2.21) liefert die Verschiebung w der Querschnittspunkte eines Stabes in z-Richtung. (2.22) Hinweis: C ist eine Integrationskonstante, die für jede spezielle Aufgabe aus einer Rand- bedingung (bekannte Bedingung für die Verschiebung w) bestimmt werden kann. Zum Beispiel muss für den Stab von Bild 2.20 die Randbedingung w(z=0) = 0 erfüllt sein. Ende ?

40 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 189 Die häufig benötigte Gesamtverlängerung l eines Stabes der Länge l (siehe Bild 2.20) ergibt sich nach Integration der Gleichung (2.21) zu (2.23) l F z w(z) w(z= l ) = l w = 0 Bild 2.20 Zugstab mit Verformungen Für den in der Praxis häufig vorkommenden Fall einer konstanten Längskraft (F L = konst.), einer konstanten Dehnsteifigkeit (EA = konst.) und einer konstanten Temperaturbelastung ( T = konst.) vereinfachen sich die Gleichungen (2.21), (2.22) und (2.23) wie folgt: (2.24) (2.26) (2.25) Ende ?

41 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 190 Beispiel 2.1 Abgesetzter Stab mit Längsbelastung F L2 = F 2 Geg.: E, A 1, A 2, l 1, l 2, F 1, F 2 Ges.: Spannungen, Verschiebungen l1l1 l2l2 EA 1 EA 2 F1F1 F2F2 z1z1 F1F1 F2F2 z1z1 F L1 z2z2 F L2 F2F2 z2z2 Schnittgrößen: Nach Definition der Längskoordinaten für die zwei Bereiche F L1 = - F 1 + F 2 2. Bereich: 0 z 2 l 2 : Normalspannungen: Die Spannungen folgen aus Gleichung (2.19) zu: 1. Bereich:2. Bereich: Verschiebungen: Wegen F L = konst. können wir die Verschiebungen aus (2.25) berechnen: Randbedingungen:1. w 1 (z 1 =0) = 02. w 1 (z 1 = l 1 ) = w 2 (z 2 =0) mit (1) und (2) C 1 = 0 und Einsetzen von C 1 und C 2 in (1) und (2) die Verschiebungen: und (1) (2) 1. Bereich: 0 z 1 l 1 : folgt aus den Schnittbildern rechts (hier gibt es nur Längskräfte): Bild 2.21 Abgesetzter Stab mit Längsbelastung Ende ?

42 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 191 d, E,, R m l g m z Bild 2.22 Masse an einem dünnen Draht mg + gA l + F L (z) FKFK l -z z mg F L (z) gA( l -z) Beispiel 2.2 Masse an einem dünnen Draht (Kreisquerschnitt) Gegeben:m = 30 kg, l = 36 m, g = 9,81 m/s 2 Materialparameter: E = 1, N/mm 2, = 7,85 10 –6 kg/mm 3 R m = 2000 N/mm 2, zul = 1/4 R m Gesucht:1. Durchmesser d des Drahts 2. Maximale Länge des Drahts bis zum Reißen 3. Verschiebung und Gesamtverlängerung des Drahts Die Rechnung wird zunächst allgemein (mit Eigengewicht des Drahts) durchgeführt, damit aus den Ergebnissen noch allgemeingültige Rückschlüsse gezogen werden können. Für die Lösung wird die Längskraft im Draht benötigt. Wir schneiden an einer allgemeinen Stelle z und ermitteln die Längskraft F L aus dem Kräftegleichgewicht am Teilsystem. F L wird: F L (z) = mg+ gA( l - z) (dieser Verlauf von F L ist in Bild 2.22 grafisch dargestellt) Daraus folgt mit Gleichung (2.19) der Normalspannungsverlauf im Draht zu mit bei z = 0 (vgl. Bild 2.22) Beachte: Für mg = 0 wird max unabhängig von der Querschnittsfläche A des Drahts. Diese Materialparameter entsprechen einem hoch- festen Stahldraht im federhart gezogenen Zustand (z. B. X 12 CrNi 177). Ende ?

43 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: Erforderlicher Drahtdurchmesser d: Der Drahtdurchmesser d muss so gewählt werden, dass die folgende Bedingung erfüllt wird: (1) Beachte: Für mg = 0 kann A beliebig sein (wegen max unabhängig von A für mg = 0; vgl. auch oben) Für ( zul - g l ) 0, d.h. für ist die Bedingung nicht mehr erfüllbar, da bei dieser Länge max = zul allein durch das Eigengewicht erreicht wird. Aus der Bedingung max = R m folgt dann: (2) max zul 3. Verschiebung und Gesamtverlängerung des Drahts Die Verschiebung berechnen wir wegen der von z abhängigen Längskraft aus der allgemei- nen Verschiebungsgleichung (2.22) für die Zug/Druck Beanspruchung. 2. Maximale Drahtlänge bis zum Reißen Der Draht wird reißen, wenn die maximale Spannung die Zugfestigkeit R m erreicht. und mit Ende ?

44 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 193 w (z=0)=0 Die Integrationskonstante C in w(z) berechnen wir aus der Randbedingung Damit ergibt sich für die Verschiebung der Drahtpunkte in Abhängigkeit von z: (3) Aus (3) erhalten wir die Gesamtverlängerung des Drahts, indem wir für z = l setzen: (4) Nachfolgend werden für die oben gegebene Zahlenwerte die Ergebnisse angegeben (die Zahlenrechnung sollte der Leser zur Übung selbst durchführen). Aus Gleichung (1) folgt 1. Erforderlicher Seilquerschnitt A: Beachte: Mit diesem gewählten Wert d gew = 0,9 mm (bzw. mit A vorh = 0,636 mm 2 ) müssen alle nachfolgenden Rechnungen durchgeführt werden! (das entspricht einer Querschnittsfläche von A vorh 0,636 mm 2 ) Da man einen Draht mit diesem erforderlichen Querschnitt kaum finden wird oder herstellen lassen kann, wählt man ein verfügbaren oder herstellbaren Draht mit dem nächst größeren Querschnitt aus, z. B. mit dem Durchmesser Ende ?

45 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 194 Hinweis: Für mg = 0 (frei hängende Draht) wird die maximale Verlängerung bei der maximalen Drahtlänge l max w max = w(z = l max = 25,97 km) = 136,7 m ! 2. Maximale Drahtlänge bis zum Reißen Hinweis:Für mg = 0 (frei hängender Draht) wird die maximale Länge, bei der der Draht reißt, l max = 25,97 km ! Aus Gleichung (2) folgt mit A vorh 3. Verschiebung und Gesamtverlängerung des Seiles Aus Gleichung (3) folgt mit A vorh die Verschiebung in Abhängigkeit von z zu Aus (4) erhalten wir die Gesamtverlängerung des Drahts der Länge 36 m zu Ende ?

46 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 195 Beispiel 2.3 Eingespannter Stab mit Einzellast und Temperaturbelastung l1l1 l2l2 F A, E,, T A, T E A B z1z1 z2z2 FAFA F L1 = F A z1z1 F FAFA z2z2 F L2 = F A +F 1. Lagerreaktionen: F FAFA FBFB : F A + F - F B = 0 Hinweis: Mit (1) liegt eine Gleichung für zwei unbe- kannte Lagerreaktionen F A und F B vor. Allein daraus lassen sich die Lagerreaktionen also nicht berechnen! Das bedeutet Das Problem ist statisch unbestimmt! Zur Lösung muss das Verformungsverhalten des Stabes betrachtet werden! F B = F A + F (1) Gegeben:F = N, l 1 = 1200 mm, l 2 = 800 mm, A = 2000 mm 2, E = 2, N/mm 2, =12 10 –6 K –1, Ausgangstemperatur T A = 20 C, Endtemperatur T E = 50 C, (Annahme: Eigengewicht vernachlässigbar, d. h. es werden nur Längsbelastungen berücksichtigt) Bild 2.23 Eingespannter Stab mit Einzellast und Temperaturbelastung Gesucht:1. Lagerreaktionen an den Einspannstellen A und B 2. Normalspannungen im Stab 3. Endtemperatur T E, für die die Normal- spannung am Lager B Null wird. Mit den Schnittgrößen, die in Bild 2.23 bereits als Zwischenergebnis eingetragen sind und mit T = T E - T A (siehe Seite 179) können wir die Verschiebungen in den zwei Bereichen des Stabes mit Hilfe von Gleichung (2.25) aufschreiben. Ende ?

47 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 196 Mit der Gleichung (1) und den Bedingungen 1. bis 3. liegen vier Gleichungen für die vier Unbekannten F A, F B, C 1 und C 2 vor. Die Verschiebungen müssen noch folgende Rand- und Übergangsbedingungen erfüllen: 1. w 1 (z 1 =0)=0 2. w 1 (z 1 = l 1 )=w 2 (z 2 =0)3. w 2 (z 2 = l 2 )=0 1. Bereich 0 z 1 l 1 : 2. Bereich 0 z 2 l 2 : aus 2.: aus 3.: In der letzten Gleichung ist nur noch F A unbekannt und es folgt durch Auflösen nach F A aus 1.: C 1 = 0 Wir erhalten (2) Aus (1) F B = F A + F folgt mit (2): (3) Ende ?

48 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: Normalspannungen: Mit der Lagerreaktion F A nach Gleichung (2) sind die Schnittgrößen (siehe Bild 2.23) berechenbar. Damit erhalten wir aus Gleichung (2.19) die Normalspannungen zu: 1. Bereich: 0 z 1 l 1 (4) 2. Bereich: 0 z 2 l 2 (5) 3. Endtemperatur T E, für = 0 am Lager B Aus (5) folgt mit der Bedingung (z 2 = l 2 ) = 0: (6) 3. Endtemperatur: 2. Spannungen: Mit den gegebenen Zahlenwerten erhalten wir aus (2) bis (6): 1.Lagerreaktionen: Hinweis: Man beachte die stark überwiegenden Anteile (jeweils zweites Glied in den Klammern) bei den Lagerreaktionen und bei den Spannungen aus der Temperaturbe- lastung T ! Ende ?

49 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 198 mg 2.2.2Flächenpressung Beachte: Die reale Verteilung der Flächenpressung p (Bild 2.24 c zeigt eine realitätsnahe Verteilung) ist von der Geometrie und den Steifigkeiten der sich berührenden Körper abhängig und kompliziert zu berechnen. Als Flächenpressung p bezeichnet man die Druckbeanspruchung normal zur Berührungs- ebene zweier Körper (Berührungsspannung). Die sich berührenden Flächen können dabei eben oder gekrümmt sein. A mg A FNFN b) g Bereich der Flächenpressung m a) Bild 2.24 Flächenpressung in ebenen Berührungsflächen Um eine für die praktische Anwendung handhabbare Berech- nungsmöglichkeit zu erhalten, arbeitet man mit vereinfachenden Annahmen über die Verteilung der Flächenpressung in der Kontaktebene (vgl. Bild 2.24 d). c) reale Verteilung von p reale Verteilung von p p=konst. (Annahme) p d) Ende ?

50 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 199 Ebene Berührungsflächen Annahme: Die Flächenpressung p sei konstant über die Berührungsfläche A verteilt. Diese Annahme würde richtig sein, wenn man ideal starre Körper mit ideal ebenen Berührungs- flächen A voraussetzen könnte, was in der Praxis natürlich nie zutrifft. Trotzdem kann in der Anwendung oft die obige Annahme getroffen werden. Für die Flächenpressung p in ebenen Berührungsflächen (vgl. Bild 2.24 b und d) gilt dann mit F N -Druckkraft senkrecht zur Berührungsfläche A (2.27) Für einen Spannungsnachweis, eine Dimensionierung oder eine Belastbarkeitsrechnung bezüglich der Flächenpressung muss die Bedingung p p zul erfüllt werden. Aus dieser Ungleichung lässt sich dann die gesuchte Größe ermitteln. Hinweis: Zulässige Werte für p zul werden in der Regel durch das weichere Material der Materialpaarung bestimmt. Absolute Größen können allgemein nicht angegeben werden, da spezielle Einsatzbedingungen wie Verschleiß, Dauerfestigkeit usw. die Größe wesentlich bestimmen. Der Maximalwert für p ist theoretisch die Bruchspannung des Materials. Tabelle 2.5 Richtwerte für p zul Materialp zul in N/mm 2 gewachsener Boden 0,25 Mauerwerk 0,75 Stahl 100 Ende ?

51 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 200 Beispiel 2.4 Flächenpressung zwischen Stahlträger und Stützpfeiler Ein Doppel-T-Träger liegt auf zwei Stützpfeilern auf. Die Belastung F wird symmetrisch eingeleitet. F N =F/2 B p L F F L B Schnitt an der Kontaktfläche Bild 2.25 Flächenpressung zwischen Stahlträger und Stützpfeiler aus Gleichung (2.27) Für die Flächenpressung zwischen Stahlträger und Stützpfeiler folgt mit (vgl. Bild 2.25) (Normalkraft) und A = B L (Auflagefläche) Ende ?

52 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 201 F D = 2F Annahme:Die Komponente der Flächenpressung in Richtung der resultierenden Druckkraft F D sei konstant über die zu F D senkrechte Projektionsfläche A Proj verteilt. Gekrümmte Berührungsflächen (Zapfenlagerung, Gleitlager, Bolzen und Niete in Bohrungen usw.) Die Flächenpressung zwischen einer Welle bzw. einem Bolzen und der Gleitlager- bzw. Bohrungswand heißt auch Lochleibungsdruck. tatsächlich belastete Fläche F D = 2F(Druckkraft) A Proj = 2rb(Projektionsfläche) Für die Flächenpressung zwischen Welle und Gleitlager folgt mit (vgl. Bild 2.26): A Proj p Mit dieser Annahme gilt: mit F D -Druckkraft senkrecht zur Projektionsfläche A Proj (2.28) Beispiel 2.5 Flächenpressung zwischen Welle und Gleitlager F F b r Bild 2.26 Flächenpressung zwischen Welle und Gleitlager aus Gleichung (2.28) Ende ?

53 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 202 Hinweis: Die reale Verteilung von p ist von der Geometrie und den Steifigkeiten abhängig und kompliziert zu berechnen. Für eine Welle in einem Lager (ohne Spiel) könnte der Verlauf beispiels- weise wie folgt aussehen: Hinweis:Die obige Annahme einer konstanten Verteilung der Flächenpressung über die projizierte Fläche A Proj liefert die gleiche resultierende Druckkraft F D wie die Annahme einer konstant verteilten Flächenpressung p senkrecht zur Berührungsfläche. Mit der folgenden Rechnung soll diese Aussage für das Beispiel 2.5 bewiesen werden. Bedeutung hat die Flächenpressung bei der Auslegung von Gewinden, Klemm- und Presssitzen, Kupplungen, Passfedern und Keilen, Stiftverbindungen usw. Hier sind häufig auch spezielle Berechnungsvorschriften zu beachten. Hinweis:Genauere Untersuchungen der Flächenpressung können nach der Theorie von H. H ERTZ vorgenommen werden. Man spricht dann auch von H ERTZ scher Pressung. Hinweis:Genauere Untersuchungen der Flächenpressung können nach der Theorie von H. H ERTZ vorgenommen werden. Man spricht dann auch von H ERTZ scher Pressung. Es gilt (vgl. Bild 2.27): dF V = p sin dA = p sin brd Die Integration über den Halbkreis liefert: Bild 2.28 Realitätsnaher Lochleibungsdruck FDFD p max p( ) = p max sin Bild 2.27 Resultierende für p = konst. über Halbkreisfläche r Tiefe der Bohrung b p FDFD dA = brd dA Proj = dA sin dF = pdA dA F V = pbr 2 = pA Proj = F D (Was zu beweisen war!) dF V = pdA sin Ende ?

54 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 203 Das Ziel in diesem Kapitel ist die Berechnung der Spannungen und Verformungen in geraden Balken infolge der Biegemomente M bx und M by. 2.3Biegung 2.3.1Voraussetzungen und Annahmen Wir betrachten zunächst einen geraden, prismatischen Balken mit der Balkenachse z und den Querschnittsachsen (x,y), der auf reine Biegung um die x-Achse (M bx = konst., M by = 0, F Qy = 0, F L = 0) belastet ist (Bild 2.29, links). Eine endgültige Festlegung der Lage und der Orientierung des Koordinatensystems relativ zum Querschnitt ergibt sich aus den Annahmen und Schlussfolgerungen des Kapitels Beispiel für reine Biegung: M0M0 F a F a Beispiel für reine Biegung und Querkraftbiegung: reine Biegung Fa + M bx M bx = M 0 + F Qy = 0 Balkenachse x y z FQyFQy + - F F x y z Balkenachse Bild 2.29 Reine Biegung und Querkraftbiegung Hinweis: Die im Folgenden hergeleiteten Formeln lassen sich auch mit guter Näherung für schwach gekrümmte Balken, Balken mit stetig veränderlichen Querschnitten und Balken mit Querkraftbiegung (M bx = M bx (z), F Qy 0, siehe Bild 2.29, rechts) anwenden. Querkraft- biegung Ende ?

55 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 204 Bernoulli-Hypothese: Eine im unverformten Zustand senkrecht zur Balkenachse stehende ebene Querschnitts- fläche, bleibt bei einer reinen Biegeverfor- mung eben und steht senkrecht zur verformten Balkenachse (Bild 2.30). Balkenachse Bild 2.30 Verformungen nach der B ERNOULLI -Hypothese Durch die Biegemomentenbelastung M bx entstehen im Querschnitt Normalspannungen z senkrecht zur Querschnittsfläche, die bei reiner Biegung keine resultierende Kraftwirkung haben und deshalb in einem Teil des Querschnitts positiv (Zugspannungen) und im anderen Teil negativ (Druckspannungen) sein müssen (siehe Bild 2.30 weiter unten). Die positiven und negativen Normalspannungen z erzeugen Dehnungen z in z-Richtung, die zu einer Krümmung (Biegeverformung) der ursprünglich geraden Balkenachse führen. Zur Berechnung der Normalspannungen z und der Biegeverformungen ist eine Annahme von J. B ERNOULLI, die so genannte B ERNOULLI -Hypothese oder auch Normalenhypothese, Grundlage der elementaren Biegetheorie. z y x..... Diejenige Balkenachse, für die die Normalspannungen z (und damit auch die Dehnungen z ) Null sind, bezeichnen wir als neutrale Faser oder als neutrale Schicht. M bx verformte Balkenachse neutrale Faser (Spannung z = 0 und Dehnung z = 0)..... Druckspannungen Zugspannungen Ende ?

56 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 205 Bild 2.31 Normalspannung x infolge M bx Hinweis: Die B ERNOULLI -Hypothese trifft für die Querkraftbiegung nicht zu, da es infolge von Schubspannungen zu Gleitungen und damit zu einer Verwölbung des Querschnitts kommt. Mit der Annahme der B ERNOULLI -Hypothese vernachlässigen wir also die Wirkung der Schubspannungen. Das hat sich in der Praxis jedoch bewährt, da bei Balkentragwerken der Schubeinfluss im Verhältnis zu den Biegenormalspannungen gering ist Spannungen bei gerader Biegung Definition: Man spricht von gerader Biegung, wenn es bezüglich der (x,y)-Achsen nur ein Biegemoment M bx mit daraus folgender Biegeverformung in der (y,z)-Ebene bzw. nur ein Moment M by mit Biegeverformung in der (x,z)-Ebene gibt. die Querdehnung in x- und y-Richtung unbehinderte sind ( x = 0, y = 0), T = 0 ist, gilt nach dem H OOKE schen Gesetz für die Spannung z infolge eines Biegemomentes M bx für einen beliebigen Punkt P im Querschnitt z (siehe Bild 2.31) MbxMbx dA z d A P neutrale Faser (Schicht) z x y (2.29) Mit den Voraussetzungen (vgl. Bild 2.31), dass nur M bx wirkt und damit die Biegeverformung in der (y,z) -Ebene erfolgt, die Dehnungen und die Spannungen unabhängig von x sind, die Balkenachse z in der neutralen Faser liegt, Ende ?

57 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 206 d dz M bx dz Bild 2.32 Verformung eines differentiellen Balkenelements dz Infolge dieser Spannungen (2.29) krümmt sich ein ursprünglich gerades Balkenelement der Länge dz. Die Dehnung z einer Faser im Abstand y von der neutralen Faser (diese dehnt sich nicht!) wird neutrale Faser y P y ds P Die Endquerschnitte bleiben wegen der Annahme der B ERNOULLI schen Hypothese eben und stehen senkrecht zur gekrümmten Balkenachse (neutrale Faser, siehe Bild 2.32). Alle Fasern mit y 0 erfahren dadurch eine Dehnung. mit (z) - Krümmungsradius. Setzen wir diese Dehnung in die Gleichung (2.29) ein, so folgt für die Normalspannung (2.30) Den in Gleichung (2.30) noch unbekannten Krümmungsradius (z) und die Lage der neutralen Faser erhalten wir aus den folgenden Äquivalenzbedingungen zwischen der Spannung z und den Schnittgrößen im Querschnitt z. Da nur das Biegemoment M bx wirken soll, gibt es keine resultierende Längskraft F L und kein resultierendes Moment M by. Ende ?

58 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 207 erfüllt für Daraus folgt: Folgerung: S x ist genau dann Null, wenn die x-Achse durch den Flächenschwerpunkt S verläuft (vgl. Kapitel 1.9.3, S 129). Das bedeutet, die neutrale Faser und damit die Balkenachse z muss durch den Flächenschwerpunkt S verlaufen. erfüllt für Folgerung: I xy ist genau dann Null, wenn die x-Achse und die y-Achse durch den Flächenschwerpunkt S verlaufen und Hauptachsen des Querschnitts sind (vgl. Kapitel , S 141 ff.). (2.31) mit (vgl. Kapitel , S 134) Setzen wir (2.31) in (2.30) ein, so erhalten wir die Normalspannung z für die gerade Biegung um die x-Achse infolge eines Biegemomentes M bx zu (2.32) Ende ?

59 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 208 So sind z. B. in Bild 2.33 bei einem Biegemoment M bx > 0 die größten positiven Spannungen ( z1 > 0) bei y = e 1 und die größten negativen Spannungen ( z2 < 0) bei y = e 2 vorhanden. Zusammenfassung: Ist (x,y,z) ein Hauptzentralachsensystem, so berechnen sich die Spannungen z (y,z) infolge einer Biegemomentenbelastung M bx um die x-Achse (Biegeachse) aus der Gleichung (2.32) Die Normalspannungen z (y,z) infolge M bx sind linear über den Querschnitt verteilt und werden für y=0 (neutrale Faser) Null. Hinweis: Die Spannung ist unabhängig vom Elastizitätsmodul E des Materials! Die größten Normalspannungen treten in Punkten mit den größten Abständen von der x-Achse auf. e1e1 e2e2 z1 z2 Allgemein gilt für die Randspannungen: Mit diesen Biegewiderstandsmomenten kann man den in der Praxis oft benötigten Betrag der maximalen Normalspannung im Querschnitt z schnell angeben. W bx1 und W bx2 sind die so genannten (Biege-) Widerstandsmomente (rein geometrische Querschnitts- kenngrößen), die für genormte Querschnitte in Tabellenform verfügbar sind (siehe z. B. Tabelle 2.6). Bild 2.33 Normalspannungsverteilung M bx x y S (2.33) Es wird: M bx Ende ?

60 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 209 Beispiel 2.6 Träger mit Streckenlast und Einzellast (vgl. Beispiel 1.17, S 99) Gegeben:q = 20 N/cm, a = 0,5 m, b = 2 cm, h = 3 cm Gesucht:Ort und Größe der maximalen Biegespannung Die größten Biegespannung im Träger treten an der Stelle des vom Betrag größten Biegemomentes M bx = -q 0 a 2 am Lager B auf. A B 2a aq F = qa z1z1 y1y1 z1z1 y1y1 h b y x B M bx -Verlauf q0a2q0a _ q0a2 q0a2 Den Schnittgrößenverlauf für das Biegemoment M bx übernehmen wir vom Beispiel 1.17, S 103. Bild 2.34 Träger mit Streckenlast und Einzellast Im Querschnitt an diesem Lager ergeben sich die maximalen Spannungen am Rand y = e max = h/2. Mit den Querschnittsgrößen eines Rechteckquerschnitts (siehe Kapitel , Tabelle 1.5, S 97) (1) folgt für den Spannungsverlauf über den Querschnitt am Lager B (Stelle z 1 = 2a oder z 2 = 0) aus (2.32) (2) Ende ?

61 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 210 Die größten Spannungen am Lager B erhält man aus (2) für y = ±h/2 am unteren bzw. am oberen Rand. Unterer Trägerrand bei B: Oberer Trägerrand bei B: Die vom Betrag größte Spannungen am Lager B folgt auch aus Gleichung (2.33) mit dem Widerstandmoment W bxmin aus Gleichung (1) zu: Ende ?

62 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 211 Den Biegemomentenverlauf M b übernehmen wir vom Beispiel 1.16, S 98. T 90 Aus der Tabelle 2.6 wählen wir einen T-Träger, für den wegen (1) gilt. Auszug aus DIN 1024 b=h [mm] A [cm 2 ] e [cm] I x [cm 4 ] W x [cm 3 ] I y [cm 4 ] W y [cm 3 ] ,6 17,1... 2,22 2, , ,8 18, ,0 58,5... 9,25 13,0... b h x x y y e Beispiel 2.7 Dimensionierung eines T-Trägers (vgl. Beispiel 1.16, S 98) Gegeben: F = 2000 N, a = 0,5 m, zul = 240 N/mm 2 Gesucht: Hochstegiger T-Träger nach DIN M b max = Fa + M b - Verlauf Hinweis: Das ist eine in der Praxis häufig vorkommende Dimensionierungsaufgabe bezüglich Festigkeit, d. h. der Querschnitt muss so bestimmt werden, dass | z | max < zul wird. Aus der Ungleichung (1) kann W bxmin bzw. ein typischer Querschnittswert des vorgegebenen Querschnitts be- stimmt werden. Bei genormten Quer- schnitten findet man W bx in entspre- chenden DIN-Tabellen (Tabelle 2.6). Bild 2.35 Dimensionierung eines T-Trägers Tabelle 2.6 Auszug aus DIN 1024 a aaa F 2F A B z1z1 y1y1 z2z2 z3z3 z4z4 nach DIN 1024 (1) gilt. Das ist der T-Träger T 90, der die Bedingung (1) erfüllt: Ende ? Für die vier Bereiche mit konstantem Querschnitt werden an der Stelle des größten Biegemomentes M bmax (vgl. Bild 2.35) die Spannungen maximal. Diese maximale Spannung muss die folgende Bedingung erfüllen:

63 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 212 Die neutrale Faser eines differentiellen Elementes dz des Trägers erfährt infolge der Biegebelastung eine Krümmung Bild 2.37 links, die der Kehrwert des Krümmungsradius (z) ist Verformungen bei gerader Biegung x y z unverformte Balkenachse Für die Berechnung der Verformungen sollen die in den Kapiteln und getroffenen Annahmen und Voraussetzungen ebenfalls gelten. Sie sollen hier wegen ihrer grundsätzlichen Bedeutung nochmals angegeben werden: Das H OOKE schen Gesetz und die B ERNOULLI -Hypothese sollen gelten. Es liegt reine Biegung vor (Biegemoment ist konstant). Eine Anwendung auf veränderliche Biegemomente kann mit ausreichender Genauigkeit vorgenommen werden. Die Biegung erfolgt um eine Hauptzentralachse des Querschnitts. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit nehmen wir zunächst an, dass dies die x-Achse sei. Wir definieren die Biegeverformung v(z) als die Verformung der neutralen Faser in y- Richtung infolge eines Biegemomentes M bx (z). Die Funktion der Biege- verformung v(z) wird auch Biegelinie genannt (siehe Bild 2.36). Bild 2.36 Definition der Biegeverformung v(z) Bild 2.37 Krümmung infolge M bx (links) und mathematische Definition einer positiven Krümmung (rechts) d (z) dz v(z) M bx MbxMbx. z dz y dx y(x) y x Definition der mathematisch positive Krümmung: d. (2.34) Nach Kapitel 2.3.2, Gleichung (2.31), folgt damit für die Krümmung v(z) verformte Balkenachse (Biegelinie) F dz Ende ?

64 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 213 Die mathematische Definition der positiven Krümmung einer Funktion y(x) ist in Bild 2.37 rechts dargestellt und berechnet sich aus (2.35) Der Vergleich der beiden Krümmungen in Bild 2.37 zeigt, dass nach unseren Definitionen der positiven Verformung v(z) und des positiven Biegemomentes M bx ein positives Biegemoment eine negative Krümmung der Biegelinie v(z) erzeugt. Das bedeutet, dass beim Einsetzen von Gleichung (2.35) in (2.34) – wobei für y(x) v(z) zu setzen ist – dieses unterschiedliche Vorzeichen in der Krümmung berücksichtigt werden muss. Es folgt: (2.36) Hinweis: Mit dieser nichtlinearen Differentialgleichung (2.36) muss bei der Berechnung von großen Verformungen im elastischen Bereich gerechnet werden! Setzen wir nachfolgend kleine Verformungen v(z) voraus (vgl. Kapitel 2.1.1), so wird v (z) sehr klein, so dass [v (z)] 2 gegenüber der 1 im Nenner der Gleichung (2.36) vernachlässigt werden kann. bzw. (2.37) Das Produkt E·I xx nennt man auch Biegesteifigkeit. Wir erhalten für kleine Verformungen aus Gleichung (2.36) die so genannte Differentialgleichung der Biegelinie 2. Ordnung in der Form Ende ?

65 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 214 Wird die Differentialgleichung 2. Ordnung (2.37) zweimal differenziert, so folgt Mit den differentiellen Beziehungen zwischen den Schnittgrößen und der Linienlast q y (vgl. Kapitel 1.6.3, S 95) erhält man die Differentialgleichung der Biegelinie 4. Ordnung in der Form (2.38) und für den häufigen Fall konstanter Biegesteifigkeit EI xx = konst. (2.39) Ende ?

66 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 215 Lösung der Differentialgleichung (DGL) Die relativ einfache gewöhnliche DGL 2. Ordnung (2.37) bzw. die DGL 4. Ordnung (2.38) oder (2.39) lässt sich in der Regel wie folgt lösen: Die DGL wird bereichsweise (Bereichseinteilung wie bei der Schnittgrößenberechnung) durch zweimalige bzw. viermalige Integration gelöst. Veränderliche Biegesteifigkeiten EI bringt man zweckmäßig auf die rechte Seite der DGL. Die Lösung enthält bei n Bereichen:2 n Integrationskonstanten (DGL 2. Ordnung) bzw. 4 n Integrationskonstanten (DGL 4. Ordnung). Die Integrationskonstanten werden aus Rand- und Übergangsbedingungen (RB) an den Bereichsgrenzen ermittelt (siehe z. B. Tabelle 2.7 auf der nächsten Seite): -v und v (v = tan, wobei der Winkel von der z-Achse zur Tangente an die Bieglinie ist und auch Biegewinkel genannt wird) bei der DGL 2. Ordnung (auch als geometrische RB bezeichnet), -M bx = -EIv und F Qy = M bx = -(EIv ) bei der DGL 4. Ordnung (auch als dynamische RB bezeichnet). Frage: Welche der beiden Differentialgleichungen (2. oder 4. Ordnung) verwendet man zur Berechnung der Biegeverformung (oder kurz der Verschiebung)? Die DGL 4. Ordnung wird benutzt, wenn der Biegemomentenverlauf schwierig zu berechnen ist (z. B. bei komplizierten Belastungsfunktionen q y (z)). Jedoch erhält man in jedem Bereich vier Integrationskonstanten, so dass entsprechend mehr Rand- und Übergangsbedingungen aufgeschrieben werden müssen. Die DGL 2. Ordnung wird dann benutzt, wenn der Biegemomentenverlauf bereits bekannt ist bzw. in einfacher Weise berechenbar ist. Empfehlung: Ende ?

67 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 216 DGL 2. OrdnungDGL 4. Ordnung Tabelle 2.7 Beispiele für Rand- und Übergangsbedingungen a z1z1 y 1,v 1 b z2z2 y 2,v 2 Biegelinie a F M0M0 z y,v Biegelinie Beachte:Bei statisch bestimmten Systemen ist die Anzahl der Randbedingungen gleich der Anzahl der Integrationskonstanten. v (z=0) = 0 M bx (z=a)= - M 0 F Qy (z=a)= F v (z=0) = 0 M0M0 F F Qy (z=a) M bx (z=a) dz v 1 (z 1 =0) = 0 v 1 (z 1 =a) = 0 v 2 (z 2 =0) = 0 v 1 (z 1 =a) = v 2 (z 2 =0) RB wie DGL 2. Ordnung und zusätzlich noch M bx1 (z 1 =0) = 0 M bx1 (z 1 =a) = M bx2 (z 2 =0) M b x2 (z 2 =b) = 0 F Qy2 (z 2 =b) = 0 Bei statisch unbestimmten Systemen gibt es in Abhängigkeit vom Grad der statischen Unbestimmtheit entsprechend mehr Randbedingungen. Ende ?

68 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 217 Schnittbild für Lagerreaktionen und Biegemomente: ab A B q C F AV F AH FBFB Bild 2.38 Träger auf zwei Stützen, Biegelinie, Lagerreaktionen, Bezugssysteme Beispiel 2.8 Verformungen eines Trägers auf zwei Stützen (statisch bestimmt) ab A B q C EI Biegelinie vCvC B z1z1 y 1,v 1 z2z2 y 2,v 2 Gegeben:q, a, b, EI = konst. Gesucht:Biegelinie, Verschiebung v C bei C und Neigung B (Biegewinkel) bei B Mit den Definitionen der Lagerreaktionen und der Bezugssysteme nach Bild 2.38 folgt nach kurzer Rechnung für die Lagereaktionen und für die Schnitt- größen in den beiden Bereichen: Hinweis: Da hier der Biegemomentenverlauf in den zwei Bereichen bekannt ist (siehe oben), bietet sich die Berechnung der Verformungen mit der Differentialgleichung 2. Ordnung (2.37) an. Die Differentialgleichung 2. Ordnung schreiben wir nachfolgend für beide Bereiche auf und ermitteln die Verschiebungsfunktion (Biegelinie) durch zweimalige Integration. Ende ?

69 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 218 Die vier Integrationskonstanten c 1 bis c 4 folgen für diese statisch bestimmte Aufgabe aus vier Randbedingungen (siehe auch zweites Beispiel in Tabelle 2.7). Es ergibt sich mit den Gleichungen (1) bis (4): Es folgt: 1. Bereich (0 z 1 a): 2. Bereich (0 z 2 b): (1) (2) (3) (4) 1. v 1 (z 1 =0) = 0 2. v 1 (z 1 =a) = 0 3. v 2 (z 2 =0) = 0 4. v 1 (z 1 =a) = v 2 (z 2 =0) Aus (5) folgt mit c 1 noch die Konstante c 3 zu mit (2): mit (4): mit (1) und (3): (5) Ende ?

70 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 219 Die Verschiebung v c bei C folgt aus der Biegelinie (7) zu: (8) Mit diesen Integrationskonstanten lassen sich jetzt die Biegelinien aus (2) bzw. (4) aufschreiben. Wir erhalten für die Biegelinien: 1. Bereich:(6) 2. Bereich: (7) Der Biegewinkel (z) kann aus der ersten Ableitung der Biegelinie ermittelt werden, denn es gilt allgemein Für die allgemein vorausgesetzten kleinen Verformungen sind auch die Biegewinkel klein und es kann gesetzt werden. Damit folgt für den Biegewinkel (2.40) (9) Mit der Ableitung der Biegelinie (1) folgt für den Biegewinkel bei B aus Gleichung (2.40) Ende ?

71 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 220 Hinweis: Wegen der 4. Randbedingung gilt natürlich auch Frage: Welches System entsteht, wenn die Länge a des 1. Bereichs gegen Null geht? Für den Biegewinkel bei B erhält man mit a = 0 aus (9) den Wert Null. Die Verschiebung ist natürlich wegen der 3. Randbedingung nach wie vor Null. Diese Ergebnisse entsprechen genau den Ergebnissen eines bei z 2 = 0 eingespannten Trägers (Kragträger) der Länge b mit einer konstanten Linienlast (Bild 2.39). Begründung: Der 1. Bereich wird für kleiner werdende Werte a immer steifer, bis er bei a = 0 in eine Einspannung übergeht. q B C vCvC b Biegelinie EI y 2, v 2 z2z2 Bild 2.39 Für a = 0 verbleibt von den zwei Bereichen nur der zweite Bereich der Länge b mit einer Biegelinie, die sich aus (7) ergibt. Die Verschiebung v C bei C kann aus (8) mit a = 0 oder aus der neuen Biegelinie mit z 2 = b ermittelt werden. Wir erhalten für a = 0: Ende ?

72 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 221 Hinweis:Freiheitsgrad f = 3 - b = 3 - (3+1) = -1 1-fach statisch unbestimmt! b = 3 b = 1 D. h., Lagerreaktionen und Schnittgrößen sind nicht allein aus den Gleichgewichtsbedingungen berechenbar. Es werden Verformungsbetrachtungen, z. B. mit Hilfe der Biegelinie, notwendig. Beispiel 2.9 Abgewinkelter Träger (statisch unbestimmt) Gegeben:F, a, b, EI=konst. Gesucht:Lagerreaktionen, Biegelinie, Verschiebung bei B, Biegewinkel bei B und C a b A B F EI C Gleichgewichtsbedingungen (vgl. Schnittskizze in Bild 240): a b A B F C : F AH = F B (1) : F AV = F (2) A : M A = Fa-F B b (3) In den 2 Gleichgewichtsbedingungen (1) und (3) sind noch 3 Unbekannte enthalten. Ihre Größe ist von den Steifigkeiten bzw. Verformungen des Systems abhängig. Wir betrachten die Verformungen (Biegelinie) des Systems, um eine zusätzliche Gleichung zur Berechnung aller Unbekannten zu erhalten. Dazu benötigen wir den Biegemomentenverlauf. M bx (z 1 ) = - F(a - z 1 ) + F B b M bx (z 2 ) = F B (b - z 2 ) z1z1 y 1,v 1 Biegemomentenverlauf (vgl. Schnittbilder von Bild 2.41): Bereich 1: M bx (z 1 ) = - M A + F AV z 1 z2z2 y 2,v 2 Bereich 2: Bild 2.40 Abgewinkelter Träger F AH FBFB F AV MAMA MAMA A F AH z1z1 y 1,v 1 M bx (z 1 ) Bild Bereich b-z 2 FBFB C M bx (z 2 ) z2z2 y 2,v 2 Bild Bereich Ende ?

73 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: Bereich:1. Bereich: Aus der DGL 2. Ordnung (2.37) folgt mit den Biegemomenten und nach zweimaliger Integration: Für diese statisch unbestimmte Aufgabe lassen sich die folgenden fünf Randbedingungen angeben. Diese ergeben zusammen mit den drei Gleichgewichtsbedingungen acht Gleichungen für die acht Unbekannten F AH, F AV, M A, F B und c 1 bis c 4. Bei dieser Aufgabe ist aus der Gleichgewichtsbedingung (2) F AV bereits bekannt, so dass sich die Anzahl der Unbekannten auf sieben reduziert. 1. v 1 (z 1 =0) = 0 4. v 2 (z 2 =b) = 0 3. v 2 (z 2 =0) = 0 5. v 1 (z 1 =a) = v 2 (z 2 =0) 2. v 1 (z 1 =0) = 0 (4) (6) (5) (7) mit (5): mit (4): mit (7): mit (4) und (6): (8) Ende ?

74 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 223 Aus der Gleichung (8) folgt mit den Konstanten c 1 und c 3 die Lagerreaktion F B zu: Mit F B folgen aus den Gleichgewichtsbedingungen (1) und (3) die restlichen Lagerreaktionen F AH und M A, und es lassen sich noch die Konstanten c 3 und c 4 berechnen. Wir erhalten und sowieund Mit F B und den Integrationskonstanten lassen sich jetzt die Biegelinien (5) und (7) aufschreiben. Wir erhalten für die Biegelinien (qualitative grafische Darstellung siehe Bild 2.42): 1. Bereich: 2. Bereich: Die Verschiebung bei B (vgl. Bild 2.42) folgt mit z 1 = a aus der Biegelinie des 1. Bereichs zu: Ende ?

75 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 224 Für den Biegewinkel gilt allgemein die Gleichung (2.40) v. Damit folgt aus (4) und (6) nach dem Einsetzen von F B und der Integrationskonstanten der Verlauf der Biegewinkel (die Biege- winkel lassen sich auch aus der ersten Ableitung von v 1 (z 1 ) und v 2 (z 1 ) berechnen): 1. Bereich: 2. Bereich: Die Biegewinkel bei B und C werden damit (vgl. Bild 2.42): Hinweis: Für b wird der 2. Bereich so biegeweich, dass sein Einfluß auf den 1. Bereich praktisch verschwin- det. Aus dem 1. Bereich ergeben sich damit die Lösungen für einen Kragträger (Bild 2.43) mit Einzellast bei B. Bild 2.42 Verformtes System A B F a C b v B = v 1 (z 1 =a) B c vBvB Biegelinie Bild 2.43 Kragträger mit Einzellast F B a vBvB B Biegelinie Ende ?

76 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 225 Wegen der komplizierteren Belastungsfunktion q(z) (vgl. Bild 2.44) soll hier die Lösung mit Hilfe der DGL der Biegelinie 4. Ordnung (2.39) erfolgen. Wir setzen die Belas- tungsfunktion q(z) in (2.39) ein und integrieren viermal. Gegeben:q 0, a, EI=konst. Gesucht:Lagerreaktionen, Schnittgrößenverläufe, Biegelinie, Biegewinkel Randbedingungen: 4. v(z=a)=0 3. M bx (z=a)=-EIv (a)= 0 1. v(z=0)=0 2. M bx (z=0)=-EIv (0)=0 Beispiel 2.10 Träger mit quadratischem Verlauf der Linienlast Bild 2.44 Träger mit quadratischem Verlauf der Linienlast (oben); Definition der Lager- reaktionen (unten) A B a FBFB F AH F AV z y,v A B a z (1) (2) (3) (4) c 4 =0 c 2 =0 Ende ?

77 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 226 Aus der 3. Randbedingung folgt mit (2): und mit c 1 Aus der 4. Randbedingung folgt mit (4): Mit den Integrationskonstanten folgt aus (4) nach einigen Umformungen die Biegelinie und durch Differentiation der Biegelinie der Biegewinkel, der auch aus (3) berechnet werden könnte. Biegelinie Biegewinkel Beachte: Die Biegelinie und der Biegewinkel konnten ohne Berechnung der Schnittgröße M bx (z) ermittelt werden. Darin besteht unter anderem der Vorteil der Anwendung der Differentialgleichung 4. Ordnung. Bei der Anwendung der DGL 2. Ordnung hätte man zunächst das Biegemoment M bx (z) berechnen müssen. Die Biegelinie und der Biegewinkel sind qualitativ in Bild 2.45 dargestellt. Bild 2.45 Biegelinie und Biegewinkel A B z y, v v(z) q(z) (z) v (z) Ende ?

78 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 227 Für die Berechnung der Schnittgrößen und Lagerreaktionen werden noch die höheren Ableitungen der Biegelinie benötigt. Die zweite und dritte Ableitung der Biegelinie lautet: (5) (6) Der Biegemomentenverlauf kann bei bekannter Biegelinie und deren Ableitungen sofort aus der Differentialgleichung 2. Ordnung berechnet werden. Aus Gleichung (2.37) folgt mit Gleichung (5): M bx (z)= - EIv (z) Die Querkraft folgt aus der differentiellen Beziehung zwischen dem Biegemoment und der Querkraft (siehe Kapitel 1.6.3, Gleichung (1.25), S 95) und (6) zu: F Qy (z)= M bx (z)= - EIv (z) (7) Ende ?

79 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 228 Zur Berechnung der Lagerreaktionen führen wir in einem differentiellen Abstand dz vom Lager einen Schnitt und schreiben die Gleichgewichtsbedingungen am jeweiligen freien Teilsystem (Bild 2.46) auf. Bild 2.46 Schnitt bei A (oben); Schnitt bei B (unten) A F Qy (z=0) F AH F AV dz y,v q(z) B FBFB z=a y,v dz F Qy (z=a) q(z) Schnitt im differentiellen Abstand dz von A: : F AV = F Qy (z=0) mit (7): Schnitt im differentiellen Abstand dz von B: : F B = - F Qy (z=a) mit (7): Ende ?

80 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: Schiefe Biegung Definition: Schiefe Biegung liegt vor, wenn der resultierende Biegemomentenvektor M b nicht mit einer der beiden Hauptzentralachse x bzw. y des Querschnitts zusammenfällt. Wir zerlegen den Biegemomentenvektor M b in seine Komponenten in x- und y-Richtung, wobei wir die positive Definition der Schnittgrößen (siehe Kapitel 1.8.4, S 123) benutzen. Damit lässt sich die schiefe Biegung als Überlagerung zweier gerader Biegungen um die Hauptzentralachsen x und y behandeln (vgl. Gleichung (2.41) und Bild 2.47 weiter unten). Deshalb wird sie auch als Biegung um zwei Achsen bezeichnet. + S x y M by gerade Biegung um die y-Achse = schiefe Biegung (Biegung um die x- und die y-Achse) S MbMb x y S x y M bx gerade Biegung um die x-Achse Bild 2.47 Überlagerung zweier gerader Biegungen zur schiefen Biegung (Biegung um zwei Achsen) Für den in Bild 2.47 dargestell- ten Fall der Überlagerung zweier gerader Biegungen ergibt sich folgende Spannungsformel, die sich additiv aus der Gleichung (2.32) für die Biegung um die x- Achse und der analogen Glei- chung für die Biegung um die y- Achse zusammensetzt: (2.41) Ende ?

81 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 230 Bild 2.48 Überlagerung der Spannungen bei schiefer Biegung y x S M bx Biegung um die x-Achse Beachte: Aus der Gleichung (2.41) liest man ab, dass die Biegespannung z sowohl in x- als auch in y-Richtung linear über den Querschnitt verteilt ist (vgl. Bild 2.48). Mit der Bedingung z = 0 folgt aus der Spannungsgleichung (2.41) für die schiefe Biegung eine Geradengleichung, die so genannte Spannungsnulllinie (2.42) Spannungsnulllinie Beachte: Die vom Betrag größte Biegespannung im Querschnitt z = konst. wirkt in dem Punkt, der die größte senkrechte Entfernung von der Spannungsnulllinie hat (siehe Bild 2.48). schiefe Biegung y x S M bx M by = y x S Biegung um die y-Achse + y y Spannungs- nullinie Ende ?

82 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 231 Verformungen bei schiefer Biegung: qxqx x, u y, v z S a Wie bei der Spannungsberech- nung lässt sich die Verformungs- berechnung bei schiefer Biegung als geometrische Überlagerung zweier gerader Biegungen be- rechnen (vgl. Bild 2.49). Sind x und y Hauptzentralachsen mit den Verschiebungen u in x- und v in y-Richtung, so gelten für die Verformungen in beiden Ebenen die DGL 2. Ordnung (2.37) bzw. 4. Ordnung (2.38) unabhängig voneinander. qyqy v(z) v(z=a) u(z) u(z=a) v(z) f(z) f(z=a) Bild 2.49 Verformung bei schiefer Biegung Biegung um die x-Achse: (Verformung v in der yz-Ebene) DGL 2. Ordnung DGL 4. Ordnung Es gilt somit für die Verschiebungen u und v: Die geometrische Addition von u(z) und v(z) liefert die resultierende Gesamtverschiebung f(z) (vgl. auch Bild 2.49): (2.45) Biegung um die y-Achse: (Verformung u in der xz-Ebene) (2.43) (2.44) Ende ?

83 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 232 x y M bres d Bild 2.50 Biegung eines Kreisquerschnitts Jede Achse durch den Schwerpunkt des Kreis- bzw. Kreisring- querschnitts ist eine Hauptzentralachse. Deshalb sind für diese Achsen die axialen Flächenträgheitsmomente und die Wider- standsmomente gleich. Die Biegespannung und unter bestimmten Voraussetzungen (siehe unten) auch die Verformung kann nach der Theorie der geraden Biegung berechnet werden. Sonderfall : Kreis- und Kreisringquerschnitt Legt man in Richtung des resultierenden Momentenvektors M bres eine -Achse, dann gilt: (ansonsten Berechnung wie bei der schiefen Biegung - siehe vorige Seite) x y, v und mit (2.46) Die vom Betrag maximale Normalspannung infolge Biegung ergibt sich aus (2.47) mit Bleibt die Richtung von M bres über z konstant, dann gilt die DGL 2. Ordnung in der Form (2.48) Ende ?

84 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 233 Beachte: Sind die (x,y)-Achsen keine Hauptzentralachsen, sondern beliebige rechtwinklige Achsen durch den Schwerpunkt S, so gelten folgende Formeln zur Berechnung der Spannungen und Verformungen in einem Querschnitt bei z=konst. infolge einer Biegebeanspruchung. Biegespannung: DGL 2. Ordnung zur Verformungsberechnung: Resultierende Gesamtverschiebung f(z): Hinweis: In diesen Gleichungen sind die Gleichungen für Hauptzentralachsen und für die gerade Biegung als Sonderfälle enthalten. Ende ?

85 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 234 dy b(y) y z dA dA zy dA yz dzb(y) dz 2.4Querkraftschub Das Ziel dieses Kapitels ist die Berechnung der Spannungen (Schubspannungen ) und Verformungen in geraden Balken infolge der Querkraft F Q. Annahmen Die Querkraft F Q wirkt in Richtung einer Hauptzentralachse des Querschnitts (ohne Einschränkung der Allgemeinheit sei dies hier die y-Achse). Der Querschnitt sei konstant. Die aus der Querkraft folgenden Schubspannungen seien parallel zu F Q. Über die Breite des Querschnitts (senkrecht zu F Q bzw. in x-Richtung) sind die Schubspannungen konstant. dz S y x z M bx F Qy dy b(y) dA=dyb(y) y Momentengleichgewicht um die Achse a-a liefert (Vernachläs- sigung der Größen, die von höherer Ordnung klein sind): 2.4.1Schubspannungen infolge Querkraftbelastung Aus einem auf Biegung und Querkraftschub beanspruchten Balken schneiden wir ein Element dz heraus und betrachten eine Schicht im Abstand y mit den Abmessungen dy, b(y), dz und tragen die aus den Spannungen resul- tierenden Schnittgrößen an (Bild 2.51). zy dAdz yz dzb(y)dy = 0. a a Bild 2.51 Ende ?

86 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 235 Gesetz von der Gleichheit zugeordneter Schubspannungen: Schubspannungen in senkrecht aufeinander stehenden Flächen sind gleich groß und entweder auf die gemeinsame Kante zugerichtet oder von ihr weggerichtet (vgl. Bild 2.51). zy = yz Mit dA=dy b(y) folgt Gesetz von der Gleichheit zugeordneter Schubspannungen (2.49) Zur Berechnung der Schubspannungen führen wir am Element dz einen Schnitt bei y = konst. und betrachten das untere abgeschnittene Teilsystem mit der Querschnittsfläche A y. An den Schnittstellen des abgeschnittenen unteren Teils werden wieder die aus den Spannungen resultierenden Schnittgrößen angetragen (siehe Bild 2.52). dz S y, x z M bx F Qy AyAy d b(y) b( z dA zy dA dA= b( d dz S y x z y b(y) AyAy Bild 2.52 Schnitt bei y = konst.; Teilsystem mit Belastungen Kräftegleichgewicht in z-Richtung am abgeschnittenen Teilsystem liefert: Mit dem Gesetz über die zugeordneten Schubspan- nungen (2.49) folgt: Ende ?

87 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 236 folgt für die Schubspannung bei Annahme eines konstanten Querschnitts Mit der Spannungsgleichung (2.32) und der differentiellen Beziehung zwischen dem Biegemoment und der Querkraft (vgl. Kapitel 1.6.3, S 95) und y b(y) AyAy S x F Qy SAySAy y SAy (y) y Rand Bild 2.53 Berechnung von S x (y) Mit dem auf die x-Achse bezogenen statischen Moment S x (y) der bei y abgeschnittenen Fläche A y (siehe Bild 2.53) wird die Schubspannung: (2.51) (2.50) Beachte: Die im Querschnitt bei y = konst. ermittelte Schubspannung zy in y-Richtung ist auch in einem Längsschnitt in z-Richtung des Balkens in gleicher Größe vorhanden (wegen yz = zy ). Diese Schubspannun- gen verhindern das gegenseitige Verschieben der Trägerschichten. Bei geklebten, geschweißten, genieteten usw. Schichten müssen die Schubspannungen durch diese Verbindungselemente aufgenommen werden. Ende ?

88 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 237 Beispiel 2.11 Querkraftschubspannungen für Kragträger mit Rechteckquerschnitt F max Beachte: Die Schubspannung max muß vom Material des Trägers in der Schicht y=0 über- tragen werden. Für den Kragträger (Bild 2.54) gilt: F Qy = F F y z h b x y S Damit ergibt sich aus (2.51) für die Schubspannung der folgende quadratische Verlauf (siehe Bild 2.55): F Qy x y mit den markanten Werten max = 0 F Würde der Träger aus zwei lose übereinanderliegenden Teilen bestehen ( in der Kontaktebene), so würden sich diese bei der Biegung gegeneinander verschieben. Das statische Moment S x (y) wird nach Gleichung (2.50) Bild 2.54 Kragträger Bild 2.55 Schubspannungs- verlauf aus F Qy im Rechteckquer- schnitt AyAy SAySAy Ende ?

89 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 238 F y,v z Bild 2.57 Gleitungen infolge Querkraftschubbelastung 2.4.2Abschätzung der Verformungen infolge Querkraftschub Mit dem H OOKE schen Gesetz (siehe Kapitel , Gleichung (2.15)) lässt sich mit der Schub- spannung zy nach Gleichung (2.51) für einen auf Querkraftschub beanspruchten Balken die Gleitung (Winkeländerung) wie folgt berechnen: (2.52) dz a) Verformtes Element infolge der Querkraftschubspannungen y,v z zy (y,z)+d zy zy (y,z) v(z) dv(z) zy =0 dz zy max b) Annahme im Querschnitt z: zy = m (z), zy = m (z) y,v z m (z)+d m m (z) v(z) dv(z) m (z) dz Da das statische Moment S x und gegebenenfalls auch die Breite b Funktionen von y sind, ist die Gleitung ebenfalls von y abhängig, und es kommt deshalb zu einer Verwölbung des Querschnitts (siehe Bild 2.57 a). Die Gleitung zy hat nach Gleichung (2.52) den gleichen funktionellen Verlauf wie die Schubspannung zy. Um eine Abschätzung der Verschiebung infolge der Schubspannungen aus den Querkräften zu erhalten, wird für jeden Querschnitt z eine mittlere Winkeländerung m (z) und eine mittlere Schubspannung m (z) angenommen (vgl. Bild 2.57 b). Ende ?

90 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 239 Aus dem Bild 2.57 b) ergibt sich der folgende Zusammenhang zwischen der Verschiebung v(z) und der mittleren Gleitung m : Mit dem H OOKE schen Gesetze für den reinen Schub (2.15) infolge der mittleren Schubspannung m folgt daraus (2.53) Ist m (z) bekannt, kann aus dieser DGL 1. Ordnung eine Näherungslösung für die Verschiebung v(z) infolge Querkraftschubbelastung ermittelt werden. Im einfachsten Fall bestimmt man die mittlere Schubspannung aus dem Quotienten von Querkraft F Qy und der Querschnittsfläche A und korrigiert den Wert mit einem Korrekturfaktor (Schubverteilungszahl), der den Einfluss der speziellen Querschnittsgeometrie auf die mittlere Schubspannung berücksichtigt. Hinweis: Eine genauere Berechnung der mittleren Schubspannung m kann dadurch erfolgen, dass die Gleichheit der Formänderungsenergie des realen und des gemittelten Schub- spannungszustandes gefordert wird. Ohne weitere Herleitung soll hier das Ergebnis angegeben werden. (2.54) mit Schubverteilungszahl(2.55) Ende ?

91 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 240 Die Integration von Gleichung (2.54) liefert die gesuchte Verschiebung. (2.56) A-Querschnittsfläche c-Integrationskonstante, die aus einer Randbedingung bestimmt werden muss. Beachte: Die Gleichung (2.56) zur Berechnung von v(z) infolge der Querkraftschubspannungen gilt nur für reine Querkraftbelastung (die es streng genommen nicht gibt) und konstanten Querschnitt. Für kleine Verformungen und schwach veränderliche Querschnitte kann diese Gleichung aber auch für Querkraftbiegung mit ausreichender Genauigkeit verwendet werden. Die Schubverformungen können für lange Träger (Querschnittsabmessungen sehr viel kleiner als die Länge des Trägers) gegenüber den Biegeverformungen im Allgemeinen vernachlässigt werden (siehe das folgende Beispiel). F Qy = F, Es gilt (vgl. Bild 2.58 und Beispiel 2.11): A = b h, Beispiel 2.12 Verformungen infolge Querkraftschubbeanspruchung F y, v z l Gegeben:F, l, b, h, E, G Gesucht:Maximale Schubverformung v Smax durch die Querkraft und Vergleich mit der maximalen Biegeverformung v Bmax b h x y Querschnitt: dA=b dy Bild 2.58 Kragträger Ende ?

92 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 241 Die durch F hervorgerufene maximale Biegeverformung (siehe Beispiel 2.9, Hinweis am Ende) hat die Größe und wir erhalten aus Gleichung (2.56) Damit ergibt sich für die Schubverteilungszahl nach Gleichung (2.55) Die Integrationskonstante folgt aus der Randbedingungv S (z=0) = 0 c = 0 Damit wird die reine Schubverformung v S (z) und die maximale Schubverformung v Smax am Trägerende bei z = l (siehe Bild 2.59): und Gesamtverformung am Trägerende: Beachte: Der Faktor (h/ l ) 2 in der Gesamt- verformung v max macht für lange Träger den zweiten Klammerausdruck (das ist der Schubverformungsanteil) sehr viel kleiner als 1, so dass dieser Anteil gegenüber der 1 (Biegeanteil) vernachlässigt werden kann. F Bild 2.59 Schubverformung Ende ?

93 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 242 z MtMt MtMt c) z b) z B A A B MtMt MtMt 2.5Torsion Das Ziel dieses Kapitels ist die Berechnung der Spannungen und Verformungen in geraden Stäben infolge eines Torsionsmomentes M t. Bei einer Torsionsbeanspruchung werden die Stäbe um ihre Stabachse z ver- dreht. Abhängig von der Querschnittsgeometrie kann es dabei auch Verfor- mungen (Verwölbungen) in Richtung der Stabachse geben. Das folgende Bild 2.60 zeigt drei typische Fälle der Torsionsverformungen in Abhängigkeit von der Querschnittsgeometrie. Kreis- und Kreisringquerschnitte: Querschnitte bleiben eben (Punkt P vor und nach Verformung in der gleichen Ebene; keine Verwölbung)! Allgemeine offene und geschlossene Querschnitte: Querschnitte verwölben sich im Allgemeinen (Punkte A verschieben sich in z-Richtung; Punkte B entgegen der z-Richtung)! MtMt verformte (verwölbte) Profilmittellinie A B Verwölbung verhindert z a) Bild 2.60 Torsion eines: a) Kreisquerschnitts, b) dünnwandigen offenen Querschnitts, c) Rechteckquerschnitts MtMt MtMt P Ende ?

94 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 243 Die Querschnittsform bleibt bei der Torsion erhalten. Die Querschnitte verdrehen sich wie starre Scheiben gegeneinander und bleiben eben. Es liegt reine Torsionsbeanspruchung vor. Das Torsionsmoment M t ist konstant und die Resultierende der in tangentialer Richtung verlaufenden Schubspannungen z = (siehe auch Bild 2.62). Die Torsionsverformung wird durch den Verdrehwinkel beschrieben, der im gleichen Drehsinn wie das Torsionsmoment M t am positiven Schnittufer positiv gezählt wird (siehe Bild 2.61). Die Balkenachse (z-Achse) ist gerade und die Querschnittsgeometrie unabhängig von z. Hinweis: Der Aufwand zur Berechnung der Spannungen und Verformungen infolge Torsionsbean- spruchung hängt wesentlich von der Querschnittsgeometrie des Stabes ab. Wir beschränken uns nachfolgend auf den einfachsten Fall der in der Praxis häufig vorkommenden Kreis- und Kreisringquerschnitte (z. B. Wellen, Achsen, Rohre) Torsion von Stäben mit Kreis- und Kreisringquerschnitten Annahmen und Voraussetzungen In diesem Kapitel sollen folgende Annahmen und Voraussetzungen gelten: Ende ?

95 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 244 Aus dem H OOKE schen Gesetz (2.12) folgt mit Gleichung (2.57) für die Torsionsschubspannung (2.58) An dem differentiellen Element in Bild 2.61 kann für kleine Verformungen der folgende Zusam- menhang zwischen der Gleitung und dem Verdrehwinkel abgelesen werden: MtMt R r verformte Mantellinie differentielles Element aus dem Stab links: dz z r d z z z z d z dz Bild 2.61 Verformungen eines auf Torsion beanspruchten Kreisquerschnitts Berechnung der Torsionsspannung Mit der Drillung folgt aus dieser Formel Drillung (Verdrehwinkel pro Längeneinheit) (2.57) Beachte: Wir erkennen aus (2.58) bereits, dass die Schubspannung (r) linear von r abhängig ist. Sie wird bei r = 0 Null und hat für r = R ihren größten Wert (siehe auch Bild 2.62). Ende ?

96 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 245 Hinweis: Zum polaren Flächenträgheitsmoment siehe Kapitel , S 134. Danach gilt: r dA R (r) dA ma x (r) MtMt Bild 2.62 Torsionsschubspannung Die noch unbekannte Drillung kann aus einer Äquivalenz- bedingung zwischen dem Torsionsmoment M t und dem resultierenden Moment der Schubspannungen z = bestimmt werden. Es muss gelten (vgl. Bild 2.62): (2.59) Mit der Abkürzung polares Flächenträgheitsmoment (2.60) folgt aus Gleichung (2.59) bzw. nach der Drillung aufgelöst (2.61) (2.61) in (2.58) eingesetzt liefert die Torsionsschubspannung für Kreis- und Kreisringquerschnitte (2.62) Kreisquerschnitt (Durchmesser d): (2.63) Ende ? Kreisringquerschnitt (Außendurchmesser D, Innendurchmesser d): (2.64)

97 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 246 Die maximalen Torsionsschubspannungen für Kreis und Kreisringquerschnitte treten am Außenrand auf und betragen (siehe dazu auch Bild 2.62): Hinweis: Man beachte die schöne Analogie zur Berechnung der Biegespannungen: Beachte: Die Gleichungen zur Berechnung der Torsionsschubspannung (2.62) und (2.65) gelten streng genommen nur, wenn gilt: M t = konst. und I t = konst. Auch bei einer schwachen Veränderlichkeit dieser Größen können die Gleichungen mit ausreichender Genauigkeit für praktische Berechnungen verwendet werden. Es gilt: Torsion: Biegung: bzw. (2.68) Das Torsionswiderstandsmoment folgt aus Gleichung (2.62) mit r = r max zu W t = I P /r max. Für Kreis und Kreisringquerschnitte erhalten wir damit: (2.65) mit W t = Torsionwiderstandsmoment für Kreisquerschnitt (Durchmesser d) (2.66) für Kreisringquerschnitt (Außendurchmesser D, Innendurchmesser d). (2.67) Ende ?

98 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: Berechnung der Verformung (Verdrehwinkel ) Aus den Gleichungen (2.57) und (2.61) erhalten wir den folgenden Zusammenhang zwischen der Drillung, dem Verdrehwinkel und dem Torsionsmoment M t : (2.69)mit GI P = Torsionssteifigkeit Die Integrationskonstante C in (2.70) kann aus einer Randbedingung berechnet werden. Beachte: Die Gleichungen zur Berechnung der Torsionsverformungen (2.70) und (2.71) gelten streng genommen nur, wenn gilt: M t = konst. und I t = konst. Aber auch bei einer schwachen Veränderlichkeit dieser Größen können sie mit ausreichender Genauigkeit für praktische Berechnungen verwendet werden. Es gilt dann: Aus Gleichung (2.69) kann durch Integration der Verdrehwinkel berechnet werden (vgl. die Analogie zur Verformungsberechnung bei der Zug/Druck-Beanspruchung (Kapitel ): (2.70) (2.71) bzw. (2.72) MtMt MtMt l z (z) Bild 2.63 Relativer Verdrehwinkel Relativer Verdrehwinkel Der relative Verdrehwinkel zweier Querschnitte im Abstand l ist wie folgt definiert (vgl. Bild 2.63): Ende ?

99 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 248 Torsionsmomentenverlauf: Aus den Gleichgewichtsbedin- gungen für die Momente um die Längsachse am jeweils rechten Teilsystem folgt: Beispiel 2.13 Abgesetzter Torsionsstab l1l1 D d B A C l2l2 MBMB MCMC M t -Verlauf + 2,4 kN m - 0,6 kN m M t (z 2 ) z2z2 z1z1 M t (z 1 ) Bild 2.64 Torsionsstab mit Momentenverlauf Gegeben:D = 60 mm, d = 40 mm, l 1 = 1 m, l 2 = 1,5 m M B = 3 kN m, M C = 0,6 kN m G = 0,8·10 5 N/mm 2 Gesucht:Betragsmäßig größte Torsionsschub- spannung und Verlauf des Verdrehwinkels M t (z 1 ) = M B - M C = 2,4 kN m M t (z 2 ) = - M C = - 0,6 kN m Maximale Schubpannungen: Mit der Gleichung (2.66) für das Torsionswiderstandsmoment und der Gleichung für die maximale Torsionsspannung (2.65) ergeben sich die in den zwei Bereichen auftretenden maximalen Torsionsschubspannungen zu: 1. Bereich:Mit folgt 2. Bereich:Mit folgt Damit tritt die vom Betrag größte Torsionsschubspannung im 1. Bereich auf und beträgt Ende ?

100 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 249 Verlauf des Verdrehwinkels: Mit der Gleichung (2.63) für das polare Flächenträgheitsmoment und der Gleichung (2.70) für den Torsionswinkel erhalten wir für die zwei Bereiche: 2. Bereich: 1. Bereich: Die Integrationskonstanten bestimmen wir aus den folgenden zwei Randbedingungen: Einsetzen der Integrationskonstanten in die Funktionen für die Torsionswinkel liefert: 1. Bereich: 2. Bereich: Die Werte an den Bereichsenden ergeben sich zu: Der Verlauf des Verdrehwinkels ist in Bild 2.64 dargestellt. - 1,21º + 1,35º -Verlauf l1l1 D d B A C l2l2 MBMB MCMC z2z2 z1z1 Bild 2.64 Torsionsstab mit Verlauf des Torsionswinkels Ende ?

101 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 250 Gegeben:M t = 2 kN m, zul = 160 N/mm 2 Material und Stablänge sind für beide Stäbe gleich! Gesucht:1. Durchmesser D V und D R 2. Verhältnis des Materialeinsatzes 3. Verhältnis der relativen Verdrehwinkel Beispiel 2.14 Vergleich von Voll- und Rohrquerschnitt bei Torsionsbelastung DVDV MtMt DRDR MtMt 1. Bestimmung von D V und D R (Dimensionierung): a) Vollquerschnitt: Aus (2.65) folgt b) Rohrquerschnitt: Aus (2.65) folgt Wir wählen: D V = 40 mm Wir wählen: D R = 57 mm Bild 2.65 Voll- und Rohrquerschnitt Ende ?

102 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: Verhältnis des Materialeinsatzes: Bei dem Rohrquerschnitt werden nur 38,6% Material gegenüber einem Vollquerschnitt bei gleicher maximaler Torsionsschubspannung benötigt. Das Verhältnis des Materialeinsatzes ist gleich dem Verhältnis der Querschnittsflächen. Wir erhalten: 3. Verhältnis der relativen Verdrehwinkel: Mit dem relativen Verdrehwinkel nach Gleichung (2.71) und den polaren Flächenträgheits- momenten nach den Gleichungen (2.63) und (2.64) und erhalten wir für das gesuchte Verhältnis der relativen Verdrehwinkel Bei dem Rohrquerschnitt beträgt der Verdrehwinkel nur 70,5 % des Verdrehwinkels des Vollquerschnitts bei gleicher Länge, gleicher Belastung, gleichem Material und bei gleicher maximaler Torsionsschubspannung. Ende ?

103 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 252 Beispiel 2.15 Welle-Rohr-Verbindung (statisch unbestimmt) a D a d BA CMCMC D i starr Rohr Welle B CMCMC z MWMW MRMR Bild 2.66 Welle-Rohr-Verbindung Gesucht:1.Aufteilung des Momentes M C auf Welle und Rohr 2.Verdrehwinkel bei B Zwei Torsionsstäbe (Welle, Rohr) sind bei A eingespannt und bei B mit einer starren Scheibe, über die das Gesamtmoment M C eingeleitet wird, verbunden. Wir schneiden die Welle und das Rohr. An der Schnitt- stelle der Welle wird das Torsionsmoment mit M W und an der Schnittstelle des Rohres mit M R (siehe Bild 2.66) bezeichnet. Die Momentengleichgewichtsbedingung um die Längs- achse am Schnittbild liefert: : M C - M W - M R = 0 (1) Beachte: In der Gleichgung (1) sind die beiden Schnittgrößen M W und M R unbekannt. Die Aufga- be ist einfach statisch unbestimmt! Zur Lösung des Problems müssen Verformungsbetrach- tungen angestellt werden. Welle: (2) Rohr: (3) Mit dem Torsionsmoment in der Welle M W und im Rohr M R werden die Verdrehwinkel von Welle und Rohr nach Gleichung (2.70) berechnet. Wir erhalten: Ende ?

104 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 253 Für die Ermittlung der vier Unbekannten M R, M W, C 1 und C 2 benötigen wir neben der Gleichung (1) noch drei weitere Gleichungen, die wir aus den folgenden Randbedingungen erhalten: 1. W (z=0) = 0 2. R (z=0) = 0 3. R (z=a) = W (z=a) C 1 = 0 C 2 = 0 Mit den Gleichungen (1) und (4) haben wir zwei Gleichungen zur Berechnung der unbekannten Schnittgrößen in der Welle und im Rohr. Der Verdrehwinkel bei B kann mit den jetzt bekannten Schnittgrößen M W bzw. M R aus (2) oder (3) berechnet werden. Wir erhalten: Die Auflösung der Gleichungen liefert: Ende ?

105 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: Hinweise zur Torsion allgemeiner Querschnitte Die im Kapitel vorgestellten Formeln für Torsionspannungen und Torsionsverformungen gelten nur für Kreis- und Kreisringquerschnitte.Die im Kapitel vorgestellten Formeln für Torsionspannungen und Torsionsverformungen gelten nur für Kreis- und Kreisringquerschnitte. Für andere Querschnittsformen müssen spezielle Formeln hergeleitet werden, wobei zwischen S AINT -V ENANT scher Torsion (Verwölbungen können sich frei ausbilden) und Wölbkrafttorsion (Verwölbungen sind behindert) unterschieden werden muss. Eine besondere praktische Bedeutung kommt den dünnwandigen offenen Querschnitten zu. Die Torsionsschubspannungen und die Verformungen sind hier wesentlich größer als bei anderen Querschnittsformen. Infolge erheblicher Querschnittsverwölbungen, die bei einer Torsionsbeanspruchung auftreten (siehe Bild 2.60, b), ergeben sich bei einer Behinderung der Verwölbung (z. B. infolge einer Einspannung) sehr großen Normalspannungen in z-Richtung. Unter der Voraussetzung einer S AINT -V ENANT schen Torsion lassen sich die für Kreis- und Kreisringquerschnitte hergeleiteten Formeln für die Berechnung der maximalen Torsionsschub- spannungen und der Verdrehwinkel auch für allgemeine Querschnittsformen verallgemeinern: Beachte:Das Produkt GI t ist die Torsionssteifigkeit. I t und W t sind in Abhängigkeit von der Querschnittsgeometrie zu berechnen (siehe Tabelle 2.8 auf der folgenden Seite). Nur für Kreis- und Kreisringquerschnitte gilt I t I P. mitW t -Torsionwiderstandsmoment (2.73) (2.74) mit I t -Torsionsträgheitsmoment Ende ?

106 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 255 QuerschnittsartBerechnung von I t und W t Tabelle 2.8 Berechnung von I t und W t in Abhängigkeit von der Querschnittsgeometrie allgemeine I t und W t aus einer Torsionsfunktion, für die eine P OISSON sche Differential- gleichung zu lösen ist. Modifizierte B REDT sche Formeln. dünnwandig, mehrzellig Näherungsformeln: dünnwandig, offen i lili dünnwandig, ein- oder mehrzellig und offen Teile l0l0 l0l0 Im Allgemeinen Vernachlässigung der offen Teilabschnitte l 0. Begründung: siehe folgendes Beispiel. B REDT sche Formeln: A m = von Profilmittellinie eingeschlossene Fläche dünnwandig, einzellig s AmAm Ende ?

107 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 256 Beispiel 2.16 Torsion dünnwandiger offener und geschlossener Querschnitte Für einen dünnwandigen Stab mit geschlossenem bzw. in Längsrichtung aufgeschlitztem Kreisringquerschnitt (Bild 2.67) sollen die maximalen Torsionsschub- spannungen und die relativen Verdrehwinkel der End- querschnitte allgemein ermittelt und für R/ = 10 mit- einander vergleichen werden. l MtMt MtMt R R a) b) und Bild 2.67 Geschlossener und geschlitzter Kreisringquerschnitt bei Torsion a) Geschlossener Kreisringquerschnitt: Die Berechnung des Torsionsträgheitsmomente I t und des Torsionswiderstandsmomentes W t soll hier mit Hilfe der B REDT schen Formeln (siehe Tabelle 2.8) erfolgen. Es wird: Die maximale Schubspannung folgt aus Gleichung (2.73) und der relative Verdrehwinkel aus Gleichung (2.71), in die bei Kreisquerschnitten GI P = GI t eingesetzt wird. Wir erhalten: Hinweis: Die Berechnung für den geschlossenen Kreisring kann natürlich auch wie in Kapitel für Kreis- und Kreisringquerschnitte durchgeführt werden. Zur Übung sollte man die Vergleichsrechnung einmal durch- führen. Je geringer die Wandstärke des Kreisringes wird, um so besser stimmen die Ergebnisse mit den hier nach den B REDT schen Formeln berechneten Ergebnissen überein. Ende ?

108 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 257 b) Geschlitzter Kreisringquerschnitt: Die Berechnung des Torsionsträgheitsmomentes I t und des Torsionswiderstandsmomentes W t erfolgt nach den Näherungsformeln aus Tabelle 2.8 für dünnwandige offene Querschnitte. Für die maximale Schubspannung und den relativen Verdrehwinkel erhalten wir: und Wir vergleichen die Ergebnisse am anschaulichsten miteinander, wenn wir das Verhältnis der maximalen Spannungen und der relativen Verdrehwinkel aufschreiben. Wir erhalten: und Wir erkennen, dass für dieses Beispiel die maximale Spannung im Torsionsstab mit offenem Querschnitt (ansonsten aber identischen Werten) 30-mal größer ist und der Verdrehwinkel sogar 300-mal größer ist als im geschlossenen Kreisringquerschnitt. Schlussfolgerung: Das Ergebnis ist typisch und zeigt das geringe Vermögen dünnwandiger offener Querschnitte Torsionsmomente zu übertragen. Ende ?

109 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: Scherbeanspruchung Das Ziel dieses Kapitels ist die Berechnung der Scher- oder Abscherspannungen a infolge von unendlich dicht nebeneinander liegenden parallelen und entgegengesetzt gerichteten Querbelastungen, die eine Querschnittsfläche (Scherfläche) auf Schub belasten (Verformungs- berechnungen werden bei Scherbeanspruchungen in der Regel nicht durchgeführt). Scherbeanspruchungen trete bei entsprechender Belastung vorrangig bei Schneidvorgängen, Niet-, Bolzen-, Schweiß- und Klebeverbindungen auf. Einige typische Scherbeanspruchungen sind in Bild 2.68 dargestellt. Schneiden, FSFS FSFS ASAS Nietverbindung FSFS A S = 1 / 4 d 2 FSFS d Schweiß- bzw. Klebeverbindung FSFS FSFS A S =Schweißnahtfläch e bzw. Klebefläche d h FSFS A S = dh Stanzen Bild 2.68 Beispiele für typische Scherbeanspruchungen Ende ?

110 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 259 b)System mit vorrangiger Scherbeanspruchung: Schereinfluss >> Biegeeinfluss (Biegeeinfluss meist vernachlässigbar! Hinweis: Eine reine Scherbelastung liegt nach unserer Definition nur für z = 0 vor (vgl. Bild 2.69 b). Praktisch ist dieser Fall aber kaum zu realisieren, so dass immer ein kleiner Biegeanteil vorhanden ist und auch Querkraftschubbelastungen auftreten werden. Bild 2.69 Querkraftschub und Scherbeanspruchung a)System mit vorrangiger Biege- und Querkraftschubbeanspruchung: Biegeeinfluss >> Querkrafteinfluss (Querkrafteinfluss meist vernachlässigbar) F A l z 0 F A l z y Gefahr der Zerstörung durch Abscheren! F F A = F A M A = F l F A z 0 F A = F M A = F z M A 0 Bevor wir die Berechnung der Scherspannung behandeln, soll die Frage geklärt werden, was die Scherbeanspruchung von der Querkraftschubbeanspruchung (vgl. Kapitel 2.4) unterscheidet. Der Unterschied soll an Hand des folgenden Beispiels (siehe Bild 2.69) verdeutlicht werden. Ende ?

111 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 260 Näherungsweise Berechnung der Scherschubspannungen Zur näherungsweisen Berechnung der Scherschubspannungen machen wir noch folgende Annahmen: Es wird eine reine Scherbeanspruchung angenommen (Abstand der Scherkräfte ist Null, z. B. z = 0 im Bild 2.69 b). Der in Wirklichkeit komplizierte räumliche Spannungszustand bleibt unberücksichtigt, da die Scherbeanspruchung überwiegt. Ist der Abstand zwischen den Scherkräften nicht Null (aber klein), so kann der Biegeeinfluss im Allgemeinen vernachlässigt werden. Die über eine Scherfläche A S übertragene Scherkraft F S verursacht konstante Scherspan- nungen a. Das ist ein angenommener Mittelwert einer tatsächlich komplizierter verteilten Schubspannung (vgl. z. B. Kapitel 2.4 Querkraftschub). Es folgt damit für die Scherschubspannung a bzw. für den Spannungsnachweis gegen Abscheren: (2.75) Ende ?

112 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 261 F/2 F d Die Scherkraft F S und die Scherfläche A S in der Bolzenverbindung betragen jeweils (siehe Schnittdarstellung in Bild 2.70) Scherkraft: F S = F Scherfläche: A S = d· l Beispiel 2.17 Scherbeanspruchung einer Bolzenverbindung Bild 2.70 Scherbeanspruchung einer Bolzenverbindung A S = 1 / 4 d 2 F/2 F F S =F/2 Damit erhalten wir für die Scherschubspan nung bzw. für einen Spannungsnachweis gegen Abscheren aus Gleichung (2.75): Mit Gleichung (2.75) folgt für die Scherschubspannung Beispiel 2.18 Klebe- bzw. Lötverbindung von Rohren Bild 2.71 Klebe- bzw. Lötverbindung von Rohren l F F A S = d ·l d Ende ?

113 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 262 Beispiel 2.19 Stanzen eines Blechteils Welche Schnittkraft ist zum Stanzen des abgebildeten Blechteils (Bild 2.72) notwendig? Gegeben: Blechdicke 0,8 mm, aB = 200 N/mm 2 Schnittkraft: F S 22,1 kN A S = (2·23 + 2·26 + 4·10)·0,8 mm 2 Bild 2.72 Blechteil Scherfläche: A S = l S ·hmit l S - Schnittlänge A S = 110,4 mm 2 Eine Abschätzung der erforderlichen Schnittkraft erhalten wir aus Gleichung (2.75), indem wir für zul die gegebene Bruchspannung aB einsetzen und die Gleichung nach F S auflösen. Es wird: Ende ?

114 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: Zusammengesetzte Beanspruchung Bisher haben wir immer angenommen, dass nur jeweils eine Grundbeanspruchung (Zug/Druck, Biegung, Torsion, Querkraftschub oder Abscherung) vorliegt. Bei den meisten praktischen Proble- men treten jedoch mehrere Grundbeanspruchungen gleichzeitig im Bauteil auf. Wir sprechen dann von zusammengesetzter Beanspruchung. In diesem Kapitel wollen wir die Berechnung und Beurteilung der Spannungen vornehmen, wenn mehrere (in der Regel ungleichartige) Beanspruchungsarten gleichzeitig im Bauteil auftreten. Im Folgenden werden Spannungswerte (Vergleichsspannungen V ) ermittelt, die mit im Zug- versuch ermittelten zulässigen Spannungen zul eine Beurteilung des Bauteils erlauben. Tabelle 2.9 Grundbeanspruchungen bei Stäben und Balken GrundbeanspruchungSchnittgrößeSpannungsiehe Kapitel Zug/DruckFLFL z BiegungM bx, M by z und QuerkraftF Qx, F Qy zx, zy TorsionMtMt zx, zy ScherungFSFS zx, zy 2.6 gleichartige Spannungen Die Spannungen müssen in geeigneter Weise überlagert werden. Die zu überlagernden Spannungen können dabei gleichartige Spannungen (z. B. nur Normalspannungen in einer Richtung oder nur Schubspannungen in einer Ebene) oder ungleichartig Spannungen (z. B. Normalspannungen und Schubspannungen oder Normalspan- nungen, die in unterschiedlichen Richtungen wirken usw.) sein (vgl. auch Tabelle 2.9). Ende ?

115 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: Überlagerung gleichartiger Spannungen Satz: Gleichartige Spannungen in gleichen Schnittflächen lassen sich an einem Punkt wie Kräfte zu Resultierenden addieren. Mit z für die Zug/Druck-Beanspruchung nach Gleichung (2.19) und z für die zweiachsige Biegung nach Gleichung (2.41) ergibt sich die Gesamtnormalspannung somit zu: (2.76) Hinweis: Analog können auch gleichartige Schubspannungen (z. B. aus Torsion und Querkraftschub) überlagert werden. + + = Bild 2.73 Überlagerung gleichartiger Normalspannungen aus Zug/Druck und Biegung z FLFL y x MbyMby MbxMbx Ende ?

116 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: Mehrachsige Spannungszustände Sind nicht nur Normalspannungen in einer Richtung (vgl. z. B. Kapitel 2.7.1) sondern in mehreren Richtungen vorhanden, oder treten Normalspannungen und Schubspannungen gemeinsam auf, so sprechen wir von einem mehrachsigen Spannungszustand (vgl. Bild 2.8; dort ist ein räumlicher bzw. dreiachsiger Spannungszustand dargestellt). Problem: Die im Zug- bzw. Torsionsversuch ermittelten Materialparameter ( zul und zul ) gelten nur für den reinen einachsigen Zug- bzw. Torsionslastfall. Bei der Wirkung eines mehrachsigen Spannungszustandes zeigt die Praxis, dass ein Tragwerk auch dann zerstört werden kann, wenn die Einzelspannungen die Bedingung vorhanden zul und vorhanden zul erfüllen! Frage: Wie beurteilt man den Spannungszustand beim gleichzeitigen Auftreten verschiedener Spannungen? Für den Spannungsnachweis eines mehrachsigen Spannungszustandes muss dann die folgende Bedingung erfüllt sein: v zul (2.77) Lösung des Problems: Aus dem mehrachsigen Spannungszustand wird mit Hilfe von Spannungshypothesen (siehe Kapitel 2.7.3) eine so genannte Vergleichsspannung v berechnet, die dann mit der im Zugversuch ermittelten zulässigen Spannung zul verglichen wird. Ende ?

117 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 266 Bild 2.74 Bauteile mit näherungsweise ebenen Spannungszuständen Im Folgenden beschränken wir uns auf den ebene (zweiachsigen) Spannungszustand, der wie folgt gekennzeichnet werden kann: Beim ebenen Spannungszustand gibt es nur Spannungen in einer Ebene (z. B. in der (x,y)-Ebene die Spannungen x, y, xy, yx - vgl. Bild 2.75). Eine kleine Auswahl typischer Bauteile, in denen näherungsweise ein ebener Spannungszu- stand bei entsprechender Belastungen und Geometrie entsteht, ist in Bild 2.74 dargestellt. dA Dicke h x y dA x y Dicke h F x y dA Dicke h Scheiben Balken und Träger x y qyqy MtMt dA Dünnen Platten Platte dA x y Schale dA und Schalen Ende ?

118 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 267 x dx y dy x,u y,v z Dicke h Bild 2.75 Ebener Spannungszustand Beachte: z =0 xz = zx =0 yz = zy =0 y dxdz ( x +d x )dydz x dydz ( y +d y )dxdz yx dxdz xy dydz ( xy +d xy )dydz ( yx +d yx )dxdz YdV XdV dA Wir betrachten von den Bauteilen mit einem ebenen Spannungszustand ein differentielles Flächenelement dA (siehe Flächenelemente dA in den Beispielen von Bild 2.74) und der Dicke h. X, YVolumenkräfte dA = dx·dy dV = h· dA = h·dx·dy u, v -Verschiebungen in x- bzw. y-Richtung Es gilt für Bild 2.75 : Das Momentengleichgewicht um die zur z-Achse parallele Achse durch den Mittelpunkt des Elements liefert (bei Vernachlässigung der Größen, die von höherer Ordnung klein sind) das bereits bekannte Gesetz (siehe Kapitel 2.4.1, Gleichung (2.49)) Gesetz von der Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen(2.78) Die an diesem Element angreifenden Schnittgrößen und Belastungen sind für den ebenen Spannungszustand im Bild 2.75 dargestellt. Ende ?

119 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 268 Durch weitere Gleichgewichts- und Verformungsbetrachtungen am differentiellen Element lassen sich die Differentialgleichungen des ebenen Spannungszustandes ableiten. berechnen. und Hinweis: Für unterschiedliche Lagen des Bezugssystems (x,y) in Bild 2.75) ergeben sich unterschiedliche Spannungen für x, y und xy. Es wird aber in allen Fällen dadurch der gleiche Spannungszustand beschrieben! Wenn unterschiedliche Lagen des Bezugssystems unterschiedliche Spannungen ergeben, dann stellt sich sofort die Frage, wie groß die Spannungen unter einem beliebigen Winkel sind und für welchen Winkel die Spannungen Maximalwerte annehmen? Diese Frage soll zunächst an einem einfachen Beispiel - dem Zugversuch mit einem einachsigen Spannungszustand (Bild 2.76, siehe nachfolgende Seite) - geklärt werden. Aus diesen lassen sich dann unter Beachtung der Randbedingungen Ende ?

120 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 269 y l l x Dicke h x x y l l x x x Schnittführung Bild 2.76 Zugstab mit herausgeschnittenem Element A = l ·h x x x Asin x A x A A y Dicke h l x A A x x Acos Wir schneiden aus einem Zugstab ein keilförmiges Element heraus (siehe Bild 2.76) und schreiben dafür die Kraftgleichgewichtsbedingungen auf: : : (2.79) (2.80) Aus den Gleichungen (2.79) und (2.80) lassen sich für jede Winkellage die Normalspannung und die Schubspannung berechnen. und Die Maximalwerte dieser Spannungen ergeben sich aus den Bedingungen für Extremwerte dieser Spannungen Ende ?

121 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 270 Aus der ersten Bedingung für die Normalspannung folgt mit Gleichung (2.79) Die beiden Lösungen in (2.79) eingesetzt liefern für 1 = 0 die maximale Normalspannung und für 2 = /2 die minimale Normalspannung : und Aus der zweiten Bedingung für die Schubspannung folgt mit Gleichung (2.80) Die beiden Lösungen in (2.80) eingesetzt liefern für 1 = + /4 und für 2 = - /4 bis auf das Vorzeichen die gleiche Schubspannung. Es ergibt sich: und Die obigen zwei Feststellungen gelten allgemein auch für den mehrachsigen Spannungszustand (siehe nachfolgende Verallgemeinerung). Feststellung: Die maximale Schubspannung tritt unter einem Winkel von 45° gegenüber der maximalen Normalspannung auf. Wo die Normalspannung einen Extremwert hat, ist die Schubspannung Null. Ende ? Für diese Winkel ( 1 = 0, 2 = /2) wird nach Gleichung (2.80) die Schubspannung = 0.

122 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 271 Verallgemeinerung auf den ebenen (zweiachsigen) Spannungszustand: Wir betrachten für den ebenen Spannungszustand zwei keilförmige Elemente (Bild 2.77) mit einer um den Winkel (bzw. + /2) geneigten Schnittebene und schreiben für beide Elemente wieder zwei Kräftegleichgewichtsbedingungen auf, um daraus die Spannungen in den geneigten Schnitt- ebenen zu ermitteln. Bild 2.77 Spannungstransformation für den ebenen Spannungszustand x y x Acos y Asin xy Acos xy Asin A A Fläche A x y x Asin y Acos xy Acos xy Asin A A Fläche A xy = yx = Es folgt (die Rechnung sollte der Leser zur Übung selbst einmal durchführen): (2.81) (2.82) (2.83) Ende ?

123 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 272 Hinweis: Die Transformationsformeln (2.81) bis (2.83) für die Spannungen sowie die Extrem- wertbedingungen entsprechen genau denen für die Flächenträgheitsmomente. Deshalb können die dort gewonnenen Ergebnisse analog übertragen werden (vgl. Kapitel , S 141). Frage: Für welchen Winkel nehmen die Spannungen Extremwerte an und wie groß sind diese? Die Extremwerte für die Spannungen und können formal mit Hilfe ihrer ersten Ableitungen und aus den Gleichungen (2.81) bis (2.83) berechnet werden. Wir wollen hier die Lösung des Problems vereinfachen, indem wir den nachfolgenden Hinweis ausnutzen. Wir erhalten als Extremwerte der Spannungen die so genannten Hauptspannungen (Hauptnormalspannungen) 1 und 2 in Richtung der Hauptspannungsachsen 1 und 2, die gegenüber dem Ausgangssystem (x,y) um 01 bzw. 02 gedreht sind und die Hauptschubspannungen I und II in Richtung der Hauptschubspannungsachsen I und II (vgl. Gleichungen (2.84) bis (2.89) und Bild 2.78 sowie Bild 2.79). Ende ?

124 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 273 Hauptspannungen 1 und 2 : 01 x y Bild 2.78 Hauptspannungen (2.84) (2.85) mit Beachte: Da die Spannungen vorzeichenbehaftet sind, ist 1 = max nicht automatisch der vom Betrag maximale Spannungswert, sondern der nach der reellen Zahlenfolge größte Wert (z. B.: 1 = max = -50 N/mm 2, 2 = min = -90 N/mm 2 )! Richtungen 01 und 02 der Hauptspannungen : und (2.86) oder (2.87) Ende ?

125 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 274 Hauptschubspannungen I und II : 01 x y Bild 2.79 Hauptschubachsenlage Beachte: Die Hauptschubspannungen treten in Schnitten auf, die um die Winkel -45° bzw. +45° gegenüber der Hauptspannungsrichtungsachse 1 gedreht sind (Bild 2.79) und unterscheiden sich nur im Vorzeichen. (2.88) (2.89) Ende ?

126 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: Spannungshypothesen Der mehrachsige Spannungszustand wird mit Hilfe der folgenden Spannungshypothesen (Festigkeitshypothesen) auf eine so genannte Vergleichsspannung V zurückgeführt, die dann mit der im Zugversuch ermittelten zulässigen Spannung zul verglichen werden kann (vgl. einführende Bemerkungen zum Kapitel 2.7.2). Nachfolgend wird die Berechnung der Vergleichsspannung V für drei der bekanntesten Hypothe- sen vorgestellt. Dabei beschränken wir uns auf den ebenen (zweiachsigen) Spannungszustand. Hauptspannungshypothese Annahme:Der Bruch des Materials tritt ein, wenn die vom Betrag größte Normalspannung (deshalb auch die Bezeichnung Normalspannungshypothese) die zulässige Spannung zul überschreitet. Mit den Hauptnormalspannungen nach den Gleichungen (2.84) und (2.85) gilt für die Vergleichs- spannung nach der Hauptspannungshypothese: V1 = Maximum ( | 1 |, | 2 |) zul (2.90) Anwendungsbereich: Für Spröde Werkstoffe (z. B. Grauguß) Nachteil: Für zähe Werkstoffe liefert die Hauptspannungshypothese im Allgemeinen zu kleine Werte, d. h. man liegt auf der unsicheren Seite! Ende ?

127 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 276 Schubspannungshypothese Annahme:Es wird angenommen, dass die größte Schubspannung für den Bruch verantwortlich ist. Die größte Schubspannung für einen ebenen Spannungszustand ist nach (2.88) Um diese maximale Schubspannung mit einer zulässigen Normalspannung vergleichen zu kön- nen, ermitteln wir die maximale Schubspannung für einen Zugstab, der nur durch die Normal- spannung x = V2 belastet ist. Den Zusammenhang zwischen x und max haben wir bereits im Kapitel am Beispiel des Zugversuchs kennen gelernt. Er folgt natürlich auch aus der allge-meinen Gleichung (2.88) für den ebenen Spannungszustand mit y = 0 und xy = 0. Setzen wir hier die maximale Schubspannung für den ebenen Spannungszustand ein, so folgt für die Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese: (2.91) Anwendungsbereich: Für spröde Werkstoffe bei überwiegender Druckbelastung, in der Bodenmechanik (Sand), für sehr zähe metallische Werkstoffe mit ausgeprägtem Fließverhalten. Nachteil: Liefert oft zu große Werte! Es wird: Ende ?

128 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 277 Anwendungsbereich: für zähe Werkstoffe mit ausgeprägter Fließgrenze (z. B. Stahl), auch für Nichteisenmetalle, auch anwendbar bei dynamischer und wechselnder Beanspruchung, hat auch Bedeutung in der Plastizitätstheorie. Gestaltänderungshypothese (nach R. VON M IESES ) Annahme:Der Bruch ist von der Größe der Gestaltänderungsenergie abhängig. Der Spezialfall nach (2.94) trifft in der Regel für Träger und Balken immer zu, wobei sich die Normalspannung aus der Überlagerung der gleichartigen Spannungen aus Zug/Druck und zweiachsiger Biegung ergeben kann und die Schubspannung ebenfalls die Resultierende der gleichartigen Schubspannungen aus Querkraftschub und Torsion sein kann (vgl. Kapitel 2.7.1). Beachte: Die Gestaltänderungshypothese hat die größte Bedeutung von allen Hypothesen erlangt. Sie liefert in der Regel die besten Ergebnisse für die gebräuchlichsten Materialien im Maschinenbau (siehe Anwendungsbereiche und nachfolgenden Vergleich der Hypothesen). für Hauptspannungen: (2.93)Spezialfall für den einachsigen Spannungszustand ( x =, y = 0, xy = (2.94) Ohne Herleitung soll hier das Ergebnis für die Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungs- hypothese angegeben werden: (2.92) Ende ?

129 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 278 Die Gestaltänderungshypothese ist die am häufigsten benutzte Hypothese! Vergleich der Spannungshypothesen Wir wollen für den Spezialfall x =, y = 0 und xy =, der z. B. bei der Überlagerung von Biegung und Torsion in einem Träger auftritt, die Vergleichsspannungen nach den drei oben angegebenen Spannungshypothesen miteinander vergleichen. Gestaltänderungshypothese nach (2.94): Schubspannungshypothese nach (2.91): Es folgt für diesen Spezialfall: Hauptspannungshypothese nach (2.90) mit (2.84): Allgemein gilt in diesem Spezialfall für 0: V1 V3 V2 V1 = V2 = V3 und natürlich für = 0: Feststellung: Die Vergleichsspannung V3 nach der Gestaltänderungshypothese liegt zwischen den beiden anderen Hypothesen. Sie stimmt für die meisten Werkstoffe am besten mit den praktischen Erfahrungen überein. Ende ?

130 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 279 Beispiel 2.20 Getriebewelle mit einem schrägverzahnten Zahnrad FuFu FaFa FrFr M0M0 r a b A B C Bild 2.80 Getriebewelle mit Zahnrad Geg.: a = 80 mm, b = 120 mm, r = 40 mm M 0 = 120 Nm, zul = 120 N/mm 2 Nach der Verzahnungsgeometrie gilt: F a = F u tan, F r = (F u tan )/cos, = 20, = 10° Annahme: Die Querkraftschubspannungen seien vernachlässigbar klein! Ges.:Durchmesser d der Welle nach der Gestaltänderungshypothese. Aus 6 Gleichgewichtsbedingungen lassen sich die unbekannten Lagerreaktionen und F u berechnen: Wir können daraus zwei gefährdete Querschnitte erkennen: links von C (Maximum für F L, M bx, M by ) rechts von C (Maximum für M by, M t und großes M bx ) Damit lassen sich die Schnittgrößenverläufe ermitteln (siehe Bild 2.80). M 0 = 120 N m - M t F a = 529 N - F L FuFu FaFa FrFr M0M0 F Az F Ax F Ay F Bx F By FurFur FarFar z x y Ende ? + + F Ay a = 61,7 N m F By b = 40,6 N m F Ax a = 144 N m M bx M by FarFar

131 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 280 Beachte: Da es zwei gefährdete Querschnitte gibt, müssen wir zunächst für beide Querschnit- te eine Dimensionierung durchführen. Mit den Ergebnissen kann dann entschieden werden, welcher Durchmesser d gewählt werden muss, damit in keinem der beiden Querschnitten die Vergleichsspannung die zulässige Spannung zul überschreitet. Dimensionierung für den Querschnitt rechts von C: Mit den Schnittgrößen unmittelbar rechts von C (vgl. Bild 2.80) M t = -120 Nm M bx = 40,6 Nm M by = 144 Nm nach Gleichung (2.46) ergeben sich die maximalen Spannungen, die in zwei Punkten auf dem Umfang des Quer- schnitts auftreten aus den Gleichungen (2.47) bzw. (2.65) und (2.66) zu: (1) (2) Nach der Gestaltänderungshypothese (2.94) muss gelten: Mit (1) und (2) ergibt sich daraus: Ende ?

132 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 281 (2.95) mit Aus der letzten Gleichung folgt mit der Abkürzung M V3 Hinweis: Das Zwischenergebnis in Form von Gleichung (2.95) ist eine nützliche allgemeine Formel für die Berechnung von Wellen nach der Gestaltänderungshypothese unter Biege- und Torsionsbelastung. Die Gleichung (2.95) kann nach dem Widerstandsmoment (bei Dimensionierungsproblemen als erforderliches Widerstandsmoment bezeichnet), aufgelöst werden. Mit W b nach (1) folgt: Die Auflösung nach d erf liefert: Ende ?

133 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 282 Dimensionierung für den Querschnitt links von C: Mit den Schnittgrößen unmittelbar links von C (vgl. Bild 2.80) F L = -529 N M bx = 61,7 Nm M by = 144 Nm nach Gleichung (2.46) erhalten wir eine maximalen Normalspannung aus der Überlagerung der Zug/Druck- und der Biegespannung nach (2.76) mit (2.19) und (2.47) zu: mit und (3) Schubspannungen treten an dieser Stelle nicht auf, da das Torsionsmoment M t Null ist. Nach der Gestaltänderungshypothese (2.94) muss wieder gelten: Wegen der hier fehlenden Schubspannung erhalten wir daraus mit (3) die einfache Bedingung Mit A und W b aus (3) ergibt sich eine kubische Gleichung für den Durchmesser d erf : (4) Ende ?

134 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 283 Aus der Gleichung (4) erhält man die reelle Lösung 20 Schlussfolgerung: Da d erf rechts von C größer ist als links von C, muss die Getriebewelle nach dem größeren Durchmesser d erf 24,9 mm dimensioniert werden. Den Durchmesser, mit dem man die Getriebewelle tatsächlich fertigt, wird man in der Praxis nach bestimmten Gesichtspunkten (Vorzugsdurchmesser, einzuhaltende Normen, verfügbare Materialabmessungen, Sicherheiten usw.) etwas größer wählen, z. B. 20 Die Lösung einer kubischen Gleichung kann nach der Cardanischen Lösungsformel (siehe [2]) oder näherungsweise erfolgen. Hinweis: Will man die etwas aufwendigere Lösung der kubischen Gleichung (3) für d erf vermei- den, so kann man auch einen Spannungsnachweis nach der Gestaltänderungshypothese mit einem angenommenen Durchmesser führen. Wählt man zweckmäßig den rechts von C ermittelten erforderlichen Durchmesser d gew = d erf = 24,9 mm, so liefert der Spannungsnach- weis für die Stelle links von C: Ende ?

135 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 284 Hinweis: Der Anteil der Längskraft (in (5) der erste Summand in der Klammer) ist in diesem Beispiel sehr klein. Diese Feststellung kann dahingehend verallgemeinert werden, dass die Spannungen aus der Längskraft in vielen Fällen vernachlässigt werden können. Der hier nicht berücksichtigte Einfluss der Querkraftschubspannungen ist ebenfalls klein. Die Vernachlässi- gung dieser beiden Anteile wird durch das Wählen von d gew > d erf in der Regel abgefangen. (5) Das Ergebnis (5) des Spannungsnachweises besagt, dass die Welle links von C immer kleinere Spannungswerte nach der Gestaltänderungshypothese haben wird als rechts von C. Die Stelle rechts von C ist somit für die Dimensionierung maßgeblich, wie wir es mit der exakten Berech- nung oben bereits festgestellt hatten. Ende ?

136 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 285 F

137 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 286 Bild 2.83 Beulen einer schräg abgeschnittenen Schale (konstanter radialer Druck p von Außen) Radialdruck p Schale Schale mit konstantem Radialdruck x1x1 x2x2 x3x3 x1x1 x2x2 x3x3 x3x3 x2x2 x1x1 Gebeulte Schale in zwei Ansichten Die beim Stabilitätsverlust eintretenden Verformungen können auch wesentlich komplexere Formen haben, wie z. B. in Bild 2.83 und Bild 2.83/1 (mit Animation) dargestellt. Ende ?

138 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 287 Die folgende Animation (Bild 2.83/1, nicht im Lehrbuch) zeigt das Beulen einer Zylinderschale unter axialem Druck (vgl. Schale in Bild 2.82) bei Laststeigerung bis zur kritischen Axiallast und bei Rücknahme der Axiallast bis auf den Wert Null. In dem Diagramm ist der zum Verformungsbild gehörende aktuelle Zusammenhang zwischen Axiallast und Verkürzung der Schale dargestellt. Zur Ansicht der Animation auf das Bild klicken oder Datei schalenbeulen.avi mit geeignetem Media-Player öffnen. Ein weiterer Klick auf das Video stoppt dieses bzw. setzt die Wiedergabe fort oder wiederholt sie. Bild 2.83/1Animation: Beulen einer Schale (konstanter axialer Druck) Mit freundlicher Genehmigung von Martin Srubar (Dissertation, Universität Hannover, Institut für Baustatik, 1999) Ende ? Animation

139 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 288 Die Stabilität von komplexen Bauwerke, z. B. von Brücken, Kränen, Dachkonstruktionen usw. aus Fachwerkstäben, ist durch eine ausreichende Sicherheit gegen Knicken der auf Druck belasteten Stäbe zu gewährleisten. Das Versagen (Knicken) eines Druckstabes (vgl. Bild 2.84 und 2.84/1 auf der folgenden Seite) kann zum Versagen der gesamten Konstruktion führen. Versagen durch Knicken! Bild 2.84 Versagen einer komplexen Struktur (Fachwerkbrücke) durch Knicken eines Stabes Die große Bedeutung der Stabilität wird dadurch unterstrichen, dass der Nachweis der Stabilität für viele Bereiche der Technik durch Normen und Vorschriften verbindlich geregelt ist! Das Nichtbeachten von Stabilitätsproblemen hat schon zu großen Katastrophen geführt! Ein klassisches Beispiel dazu wird auf der folgenden Seite vorgestellt (nicht im Lehrbuch). Ende ?

140 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: Einsturz: Einsturz: 1916 Ein Mensch! Das Nichtbeachten von Stabilitätsproblemen führte in der Bauphase der Québec-Brücke in Kanada gleich zweimal zum Einsturz. Sie konnte dadurch erst dem Verkehr über- geben werden. Bild 2.84/1 Québec-Brücke, Kanada Längste Auslegerbrücke der Welt mit einer Spannweite von 549 m Ende ?

141 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: Ein einfaches Stabilitätsproblem F A c l starr A l v F FAFA MAMA Bild 2.85 Ein einfaches Stabilitätsproblem Wir betrachten einen auf Druck belasteten Stab, der an seinem Fußpunkt gelenkig gelagert ist und durch eine Spiralfeder im Gleichgewicht gehalten wird (Bild 2.85, links). Für derartige Untersuchungen ist das Aufschreiben der Gleich- gewichtsbedingungen am ausgelenkten System erforderlich, wobei die Auslenkungen noch als klein angenommen werden dürfen (Theorie 2. Ordnung). Wir wollen untersuchen, bei welcher Belastung F = F K (rich- tungstreue Kraft F vorausgesetzt) die Gleichgewichtslage mit vertikaler Stabachse in eine um den Winkel ausgelenkte Stabachse übergeht (Bild 2.85, rechts). mit M A = c· und v = l ·sin Aus der Momentengleichgewichtsbedingung A : F·v - M A = 0 folgt die Bedingung für das Gleichgewicht mit ausgelenkter Stabachse: F· l ·sin - c = 0 (2.96) Wir wollen nur kleine Winkel betrachten (Theorie 2. Ordnung), d. h. wir dürfen sin setzen (diese Vereinfachung bezeichnen wir als Liniearisierung). Es folgt: bzw. (F· l - c) = 0 F· l - c = 0 (2.97) Gleichung (2.97) ist eine so genannte Eigenwertgleichung (homogene Gleichung für die Auslenkung ). Ende ?

142 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 291 a) triviale Lösung für = 0 (also mit senkrechter Stabachse) und b) nichttriviale Lösung für (F· l - c)=0. Die Eigenwertgleichung (2.97) (F· l - c) = 0 hat folgende Lösungen: Aus der nichttrivialen Lösung b) folgt die so genannte kritische Kraft bei der das System plötzlich eine Gleichgewichtslage mit ausgelenkter Stabachse annimmt, wobei die Größe der Auslenkung wegen der Liniearisierung sin unbestimmt bleibt. Hinweis: Will man wissen, welche Auslenkung das System für Kräfte F > F K besitzt, so muss die nicht liniearisierte Gleichung (2.96) ausgewertet werden. Aus der grafischen Darstellung von Gleichung (2.96) in der Form folgen anschaulich für beliebige Winkel die möglichen Gleichgewichtslagen dieses Systems (vgl. nächste Seite). Ende ?

143 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 292 -stabil mit einer Auslenkung nach rechts oder links, wobei schon kleine Lasterhöhungen große Aus- schläge hervorrufen, wie man aus Bild 2.86 ablesen kann. Aus Bild 2.86 lassen sich folgende möglichen Gleichgewichtslagen in Abhängigkeit vom Winkel erkennen: Für F < F K (bzw. F l /c < 1) liegt immer stabiles Gleichgewicht vor. Vom so genannten Verzweigungspunkt (kritischer Punkt, F = F K bzw. Fl/c = 1) an kann das Gleich- gewicht -labil sein, wenn = 0 ist oder Die labile Gleichgewichtslage mit = 0 (gestrichelte Kurve in Bild 2.86) ist praktisch nicht von Bedeutung, da immer kleine Störungen vorhanden sind, so dass das System im Verzweigungs- punkt bei einer weiteren Laststeigerung in eine stabile Gleichgewichtslagen mit ausgelenkter Stabachse (ausgezogenen Zweige in Bild 2.86) übergehen wird. Ende ? in [ ] ,5 1 0,5 0 Bild 2.86 Gleichgewichtslagen stabil labil Verzweigungs- punkt

144 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 293 F A B l EIEI F F BV F BH FAFA verformter, ausgeknickter Stab z y, v F FQFQ FLFL z MbMb v(z) S Bild 2.87 Knickstab (2. E ULER -Fall), Gleichgewicht am verformten System 2.8.3E ULER -Fälle Typische Stabilitätsprobleme stellen auf Druck belastete Stäbe dar. Wir wollen zunächst einen beidseitig gelenkig gelagerten Stab mit einer richtungstreuen Druckkraft F betrachten (Bild 2.87) und die kritische Kraft ermitteln, bei der der Stab instabil wird (ausknickt). Beachte: Bei allen Stabilitätsuntersuchungen müssen die Gleichgewichtsbetrachtungen am verformten System aufgeschrieben werden. Soll nur die kritische Belastung ermittelt werden, so darf liniearisiert werden (Theorie 2. Ordnung, siehe auch Kapitel 2.8.2). Das Gleichgewicht am verformten Gesamtsystem liefert zunächst die Lagerreaktionen: F BH = F und F A = F BV = 0 Das Gleichgewicht am freigeschnittenen verformten Teilsystem liefert das Biegemoment M b (z) = F v(z) Unter der Voraussetzung kleiner Verformungen in der (y,z)-Ebene folgt nach der Differential- gleichung 2. Ordnung (2.37) mit diesem Biegemoment (2.98) Ende ?

145 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 294 Die Integrationskonstanten folgen aus den Randbedingungen: 1. v(0) = 0 c 2 = 0 (d. h. mit c 1 =0 bleibt die Stabachse gerade) c 2 ·sin( l) = 0 c 1 = 0 2. v( l ) = 0 sin( l) = 0 für c 2 0 (d. h. gekrümmte Stabachse) mit(2.99) wird Gleichung (2.98) (2.100) Die 2. Randbedingung wird somit bei gekrümmter Stabachse für erfüllt. sin( l) = 0 (2.102) Der kleinste von Null verschiedene Eigenwert ( l = 0 würde nach (2.99) F = 0 ergeben) l = liefert mit Gleichung (2.99) die kleinste kritische Kraft (2.104) l = 0,, 2, 3,... (2.103) Die Gleichung (2.102) ist die so genannte Eigenwertgleichung dieses Stabilitätsproblems mit den Eigenwerten l : Diese homogene Differentialgleichung hat die Lösung (2.101) Ende ?

146 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 295 Der Stab wird beim Erreichen dieser Druckkraft plötzlich ausknicken, wobei die Biegelinie nach Gleichung (2.101) mit c 1 = 0 und = / l die Form einer sin-Funktion annimmt (vgl. Bild 2.87). F l K = ½· l 4 F l K 0,6992· l 3 F l K = l 2 l F l K = 2· l 1 Bild 2.88 Knicklängen l K für die vier E ULER -Fälle mit Biegelinie für die kritische Kraft Verallgemeinerung Der oben vorgestellte Lösungsweg kann analog für andere Lagervarianten ange- wandt werden. Für drei weitere, in der Praxis häufig anzutreffende Lagerungen von Knickstäben lassen sich die Ergeb- nisse für die dazugehörenden kritischen Kräfte einheitlich darstellen. (2.105) mit l K = Knicklänge nach Bild 2.88 Diese insgesamt vier Lagerungsarten wer- den auch EULER-Fälle genannt. Für die kritische Kraft dieser vier EULER-Fälle gilt mit EI = konst. als Biegesteifigkeit bezüg- lich der Biegeachse beim Knicken: Die Größe der maximalen Auslenkung, die durch die Integrationskonstante c 2 bestimmt wird, bleibt unbestimmt. Wir erhalten für die Biegelinie des ausgeknickten Stabes Ende ?

147 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 296 Knickspannung Kurz bevor ein Stab ausknickt, ist die Stabachse noch gerade. Es herrscht daher im Moment des Ausknickens eine reine Druckbeanspruchung und für die kritische Druckspannung gilt: (2.106) Bei der Berechnung von F K nach E ULER haben wir elastisches Materialverhalten vorausgesetzt (Anwendung der Differentialgleichung 2. Ordnung). Das bedeutet: Die E ULER -Formeln gelten nur für elastisches Knicken ! Die Bedingung dafür ist: mit P = Proportionalitätsgrenze im Druckbereich (2.107) Diese Bedingung (2.107) für elastisches Knicken wird auch oft wie folgt umgeformt: Mit den Abkürzungen Schlankheitsgrad (reine geometrische Größe) (2.108) Trägheitsradius (2.109) Grenzschlankheitsgrad (reiner Materialparameter) (2.110) Ende ?

148 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 297 nimmt die Bedingung für das elastische Knicken die folgende einfache Form an: (2.111) Hinweis: Der Vorteil der Gleichung (2.111) liegt darin, dass mit der geometrischen Größe des Schlankheitsgrades sofort entschieden werden kann, ob elastisches Knicken eintritt oder nicht, da die Grenzschlankheitsgrade P für die gebräuchlichen Materialien in Tabellen verfüg- bar sind. Falls die Bedingung für elastisches Knicken nicht erfüllt ist, muss geprüft werden, ob eventuell ein Knicken im plastischen Bereich auftritt. Dafür gelten die so genannten T ETMAJER -Formeln, die hier aber nicht behandelt werden sollen. Ende ?

149 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 298 F A l2l2 l1l1 FSFS l FSFS Beispiel 2.21 Gelenkig gelagerter Druckstab Bild 2.89 Gelenkig gelagerter Druckstab Ein Stab wird über einen Hebel auf Druck beansprucht. Gesucht wird die kritische Last F = F krit, bei der der vertikale Stab knickt. Die gelenkige Lagerung des Stabes sei so konstru- iert, dass sie für jede Biegeachse gilt. Gegeben: l = 400 mm l 1 = 115 mm l 2 = 230 mm a = 1,48 mm b = 17,85 mm E = 2·10 5 N/mm 2 P = 92 F A l2l2 l1l1 l b a Knickachse: Achse mit I min Das Momentengleichgewicht um den Punkt A am freigeschnittenen Hebel liefert den Zusammenhang zwischen F und der Druckkraft F S des Stabes (vgl. Bild 2.89): A : (1) (2) Bei gelenkiger Lagerung für jede Biegeachse knickt der Stab zuerst um die Achse I min (siehe Bild 2.89). Wir prüfen, ob elastisches Knicken eintreten wird. Mit der Knicklänge K = l (2. E ULER -Fall) wird der vorhandene Schlankheitsgrad nach (2.108) Ende ?

150 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 299 Das Ergebnis von Gleichung (2) zeigt, dass Knicken im elastischen Bereich eintreten wird und wir deshalb die E ULER -Formel (2.105) anwenden dürfen. Aus dieser folgt die kritische Druck- belastung des Stabes (3) = 19,8 N Aus (1) folgt mit F S = F S krit nach (3) die gesuchte kritische Belastung zu: Ende ?

151 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 300 Beispiel 2.22 Dimensionierung von Fachwerkstäben bezüglich der Stabilität Das Fachwerk in Beispiel 1.13; S 84, das aus einheitlichen Stäben mit T-Querschnitt (DIN 1024, vgl. Tabelle 2.6) bestehen soll, ist so zu dimensionieren, dass keine Knickgefahr besteht. Die Fachwerkknoten seien ideale räumliche Gelenke. Gegeben: F = 50 kN, a = 2 m, a = 30 °, E = 2, N/mm 2, P = 240 N/mm 2 Die Stabkräfte liegen für dieses Fachwerk in der Tabelle 1.1; S 85 bereits vor. Die knick- gefährdeten Druckstäbe sind die Stäbe 1, 3, 8, 9 und 12. Für alle Druckstäbe gilt: Stablänge: l S = a/cos Knicklänge: l K = l S = a/cos (2. E ULER -Fall für das Knicken in jeder Richtung) Die Druckstäbe werden bei einer Belastung F Si > F K zuerst um die Achse ihres kleinsten Flächen- trägheitsmomentes ausknicken, wobei natürlich der Stab mit der größten Druckbelastung zuerst ausknickt. Das ist der Stab 1 mit der Stabkraft (vgl. Tabelle 1.1; S 85) Um ein Ausknicken dieses Stabes zu vermeiden, muss nach Gleichung (2.105) gelten (wir setzen dabei stillschweigend zunächst elastischen Knicken voraus, was wir aber erst nach Festlegung des Querschnitts prüfen können): Diese Ungleichung lösen wir nach der Querschnittsgröße I min auf und erhalten (nächste Seite) Ende ?

152 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 301 Es muss jedoch für diesen Querschnitt auch die Bedingung für elastisches Knicken (2.111) erfüllt sein, denn nur dann war unsere Rechnung zulässig. Es folgt mit dem vorhandenen Schlankheitsgrad nach (2.108) und dem Grenzschlankheitsgrad P nach (2.110) aus der Bedingung (2.111) P : Die Bedingung für elastisches Knicken ist erfüllt, d. h. die obige Berechnung war zulässig, und der Querschnitt T90 ist insofern geeignet, dass damit ein Ausknicken der Fachwerkstäbe vermieden wird. Der gesuchte T-Querschnitt muss diese Bedingung erfüllen. Aus Tabelle 2.6 folgt, dass der Querschnitt T90 (grau unterlegt) mit I min = I y = 58,5 cm 4 = 58, mm 4 und der Querschnittsfläche A = 17,1 cm 2 diese Bedingung erfüllt. Ende ?

153 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2 Festigkeitslehre Seite: 302 Ende der Festigkeitslehre Ende ?


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