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Aufgabenstellung Aufgabenstellung: What do the following terms (formulae) express? Which of these terms characterize all sequences of real numbers, x_n.

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Präsentation zum Thema: "Aufgabenstellung Aufgabenstellung: What do the following terms (formulae) express? Which of these terms characterize all sequences of real numbers, x_n."—  Präsentation transkript:

1 Aufgabenstellung Aufgabenstellung: What do the following terms (formulae) express? Which of these terms characterize all sequences of real numbers, x_n [n], that approximate some "limit" x : xn-->x? Give examples and counter examples. Sketch pictures.

2 Inhalt Konvergenz für Folgen : Schwierigkeiten First Order Logic Jede Menge Beispiele. Alternative Darstellung von Quantoren

3 Konvergenz von Folgen: Schwierigkeiten

4 Konvergenz von Folgen Eine mögliche Definition : –Eine Folge ist konvergent gegen eine Zahl, falls gilt : mit

5 Konvergenz für Folgen Eine mögliche Definition : –Eine Folge ist konvergent gegen eine Zahl, falls gilt : mit Schwierigkeiten : –Was bedeutet ? – Wofür steht ? –Was passiert, wenn man die Reihenfolge von, vertauscht? –Was bedeutet die Definition als ganzes?

6 Konvergenz für Folgen Eine mögliche Definition: –Eine Folge ist konvergent gegen eine Zahl, falls gilt : mit Ansatz: –Die Definitionen basiert auf First-Order Logic. Erklären von Grundkenntnisse in F.O. Logic, um Fehler zu vermeiden. Simple Umformungen einführen, um von F.O. Logic Termen einfachere Termen zu machen Mit Abbildungen zeigen, was die Formeln denn eigentlich bedeuten

7 First-Order Logic

8 Semantik Prädikate: –Ausdrücke die zu richtig oder falsch auswerten. 0, 1 oder mehrere Argumente Quantoren: –Allquantor : für alle as aus P gilt das Predikat t. –Existenzquantor : es gibt mindestens ein a aus P für dem das Predikat t gilt. Beispiel : – –Es exisitiert ein Freund von mir der Paul kennt

9 Einfache First-Order Umformung Negation eines First-Order Ausdruck : –Allquantoren werden zu Existenzquantoren, und umgekehrt –Das Predikat t wird negiert –Beispiel : aus wird Allquantor in Existenzquantor umwandeln: –

10 Jede Menge Beispiele

11 Übersicht über die Definitionen

12 Definition 1 : Der Ausdruck ist wahr für die Folgen für die gilt: –Für einen Wert x und einer beliebig kleine Distanz ab ein bestimmtes sind die Folgenglieder beliebig nah von x

13 Definition 2 : Der Ausdruck ist wahr für: –Die Folgen die sich ab ein bestimmten beliebig nah von einen Punkt x befinden.

14 Definition 3 : Der Ausdruck ist wahr für… : –Die Folgen die für kein Punkt x konvergieren

15 Definition 3, nochmal : Tipp : –Umformung des Ausdrucks kann das Verständnis erleichtern ! Negation sind oft leichter am Anfang eines Ausdrucks zu lesen. Umformung : Ist falsch für die Folgen die sich ab ein bestimmtes beliebig nah an einen Punkt x befinden -> Gegenteil von Definition 1

16 Definition 4 : Der Ausdruck ist wahr für… : –Die Folgen die nicht beliebig nah von einen Punkt x kommen ab ein bestimmtes N

17 Definition 5 : Der Ausdruck ist wahr für… : –Die Folgen die ab einem bestimmten Punkt beliebig nah an allen x ist. Beispiel: –Die Folge, dessen Wertebereich eine Ein-Elementige Menge ist, und bei der alle ns auf dieses eine Element abgebildet werden –Es gibt kein Beispiel solcher Folgen dessen Wertebereich in ist

18 Definition 6 : Der Ausdruck ist wahr für… : –Die Folgen bei der kleiner sind als ein beliebig großes Beispiel: –Das ist für jede Folge wahr!

19 Definition 7 : Der Ausdruck ist wahr für… : –Die Folgen bei der maximal einer bestimmten Distanz von alle xs aus der Grundmenge entfernt ist. Beispiel: –Eine Folge, dessen Grundmenge beschränkt ist.

20 Definition 8 : Der Ausdruck ist wahr für… : –ab n größer N gibt es für alle ein x, das beliebig nah dran ist (trivial wahr mit =x)

21 Definition 9 : Der Ausdruck ist wahr für… : –Die Folgen bei denen für alle n gilt: es gibt ein x so dass x an beliebig nah dran ist Wahr für alle Folgen mit x =

22 Alternative Representation von Existenzquantoren

23 Alternative Repräsentation: Die Reihenfolge der Quantoren spielt eine Rolle (beim Existenzquantor) –Um das zu verdeutlichen werden in manche Mathebücher diese Notation benutzt : Statt : wird geschrieben –Damit lässt es sich vermeiden, dass man die Reihenfolge der Quantoren vertauscht.

24 Ende


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