Organisatorisches Klausur für Übungsschein (Anfang Januar)

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1 Organisatorisches Klausur für Übungsschein (Anfang Januar)
Übungsblatt wöchentlich (ab ), von Mitte November an nur im Netz Abgabe der Lösungen jeweils 1 Woche später, 5 Minuten vor der Mittwochsvorlesung (erste Abgabe ) Regelmäßige Abgabe der Lösungen Zulassungsbedingung zu Klausuren! Klausur für Übungsschein (Anfang Januar) Prüfungsklausur nach Semesterende (Mitte Februar) Achtung: Note geht in Vordiplom ein! Vorlesungsfolien ... werden ins Netz gestellt (Lernserver), 1. Hälfte ab Mitte Dez., 2. Hälfte ab Mitte Jan.

2 3. Aussagenlogik Formale Sprache Alphabet: geordneter Zeichenvorrat
Formale Sprache: Menge von Zeichenketten, die aus den Symbolen eines beliebigen Alphabets aufgebaut sind. Zeichenkette: endliche Folge von Symbolen, die ohne Zwischenraum hintereinander geschrieben werden (Verkettung) Wohlgeformtheit Definition der zulässigen Zeichenketten einer Sprache durch induktive Definition induktive Definition: 1. definitorische Anfangsbestimmung 2. generierende Bestimmung 3. Abschlußbestimmung

3 Aussagenlogik Aussagenlogik - Syntax
Eine atomare Formel hat die Form Ai (wobei i = 1,2,3): (1) Alle atomaren Formeln sind Formeln. (2a) Für alle Formeln F und G sind (F&G) und (FvG) Formeln (2b) Für jede Formel F ist ¬F eine Formel. (3) Nichts ist eine Formel, was nicht als solche durch (1) und (2) bestimmt ist.

4 Axiomensystem für Aussagenlogik
(A1) (A(B  A)) (A2) ((A (B  C)) ((A  B) (A  C))) (A3) (( B   A) (( B  A)  B)) Inferenzregel: Gilt A und A  B, folgere B (modus ponens) Theorem: Mit Hilfe von (A1)-(A3) und modus ponens ableitbare Formel Alternative Axiomatisierung (p->(q&r))->((t->t)&((s->-q)->(p->-s))) (Nicod 1918)

5 Aussagenlogik - Semantik
Wahrheitswerte: Elemente der Menge {0, 1} Interpretation: IA: D  {0,1} mit D Teilmenge der atomaren Formeln. 1. Für jede atomare Formel FD ist IA(F) = 0 oder 1 2. IA((F&G))= 1 falls IA(F) = 1 und IA(G) = 1, sonst 0 3. IA((FvG))= 1 falls IA(F) = 1 oder IA(G) = 1, sonst 0 4. IA(¬F)= 1 falls IA(F)= 0, sonst 0 Passende Interpretation: falls IA für alle in F vorkommenden atomaren Formeln definiert ist Modell: F gilt unter der Interpretation IA F ist erfüllbar: F hat mindestens ein Modell Menge von Formeln M ist erfüllbar: Es gibt eine Interpretation IA, unter der jede Formel in M ein Modell ist Tautologie: Jede zu F passende Interpretation ist ein Modell für F

6 Wahrheitstafel A1 A2 ... An-1 An F I I1(F) I I2(F) ... I2n I2n(F)

7 Beispiel wir zeigen: B folgt logisch aus M = {A v B, ¬A} B 1 A 1 A v B
1 A 1 A v B 1 ¬A 1 Interpretationen Einzige Interpretation, die alle Formeln in M wahr macht: A = 0, B = 1, Diese Interpr. macht auch B wahr. Also B aus M logisch folgerbar Notation: M |= B

8 AL - interpretierte Formeln
gültig erfüllbar, erfüllbar, unerfüllbar aber nicht aber nicht gültig gültig F ~F G ~G

9 Aussagenlogik und natürliche Sprache
"Leipzig ist eine Stadt in Sachsen" "Alle Menschen sind sterblich" "4 ist größer als 7" "Peter ist arm aber glücklich" "Peter ist entweder reich oder unglücklich" "Peter und Petra heirateten und bekamen ein Kind" "Wenn 2+2=5 heiße ich Rumpelstilzchen"

10 Äquivalenzen 1 / 2 Idempotenz Kommutativität Assoziativität Absorption
Distributivität Doppelnegation deMorgansche Regeln Tautologieregeln Unerfüllbarkeitsregeln

11 Aussagenlogik: Metatheoreme
Normalform Literal: atomare Formel (positives ~) oder Negation einer atomaren Formel (negatives ~) konjunktive Normalform (KNF): Eine Formel F ist in KNF falls sie eine Konjunktion von Disjunktionen von Literalen ist. disjunktive Normalform (DNF): Eine Formel F ist in DNF falls sie eine Disjunktion von Konjunktionen von Literalen ist. Aussagenlogik: Metatheoreme Konsistenz: Jedes Theorem ist eine Tautologie Vollständigkeit: Jede Tautologie ist ein Theorem Entscheidbarkeit: Für jede Formel F kann in endlich vielen Schritten festgestellt werden, ob F eine Tautologie ist oder nicht.