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G.Heyer Digitale Informationsverarbeitung 1 Organisatorisches Übungsblatt wöchentlich (ab 20.10.), von Mitte November an nur im Netz Abgabe der Lösungen.

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2 G.Heyer Digitale Informationsverarbeitung 1 Organisatorisches Übungsblatt wöchentlich (ab ), von Mitte November an nur im Netz Abgabe der Lösungen jeweils 1 Woche später, 5 Minuten vor der Mittwochsvorlesung (erste Abgabe ) Regelmäßige Abgabe der Lösungen Zulassungsbedingung zu Klausuren! Klausur für Übungsschein ( Anfang Januar ) Prüfungsklausur nach Semesterende ( Mitte Februar ) Achtung: Note geht in Vordiplom ein! Vorlesungsfolien... werden ins Netz gestellt (Lernserver), 1. Hälfte ab Mitte Dez., 2. Hälfte ab Mitte Jan.

3 G.Heyer Digitale Informationsverarbeitung 2 3. Aussagenlogik Formale Sprache Alphabet: geordneter Zeichenvorrat Formale Sprache: Menge von Zeichenketten, die aus den Symbolen eines beliebigen Alphabets aufgebaut sind. Zeichenkette: endliche Folge von Symbolen, die ohne Zwischenraum hintereinander geschrieben werden (Verkettung) Wohlgeformtheit Definition der zulässigen Zeichenketten einer Sprache durch induktive Definition induktive Definition: 1. definitorische Anfangsbestimmung 2. generierende Bestimmung 3. Abschlußbestimmung

4 G.Heyer Digitale Informationsverarbeitung 3 Aussagenlogik Aussagenlogik - Syntax Eine atomare Formel hat die Form A i (wobei i = 1,2,3): (1) Alle atomaren Formeln sind Formeln. (2a) Für alle Formeln F und G sind (F&G) und (FvG) Formeln (2b) Für jede Formel F ist ¬F eine Formel. (3) Nichts ist eine Formel, was nicht als solche durch (1) und (2) bestimmt ist.

5 G.Heyer Digitale Informationsverarbeitung 4 Axiomensystem für Aussagenlogik (A1) (A (B A)) (A2) ((A (B C)) ((A B) (A C))) (A3) (( B A) (( B A) B)) Inferenzregel: Gilt A und A B, folgere B (modus ponens) Theorem: Mit Hilfe von (A1)-(A3) und modus ponens ableitbare Formel Alternative Axiomatisierung (p->(q&r))->((t->t)&((s->-q)->(p->-s))) (Nicod 1918)

6 G.Heyer Digitale Informationsverarbeitung 5 Aussagenlogik - Semantik Wahrheitswerte: Elemente der Menge {0, 1} Interpretation: I A : D {0,1} mit D Teilmenge der atomaren Formeln. 1. Für jede atomare Formel FD ist I A (F) = 0 oder 1 2. I A ((F&G))= 1 falls I A (F) = 1 und I A (G) = 1, sonst 0 3. I A ((FvG))= 1 falls I A (F) = 1 oder I A (G) = 1, sonst 0 4. I A (¬F)= 1 falls I A (F)= 0, sonst 0 Passende Interpretation: falls I A für alle in F vorkommenden atomaren Formeln definiert ist Modell: F gilt unter der Interpretation I A F ist erfüllbar: F hat mindestens ein Modell Menge von Formeln M ist erfüllbar: Es gibt eine Interpretation I A, unter der jede Formel in M ein Modell ist Tautologie: Jede zu F passende Interpretation ist ein Modell für F

7 G.Heyer Digitale Informationsverarbeitung 6 Wahrheitstafel A 1 A 2...A n-1 A n F I I 1 (F) I I 2 (F)... I 2 n 1111I 2 n (F)

8 G.Heyer Digitale Informationsverarbeitung 7 Beispiel wir zeigen: B folgt logisch aus M = {A v B, ¬A} A0011A0011 B0101B0101 A v B 0 1 ¬A 1 0 Interpretationen Einzige Interpretation, die alle Formeln in M wahr macht: A = 0, B = 1, Diese Interpr. macht auch B wahr. Also B aus M logisch folgerbar Notation: M |= B

9 G.Heyer Digitale Informationsverarbeitung 8 AL - interpretierte Formeln gültigerfüllbar, erfüllbar, unerfüllbar aber nichtaber nicht gültig F~F G~G

10 G.Heyer Digitale Informationsverarbeitung 9 Aussagenlogik und natürliche Sprache "Leipzig ist eine Stadt in Sachsen" "Alle Menschen sind sterblich" "4 ist größer als 7" "Peter ist arm aber glücklich" "Peter ist entweder reich oder unglücklich" "Peter und Petra heirateten und bekamen ein Kind" "Wenn 2+2=5 heiße ich Rumpelstilzchen"

11 G.Heyer Digitale Informationsverarbeitung 10 Äquivalenzen 1 / 2 Idempotenz Kommutativität Assoziativität Absorption Distributivität Doppelnegation deMorgansche Regeln Tautologieregeln Unerfüllbarkeitsregeln

12 G.Heyer Digitale Informationsverarbeitung 11 Normalform Literal: atomare Formel (positives ~) oder Negation einer atomaren Formel (negatives ~) konjunktive Normalform (KNF): Eine Formel F ist in KNF falls sie eine Konjunktion von Disjunktionen von Literalen ist. disjunktive Normalform (DNF): Eine Formel F ist in DNF falls sie eine Disjunktion von Konjunktionen von Literalen ist. Aussagenlogik: Metatheoreme Konsistenz: Jedes Theorem ist eine Tautologie Vollständigkeit: Jede Tautologie ist ein Theorem Entscheidbarkeit: Für jede Formel F kann in endlich vielen Schritten festgestellt werden, ob F eine Tautologie ist oder nicht.


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