Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Stichwortverzeichnis

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "Stichwortverzeichnis"—  Präsentation transkript:

0 ... mit uns können Sie rechnen!
Bild 1 ... mit uns können Sie rechnen! Lernen ist mehr als Verstehen! Wie geschieht eigentlich das Lernen? Du wirst die Absichten und das Vorgehen dieses Lehrwerkes besser verstehen, wenn du gleich mal hier reinschaust! 21

1 Stichwortverzeichnis
Bild 1 Stichwortverzeichnis 1 führt immer zum 20/21 Lernen ist mehr als Verstehen … zum Suchen Folie Nr.: Arten von Zahlen 18 Natürlicher Logarithmus 6 Basis (Logarithmus) Nautilus-Schnecke 11 Definition (Logarithmus) 4 - 6 Numerus Einschränkungen 8 , 9 PH-Wert 12 Euler‘sche Zahl 6 , 18 Potenzieren 2 Vier-Stufen-Prinzip 13 , 19 Lernen 20 , 21 Potenzform als Schreibweise 5 , 8 Wachstum (Endwertberechnung) 13 Logarithmus 4 , 6 , 11 Radizieren Wertebereich der Logarithmenbasis 8 Logarithmieren 4 Rückstufungen der Rechenarten 15 , 16 Zahlenarten Logarithmusform (als Schreibweise) Schachbretträtsel Zehnerlogarithmen 6 , 12 Logarithmengesetze Schreibweisen Logarithmische Spirale Sonderfälle 7 , 10 Modellieren Umkehrungen 4 , 5 , 10 ? 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Bildnachweis: 17 22 18 Folie 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Folien-Nr. anklicken!

2 √ b x a = x x = b n =? Potenz n Basis POTENZIEREN Radizieren
lat.: potentia Macht, Kraft Radizieren lat.: radix  die Wurzel Unsere Erfahrung beim ‚Potenzieren‘: Durch die Besonderheit des wiederholten Multiplizierens einer Zahl a mit sich selbst kann der Wert des Produktes, also der Potenzwert, ‚mächtig werden‘. Ein Produkt aus gleichen Faktoren kann als Potenz geschrieben werden. Das Radieschen diente uns dann als Modell um die Fragestellung umzukehren: Potenzwert b an ist die Kurzschreibweise für ein Produkt aus n Faktoren a. (a ist Platzhalter für eine beliebige Zahl) Wie groß ist die Basis x, wenn wir den Potenzwert b und den Exponenten n der Potenz kennen? an = a • a • a • • a • a n Faktoren So hast du auch eine Erklärung für den aus der lateinischen Sprache stammenden Fachbegriff bekommen. Bevor wir uns um die eigentlichen Gesetzmäßigkeiten und Regeln für den rechnerischen Umgang kümmerten, haben wir das ‚Schachbretträtsel‘ besprochen. ( Programm „Potenzen“ , Folie 4) Diese steile Entwicklung hin zu mächtigen Zahlen sollte sich in deiner Vorstellung einprägen. √b n  x = xn = b Exponent Für diese umgekehrte Fragestellung entwickelten wir die ‚Wurzel-Schreibweise‘. n Umkehrung: ( x tauscht den Platz ) x Basis =? Feld 1 Feld 2 Feld 3 Feld 4 Feld 5 Feld 6 Feld 7 Feld 8 = 21 = 22 = 24 = 23 = 25 = 26 = 28 = 27 = 2 = 4 = 16 = 8 = 32 = 64 = 256 = 128 Feld 16 216 = 2 2∙2 2∙2 ∙2 2∙2 ∙2 ∙2 2∙2 ∙2 ∙2 ∙2 2∙2 ∙2 ∙2 ∙2 ∙2 2∙2 ∙2 ∙2 ∙2 ∙2 ∙2 2∙2 ∙2 ∙2 ∙2 ∙2 ∙2 ∙2 Feld 26 226 = Das Radizieren ist eine Umkehrung des Potenzierens. a = x n Hochzahl oder Exponent Basis Potenz Potenz-wert n n-te Wurzel Wurzel-exponent x = b Radikant Wurzel-wert Die unbekannte Größe x ist beim Potenzieren immer der Potenzwert. (typisch fürs Potenzieren!) Die unbekannte Größe x ist beim Radizieren immer der Wurzelwert. (typisch fürs Radizieren!) 1

3 2 128 = 10 1000000 7 7 6 die Exponenten Basis Potenzwert 106
Scheinbar nichts Neues! Denke an das Schachbretträtsel! Verfolge die rasante Zunahme bei der Anzahl von Reiskörnern ! Hast du den Überblick? ..... KLICK! Notiere das Volumen eines ‚dm3-Würfels‘ in mm3 ! Schreibe es als Zehner-Potenz auf! Kontrolle? KLICK! Auf welchem Feld liegen 128 Reiskörner? Fertig?.... KLICK! Feld-Nr.: Wenn die kurze Auffrischung von Potenzieren und Radizieren nicht ausreicht, dann wiederhole zumindest den Einführungs-Teil in den Lehrwerken „Potenzen“ und „Wurzeln“. 7 Beide Aufträge waren vom Thema her sehr verschieden. Und dennoch hatten sie –rein rechnerisch- eine gemeinsame Aufgabenstellung. Anzahl Reiskörner: denn 27 = 128 Vges = 1 dm3 Feld 1 Feld 2 Feld 3 Feld 4 Feld 5 Feld 6 Feld 7 Feld 8 = 27 = 26 = 21 = 22 = 24 = 23 = 25 = 28 = 2 = 4 = 16 = 8 = 32 = 64 = 256 = 128 Feld 16 216 = 2 2∙2 2∙2 ∙2 2∙2 ∙2 ∙2 2∙2 ∙2 ∙2 ∙2 2∙2 ∙2 ∙2 ∙2 ∙2 2∙2 ∙2 ∙2 ∙2 ∙2 ∙2 2∙2 ∙2 ∙2 ∙2 ∙2 ∙2 ∙2 Feld 26 226 = Formuliere den Auftrag, der in den jeweiligen Aufgabenstellungen zu erledigen war! Was war gegeben, was war gesucht? Gebrauche die richtigen Fachausdrücke! Fertig?.....KLICK! Vges = 1 dm3 = 10 mm3 106 Ordne die Fachbegriffe zu! Zur Kontrolle ... KLICK Unbekannt waren: 7 2 128 = 6 10 Bekannt waren jeweils: die Exponenten Basis Potenzwert und 1

4 √ a = x x = b a b = x = log b x = log 8 ? Logarithmieren n n x = b x a
Potenzgleichung ... aufgelöst nach x Die unbekannte Größe x ist beim Potenzieren immer der Potenzwert. (typisch fürs Potenzieren!) gegeben: Potenzwert b und Exponent n. Die Berechnung der unbekannten Basis x führt zum Radizieren. x = b n 1. Umkehrung: R a d i z i e r e n x = b n R ü c k b l i c k Zwei verschiedene Schreibweisen für den gleichen Rechenauftrag. Die Berechnung des Exponenten x -bei gegebenen Potenzwert und Basis- führt zu einer 2. Umkehrung des Potenzierens. a b = x So sieht die Potenzgleichung mit dem unbekannten Exponenten aus, wenn sie in allgemeiner Form geschrieben ist. gegeben: Potenzwert und Basis Die Berechnung des unbekannten Expo-nenten x führt zum Logarithmieren. 2. Umkehrung: x = log b ? Wie aber nennt man die 2. Umkehrung? Wie schreibst du diese Umkehrung in Logarithmenform? Fertig?.... KLICK! ... und wie schreibt man sie? Zwei verschiedene Schreibweisen für den gleichen Rechenauftrag. a Den unbekannten Exponenten x nennt man Logarithmus. Die Auflösung nach dem unbekannten Exponenten x führt zum L o g a r i t h m i e r e n. Wir nehmen wieder ein Beispiel aus dem ‚Schachbretträtsel‘: Wie heißt die Hochzahl, mit der du die Anzahl der Reiskörner auf dem dritten Feld berechnest? x = log 8 Basis a = 2 (... denn auf dem ersten Feld lagen 2 Reiskörner) Potenzwert b = 8 (... denn auf dem dritten Feld liegen 8 Reiskörner.) 2 Frage: Wie groß ist x, der Logarithmus von 8 zur Basis 2? x = 3 denn: = 8 1

5 Das Potenzieren und seine zwei Umkehrungen
Wenn du diese Seite überspringen willst: Diese Zusammenhänge zwischen den drei Rechenarten lassen sich auch in anderer Form darstellen: Nächste Folie a = x n Der Potenzwert b ist unbekannt. Die Gleichung ist nach dem gesuchten Potenzwert (x = b) aufgelöst. Das Potenzieren und seine zwei Umkehrungen Im Mittelpunkt steht die allg. Form der Potenzgleichung. Noch mal zum Verständnis: Die Variable x ersetzt immer die unbekannte bzw. gesuchte Größe: oben  Potenzwert b links  Wurzelwert a unten  Logarithmus n x tauscht den Platz! Potenzform Im Zentrum steht die Potenzgleichung a = b n Die Basis a ist unbekannt. Die Gleichung ist nach der gesuchten Basis (x = a) aufgelöst. Die Hochzahl n ist unbekannt. Die Gleichung ist nach der gesuchten Hochzahl (x = n) aufgelöst. Wurzelform Logarithmen-form x = √b n x = log b a 1. Umkehrung 2. Umkehrung 1

6 Vereinbarungen zu den Schreibweisen
Folgenden Schreibweisen kannst du beim Logarithmieren begegnen: x = logab x = logab x = alogb Wir bevorzugen die erste Version. Logarithmus Numerus Folgende fachliche Bezeichnungen sind üblich: x = loga b ( ) Im Interesse der Eindeutigkeit wird der Numerus oft in Klammern gesetzt.: Basis Zehner- logarithmen: Häufig verwendet man bei Berechnungen die Logarithmen zur Basis 10 . Schreibfaule Mathematiker verzichten deshalb auf die Angabe der Basis 10 und gebrauchen bei Zehnerlogarithmen folgende Abkürzung: (dekadische Logarithmen) log10b vereinfacht lg b Vereinfache und berechne: Kontrolle? ... KLICK! log10100 lg = 2 , denn 102 = 100 vereinfacht , ... denn 106 = log = lg = 6 Wandle die Potenz-Gleichung zuerst in die Logarithmen-Schreibweise und löse dann! Kontrolle? ... KLICK! 10x = 1000 x = lg 1000 x = 3 , denn 103 = 1000 Natürliche Logarithmen: Abgekürzte Schreibweise für Logarithmen mit der Basis e. (Eulersche Zahl e = 2,71828…) logeb vereinfacht ln b Wir werden uns nicht damit beschäftigen. 1

7 Übungs-Aufgaben log28 = 3 , denn 23 = 8 ( ) ( ) ( ) ( )
Gehe dabei nach folgendem Muster vor: log28 = 3 , denn Du kannst davon ausgehen, dass du es bei den nächsten Aufgaben immer mit einem ‚schönen‘ Numerus zu tun haben wirst. 23 = 8 3 D.h.: Durch welche Hochzahl wird die Zahl 2 zur Zahl 8? Denke dir immer diese Frage dazu! log5 25 = , denn 2 52 = 25 Gebrochene Zahlen kann man potenzieren. Also kann man auch die Hochzahlen dieser Potenzen suchen, dh. logarithmieren. Vergleiche Aufgabe c)! D.h.: Durch welche Hochzahl wird die Zahl 5 zur Zahl 25? log2 16 = , denn 4 24 = 16 log3 27 = , denn 3 33 = 27 log0,4 0,064 = , denn 3 0,43 = 0,064 log = 1 2 4 ( ) D.h.: Durch welchen Exponenten wird die Zahl 0,4 zur Zahl 0,064? 1 4 2 ( ) = log = 4 , denn , denn Löse zuerst immer die neue Aufgabe nach obigem Muster ... und klicke dann zur Überprüfung deines Ergebnisses. Anschließend kommt sofort wieder eine neue Aufgabe. Wenn‘s los geh‘n soll: ... KLICK! 54 = 625 2 lg 100 = , denn 2 102 = 100 log = 2 3 8 27 ( ) , denn 8 27 2 3 ( ) = 3 log = , denn 3 63 = 216 log0,7 0,49 = , denn 2 0,72 = 0,49 lg = 4 , denn 104 = Einige Sonderfälle: log4 64 = , denn 3 43 = 64 Versuche die Sonderfälle durch logisches Denken zu lösen! dann... KLICK! loga a = , denn 1 a1 = a Welche Lösung(en) ist (sind) falsch? a), b) oder c) ? Entscheide! ... dann KLICK loga an = , denn n an = an Löse die falsche Aufgabe richtig dann... KLICK! , denn log = 4 94 = 729 lg 10 = 1 101 = 10 log0,5 0,25 = 2 0,52 = 0,25 a) b) c) , denn log = 3 93 = 729 a) lg 10n = , denn n 10n = 10n loga 1 = , denn a0 = 1 lg 1 = , denn 100 = 1 Präge dir diese Sonderfälle ein! 1

8 log b = c a b = a c ⟺ 1. Einschränkung:
Logarithmusform: a b = c Potenzform: Die Begründungen gelingen immer in der Potenzform. 1. Einschränkung: Welche Werte darf die Basis a nicht annehmen? Wir setzen probeweise in einer Aufgabe den Wert 0 für die Basis a ein: Testen wir mal mit einer negativen Zahl für die Basis a. 0x = 2 log-2 8 = x (-2)x = 8 log0 2 = x hat keine Lösung! denn die Zahl 0 kannst du dir so oft wie du willst als Faktor vorstellen, das Produkt wird nie den Wert 2 annehmen. (-2)x = 8 hat auch keine Lösung! Die Zahl -2 kannst du dir so oft wie du willst als Faktor vorstellen, das Produkt wird nie den Wert 8 annehmen. 0x = 2 Es gibt keine Hochzahl x , die beim Potenzieren der Basis 0 einen Numerus bzw. Potenzwert a≠0 bewirken könnte.. Es gibt keine Hochzahl x, die beim Potenzieren einer Basis -2 den Numerus bzw. Potenzwert 8 bewirken könnte. Wir setzen in einer Aufgabe den Wert 1 für die Basis a ein: Ein Logarithmus ist nur definiert, wenn die Basis a des Logarithmus eine reelle Zahlen ℝ ist, die größer als 0 und die ungleich 1 sein muss! log1 2 = x 1x = 2 1x = 2 hat keine Lösung! denn du kannst dir Zahl 1 so oft wie du willst als Faktor vorstellen, das Produkt wird immer den Wert 1 haben. Zahlenarten  Folie 18 Es gibt keine Hochzahl x, die beim Potenzieren der Basis 1 den Potenzwert 2 bewirken könnte. a ∊ ℝ > 0 und a≠1 1

9 log b = c a b = a c ⟺ 2. Einschränkung:
Logarithmusform: Potenzform: a b = c Die Begründungen gelingen immer in der Potenzform. 2. Einschränkung: Welche Werte darf der Numerus b nicht annehmen? Auf zahlreichen Internet-Seiten findest du Antworten auf unsere Frage. Suche z.B. unter den Stichwörtern: ‚Logarithmieren, Definition, Einschränkungen‘! Denke daran, dass die Benennung mit den Variablen a, b, c nicht immer übereinstimmt! Lies nicht nur auf einer Seite! Hast du notiert? KLICK! Testen wir mal mit einer negativen Zahl für den Numerus b. log7 (-49) = x 7x = -49 7x = -49 hat keine Lösung! ... denn keine Potenz einer positiven Zahl (z.B. 7) wird eine negative Zahl (z.B. -49) ergeben. Es gibt keine Hochzahl x, die beim Potenzieren der Basis (z.B. 7) einen negativen Numerus bzw. Potenzwert (z.B. -49) bewirken könnte! Testen wir mal mit der Zahl 0 für den Numerus b. log7 (0) = x 7x = 0 Ein Logarithmus ist nur definiert, wenn der Numerus b eine reelle Zahlen ℝ ist und größer als Null ist. 7x = 0 hat auch keine Lösung! ... denn auch die Null als Hochzahl ergibt nicht den Wert Null. 70 ergäbe 1. Zahlenarten  Folie 18 Es gibt keine Hochzahl, die beim Potenzieren der Basis (z.B. 7) einen Numerus bzw. Potenzwert mit Wert 0 bewirken könnte! b ∊ ℝ > 0 1

10 SONDERFÄLLE logab = c ac = b a = b log2 2 = ? , denn 3 log3 (1) = ?
Du weißt: ‚Logarithmieren‘ ist die Suche nach der unbekannten Hochzahl. SONDERFÄLLE log2 2 = ? 1 , denn 3 log3 (1) = ? , denn 1 21 = 2 30 = 1 Frage: „2 hoch wieviel ergibt 2?“ Frage: „3 hoch wieviel ergibt 1?“ Die Potenzrechnung hat gelehrt: „Jede Basis (z.B. 3) hoch Null ergibt den Potenzwert 1.“ 2 lg10 = ? 1 , denn 101 = 10 Frage: „10 hoch wieviel ergibt 10?“ Ein Logarithmus mit dem Numerus 1 hat immer den Wert 0, egal welche Basis zugrunde liegt. Allgemein gilt: Allgemein gilt: loga a = ? 1 , denn , denn a1 = a loga (1) = ? a0 = 1 Frage: „a hoch wieviel ergibt a?“ Frage: „a hoch wieviel ergibt 1?“ Rechnung und Gegenrechnung / Gedankenspiel: Allgemeiner Nachweis: 1. Schritt: „Ermittle den Logarithmus von 16 zur Basis 2!“ Wir setzen die Definition des Logarithmus an den Anfang: Löse zuerst die drei Aufgaben! Nutze dabei zur Überprüfung die Potenzschreibweise! Formuliere diese beiden Spezialfälle allgemein in den Merkkästen! Mach dich auch im Internet kundig! Erst dann zurück zu dieser Folie ... und KLICK! log 16 = 4 logab = c ac = b 2 2. Schritt: „Potenziere jetzt die Basis 2 mit dem log216!“ Dann setzen wir c aus der Logarithmusform in die Potenzform ein. log216 4 2 = 2 = 16 logab Allgemein: a = b Wenn du eine Basiszahl a (hier 2) zuerst beim Logarithmieren zugrunde legst und dann diese Basiszahl a wieder mit dem gewonnenen Logarithmus (= Hochzahl) potenzierst, dann landest du wieder beim ursprünglichen Numerus. Vermutung: Potenzieren und Logarithmieren zur gleichen Basis a heben sich auf. 1

11 Der Logarithmus in der Natur
Kerne der Sonnenblume Bis jetzt wurde die Notwendigkeit einer Beschäftigung mit Logarithmen nur dadurch erklärt, dass es zur Potenzrechnung nicht nur eine Umkehrung geben könne, nämlich das Rechnen mit Wurzeln. Das Ermitteln einer unbekannten Hochzahl n in einer Potenzgleichung an = b führte uns so zum Logarithmus. Eine beliebte Frage lautet immer: „Wo begegnet man dem?“ „Wozu brauche ich das?“ Bild 3 Darauf hatten wir bis jetzt noch keine Antwort gegeben. Du kannst dich unter geeigneten Stichwörtern im Internet mal umsehen. Immer ist ein Logarithmus im Spiel. Der Logarithmus in der Natur Die logarithmische Spirale Bild 1 Was hat die ‚Logarithmusspirale‘ zu tun Motte im Licht mit der ‚Nautilus-Schnecke‘? mit den Kernen der Sonnenblume? Bild 2 mit der Motte im Licht? mit den Armen einer Spiralgalaxie? mit den Wolken eines Wirbelsturmes? Kunst: mit dem Goldenen Schnitt oder dem goldenen Rechteck? Bild 4 Spiralgalaxie im Weltraum 1 Die reine Mathematik würde hier zu weit führen.

12 PH-Wert O H+ [O-H] SKIN PH = -log10c(H+) Um was geht es hier? H
Werbung: Werbung: Erhalten Sie den natürlichen ‚Säureschutzmantel‘ Ihrer Haut! Ihre Haut ist von Natur aus basisch!. In chemisch sauberem neutralem Wasser spaltet sich (nur) jedes te Wassermolekül (1/107=10-7) von alleine: 5,5 H+ H O PH-Wert 7,6 [O-H] SKIN protect Wasserstoff-Ion Hydroxid-Ion Um diesen neutralen Zustand mit den beiden zahlenmäßig gleich mächtigen positiven H+-Ladungen und negativen [OH]-- Ladungen anzuzeigen, gibt man die Ionen-Konzentration in Bezug auf die H+-Ladungen an. Man schreibt statt der Bruchzahl 1/ aber kurzerhand nur die negativ genommene Hochzahl von deren Zehnerpotenz Kurz: PH-Wert 7. [–(-7)=7] Der PH-Wert ist also der Zehner-Logarithmus (die Hochzahl) des Bruchteils der Wasserstoff-Ionen (Konzentration c(H+)). PH = potentia hydrogenii Mächtigkeit des Wasserstoff(-Ions) Wichtig ist die Konzentration, nicht die Menge der Flüssigkeit. Durch chemische Reaktionen mit anderen Stoffen kann sich die Konzentration der H+-Ionen c(H+) aber verändern. PH-Wert Konzentration c(H+) (als Bruchteil vom Ganzen) PH = -log10c(H+) Es gibt H+-Ionen-Fänger. Dann wird der Anteil an Wasserstoff-Ionen noch geringer. Es gibt OH--Ionen-Fänger. Dann wird der Anteil an Wasserstoff-Ionen mächtiger. Die Veränderungen sehr kleiner oder sehr großer Zahlen lassen sich prak-tischer mit logarithmischer Darstellung beschreiben. 1/ = 10-9 9 Seife 100fach kleiner Wenn also der Anteil der OH--Ionen überwiegt, dann sprechen wir von Basen (z.B. Seife PH 9). 2 PH-Stufen 1/ = 10-7 7 H2O 7 1,5 PH-Stufen 32fach kleiner 1/ = 10-5,5 5,5 saurer Regen Nachteil: Die Größen-verhältnisse werden verzerrt. Wenn der Anteil der H+-Ionen überwiegt, dann sprechen wir von Säuren (z.B. Regen PH 5,6). 1

13 Bankwesen Fortsetzung der Lösung: Folie 17 Wachstum von Geldanlagen
1. Stufe: Hintergrund von Sachaufgaben ist immer eine Geschichte mitten aus dem Leben. Verstehe ich sie? Habe ich Erfahrungen mit dem Thema? Kenne ich die Hintergründe? Brauche ich noch weitere Informationen? z.B.: Wachstum von Geldanlagen Beginne mit dem Lösen der Aufgabe auf dem AB zu dieser Folie! Gleichzeitig wollen wir das ‚Modellieren‘ üben. Gliedere den Lösungsweg nach dem 4-Stufen-Prinzip! (Folie 19) Du wirst merken, dass du zu einem bestimmten Zeitpunkt ein Problem bekommst. Geh dann zurück zu dieser Folie! ... KLICK! Pauls Vater legte im Jahr 2010 bei einer Bank einen Betrag von € auf einem Festgeldkonto zu einem Zinssatz von jährlich 2,5% an. Auf wieviel Jahre musste die Laufzeit des Vertrages lauten, wenn er am Ende mit 11314,08 € Auszahlung rechnete. 2. Stufe: “Sich ein Bild (Modell) machen.“ Wesentliches von Unwesentlichem unterscheiden. Zusammenhänge erkennen, Modelle (Skizzen, Symbole, Bilder) entwickeln. Alltagssprache in mathematische Sprache übersetzen. (z.B. Gleichungen, Formeln, Tabellen) Info-Blatt einer SPARKASSE 2. Stufe: Erkennst du das neu aufgetauchte Problem? Beschreibe es auf dem AB! Dann zurück zu dieser Folie! ... KLICK! geg.: Anfangskapital: K0 = € 3. Stufe: Mathematische Werkzeuge nutzen. Rechnen! Endkapital nach n Jahren: Kn = ,08 € Natürlich könntest du jetzt mit Hilfe der dargestellten Abfolge für jedes Jahr den Zwischenstand von ‚Kapital + Zinseszins‘ ausrechnen, bis du das Ziel von 11314,08 € erreichst oder überspringst. Zinssatz p = 2,5% Zinsfaktor q = 1,025 gefr.: Laufzeit: n Jahre Kn = K0 •qn Berechne auf dem AB für jedes Jahr den Wert für Kapital + ‚Zinseszins‘ Dann zurück zu dieser Folie! ... KLICK! 3. Stufe: Du kannst aber auch die abgeleitete allgemeine Berechnungsformel verwenden! Hast du eine andere Idee gehabt? Schreibe diesen Einfall auf das AB! Dann zurück zu dieser Folie! ... KLICK! ... das kann dauern! ... wenn du sie verstanden hast! n 111314,08 € = 10000 € • 1,025 Wie kann ich eine Variable isolieren , die im Exponenten steht? Kn = K0 • qn Dazu müssen wir uns zuerst um Gesetze für das Rechnen mit Logarithmen kümmern. Fortsetzung der Lösung: Folie 17 1

14 Logarithmengesetze loga(u • v) = logau + logav
Suche nach einem zweiten Weg, wie diese Aufgabe zu lösen wäre! Hast du einen Vorschlag? Dann zurück zu dieser Folie! ... KLICK! Beweis: loga(u • v) = logau logav logau logav 1. Logarithmus eines Produktes Löse auch diese Aufgabe mit beiden Lösungswegen! Dann zurück zu dieser Folie! ... KLICK! logau = x ⟺ ax = u Potenz-form logav = y log3(9 • 27) = log3243 = 5 ⟺ 35 = 243 ⟺ ay = v Produkt u •v : u •v = ax •ay u •v = ax+y = ax+y oder: log3(9 • 27) = log39 ? + log327 = = 5 Def. des Logarithmus anwenden! Bilde zuerst ein Produkt und logarithmiere dann einzeln! Dann zurück zu dieser Folie! ... KLICK! loga(u•v) = x + y lg(1000 • 100) = lg100000 = 5 ⟺ = lg(1000 • 100) = lg lg100 = = 5 X und y ersetzen loga(u•v) = Umgekehrter Weg: Bilde zuerst ein Produkt und logarithmiere dann einzeln! Lass dir zeigen, wie du den Taschenrechner gebrauchen kannst! Dann zurück zu dieser Folie! ... KLICK! Beweis erbracht! log232 = log2(8 • 4) = log log24 = = 5 Man kann erwarten, dass die Regel für das Logarithmieren von Quotienten ganz ähnlich lautet. Auch das Beweisverfahren muss wohl ganz ähnlich verlaufen. Es unterscheidet sich vom obigen nur an einer entscheidenden Stelle. Du kannst die Beweiskette hier abschauen. ⟺ 25 = 8 Hier kannst du nur einen der Faktoren ‚glatt‘ logarithmieren: Versuche zuerst in Worten , eine Regel für das Logarithmieren von Produkten zu formulieren! Übersetze dann in die algebraische Schreibweise! Dann zurück zu dieser Folie! ... KLICK! lg400 = lg(100 • 4) = lg lg4 = , ≈ 2,602 ⟺ 102,602 ≈ 400 Regel 1: Ein Produkt kann man logarithmieren, indem man zuerst die Logarithmen der einzelnen Faktoren ermittelt und diese dann addiert. Formuliere auf dem AB für die nächste Folie 15 eine Regel für das Logarithmieren von Quotienten! Entwickle auch den Beweis dazu! Dann auf zur nächsten Folie ... KLICK! Der allgemeine Beweis fehlt noch! loga(u • v) = logau logav + 1

15 loga( ) = logau logav - loga( ) = logau - logav + log2a
1. Logarithmus eines Quotienten Übungen: Regel 2: log5( ) = 125 25 lg ( ) = 100 1000 log2 ( ) = 64 256 log5125 - log525 = = 1 Einen Quotienten logarithmiert man, indem man vom Logarithmus des Zählers den Logarithmus des Nenners subtrahiert. log55 = 1 ⟺ = 5 lg 100 - lg = = -1 loga( ) = logau logav u v - 1 10 lg 0,1 = -1 ⟺ = Beweis: Löse die ersten drei Aufgaben jeweils auf zwei Wegen! ...dann KLICK! log264 - log = = -2 loga( ) = logau logav u v logau logav ⟺ = 1 25 logau = x ⟺ ax = u log50,25 = -2 = 0,25 Logarithmenform Potenzform logav = y ⟺ ay = v lg ( ) = 73 100 ax ay lg 73 - lg = 1, ≈ -0,137 Quotient: u v = = ax-y Def. des Logarithmus anwenden! u v 3a 32 log2( ) = loga( ) = x - y log2(3a) - log2(32) = (log23 + log2a) - log2(32) = Vergleiche die Regel und auch das oben folgende Beweisverfahren mit deinem Vorschlag, den du auf dem AB zu dieser Folie 15 bereits bearbeitet hast! Versuche eventuelle Fehler zu verstehen! ... KLICK! + log2a = 0,477... -5 = -4,523... + log2a u v X und y ersetzen loga( ) = lg ( ) = 200 2x lg200 - lg(2x) = lg200 - (lg2 + lgx) = Beweis erbracht! = - 0,301... - lgx = 2 - lgx Interessant: Logarithmiere (wo nötig mit Hilfe des Taschenrechners)! ...dann KLICK! Rechenart Rückstufung auf: Multiplikation Addition Division Subtraktion Verwende die beiden Logarithmengesetze! ...dann KLICK! Sowohl bei der Multiplikation als auch bei der Division wurde die Rechenart durch das Logarithmieren jeweils auf die nächst niedere Rechenart zurück gestuft: 1

16 loga(u • v) = logau logav +
3. Logarithmus einer Potenz Die Beweisführung auf den voran-gehenden Folien hat dieses Prinzip bestätigt: log2(43) = log2(4 • 4 • 4) = log24 + log24 + log24 = oder kürzer: 3 • log24 = 6 = 3 • 2 = 6 Verfahre ebenso bei der neuen Aufgabe! ...dann KLICK! Prinzip: Schreibe die Potenz 43 (Numerus) als Produkt, ...dann KLICK! Rechenart: Rückstufung auf: Multiplikation Addition Division Subtraktion lg(10004) = lg(1000 • 1000 • 1000 • 1000) = lg lg lg lg1000 = 4 • lg1000 = 4 • 3 = 12 ... und wende dann die bereits bekannte Produktregel an! loga(u • v) = logau logav + Wenn wir uns den Verlauf der ersten Aufgabe als Vorbild nehmen, dann können wir auf diesem Weg auch den Beweis in allgemeiner Form führen: Diese Summe schreibst du in Zukunft gleich als Produkt!. loga( ) = logau logav u v - n Faktoren c loga (cn) = loga(c • c • c • • c) = Potenzieren Multiplikation ? Entwickle die Beweisführung! Hole dir Rat bei Folie 2, wenn du wissen willst, wie du die Potenz cn als Faktoren schreiben sollst. Zum Überprüfen: KLICK! logac + logac + logac logac = n•logac Regel 3: loga(cn) = n•logac Eine Potenz wird logarithmiert, indem man den Exponenten Radizieren Radizieren =Potenzieren mit gebrochenem Exp. ? mit dem Logarithmus der Basis multipliziert. Kein eigenes Gesetz n m loga( ) = loga( ) = logac 4. Logarithmus einer Wurzel Im Lehrwerk „Wurzeln“ (Folie 27) haben wir gelernt, dass man alle Wurzeln als Potenzen mit gebrochener Hochzahl schreiben kann: Unsere nächsten zwei Schritte werden sich mit dem Logarithmieren von Potenzen und Wurzeln beschäftigen. n m Also: loga( ) = loga( ) = logac Regel 3 (oben) anwenden! Bleibe dem Prinzip treu und fülle die Felder auf dem AB mit dem richtigen Begriff aus! ...dann KLICK! Werden die Rechenarten dabei ebenfalls zurückgestuft? Regel 4: (Was noch zu beweisen ist!) indem man zuerst die Wurzel in eine Potenz verwandelt Eine Wurzel wird logarithmiert, Diese Rückstufungen bringen bei der rechnerischen Anwendung große Vorteile! und dann den gebrochenen Exponenten mit dem Logarithmus der Basis multipliziert. 1

17 Eine große Anzahl vielfältiger Übungsaufgaben findest du unter
Eine –allerdings kostenpflichtiger- Ausdruck der Lösungen wird ebenfalls angeboten. Wir haben jetzt die notwendigen Werkzeuge kennen gelernt, mit denen wir die Berechnung der Aufgabe von Folie 13 (BANKWESEN) fertig stellen können. Wie kann ich eine Variable isolieren , die im Exponenten einer Potenz steht? Du erinnerst dich? 4. Stufe: Rückbezug auf den Aufgabentext. Bewertung des rechnerischen Ergebnisses 3. Stufe: Mathematische Werkzeuge nutze. Rechnen! Pauls Vater hat die € auf 5 Jahre fest angelegt. (Die minimale Abweichung bei der Rechnung ergab sich durch Rundungen.) Kn = K0 • qn n : € 11314,08 € = 10000 € • 1,025 10000 € 11314,08 € = Dieses Ergebnis stimmt überein mit dem Ergebnis deines Arbeitsauftrages, den du bereits auf dem AB zu Folie 14 ausgeführt hast. 1,025n lg d. h.: Beide Seiten der Gleichung logarithmieren! = lg 10000 11314,08 lg 1,025n Regel 2 anwenden! Regel 3 anwenden! n• Berechne auf dem AB für jedes Jahr den Wert für Kapital + ‚Zinseszins‘ : lg 1,025 lg 1,025 = lg 11314,08 - lg10000 Setze jetzt die Lösung der Aufgabe auf dem AB (Folie 13/17)fort, indem du dir die Regeln zum Rechnen mit Logarithmen zu Nutze machst! ...dann KLICK! - lg10000 lg 11314,08 n = Eingabe Taschenrechner! lg 1,025 n = Vergleiche diese Ergebnisse noch einmal mit deinem Arbeitsblatt zu Folie 13! 4, 1

18 Arten von Zahlen e π √3 √7 ⅚ -⅜ ⅘ √15 ℝ ℤ -1 -2 -3 ... 1 2 3 4 ... 5 ℕ
Den natürlichen Zahlen ℕ begegnen wir bereits in der Grundschule. ℕ={1, 2, 3, ....} Arten von Zahlen Ein Überblick: Es ist nicht einheitlich festgelegt, ob die Null zu den natürlichen Zahlen gehört. Eine weit verbreitete Schreibweise zählt die Null dazu und benennt diese Menge mit ℕ0={0, 1, 2, 3, ...}. π e -1 -2 -3 ... 1 2 3 4 ... 5 ℕ0 ℕ0 ist nur ein Teil der Menge der ganzen Zahlen ℤ. √3 √7 √15 3 ... -⅜ 1,2 -2,5 7/11 Es gibt auch noch die negativen ganzen Zahlen: {-1, -2, -3, ....} ℤ = { , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } Wo ordnen wir die Bruchzahlen ein? { ... -½, -⅔, -⅘, -1,25, ⅜, 0,38 32/7, ... } Du kannst jede ganze Zahl aus der Menge ℤ als Bruchzahl schreiben. z.B. 3 = 3/1 oder -2 = -2/1. Auch die endlichen Dezimalzahlen sind Bruchzahlen. z.B. 1,2 = 12/10. Also gehört jede ganze Zahl und jede endliche Dezimalzahl auch zu den Bruchzahlen. Bei etlichen Nennern ergeben sich beim Dividieren auch unendliche periodische Dezimalzahlen. z.B. 7/11 = 0,63. Alle diese Bruchzahlen nennt man rationale Zahlen. Zeichen: ℚ (von Quotient) Neu: Die unendlichen und nicht periodischen Dezimalbrüche, die beim Ziehen von Wurzeln entstehen. (Immer, wenn der Radikand keine Quadratzahl bzw. kein Wert höherer Potenzen ist.) Alle diese Wurzelwerte können wir nicht als Bruchzahlen schreiben. Man spricht von den irrationalen Zahlen. Da man sie genau wie alle rationalen Zahlen aber auf dem Zahlenstrahl genau verorten kann, fasst man sie mit diesen als reelle Zahlen zusammen. Zeichen: ℝ 1 Du kennst bereits eine andere irrationale Zahl, nämlich die Kreiszahl Pi. π ≈ 3, Außerdem gehört die sog. Eulersche Zahl e (Wachstumszahl) dazu. e≈ 2,

19 DAS ‚4-STUFEN-PRINZIP‘ ... ein Kreislauf
... dann benennt man den gesamten Kreislauf mit dem Fachbegriff „Modellieren“. beim Lösen von Mathe-Problemen in ‚Textaufgaben‘. Hintergrund ist eine wirklichkeitsnahe Geschichte. (oft) In Ruhe durchlesen . Ist die Frage schon gestellt? Habe ich Erfahrungen mit dem Thema? Kann ich mir das vorstellen? Fehlen mir Informationen? Wo finde ich sie? Sind etwa unnötige Informationen enthalten? 1. Stufe: “Sich ein Bild machen.“ 2. Stufe: „Vom Bild zur Mathematik“ Was ist der Kern des Problems Zusammenhänge suchen und herstellen, übersetzen in mathematische Sprache (z.B. Symbole, Skizzen, Zeichnungen, Gleichungen  Modelle). Entscheidungen zum Lösungsweg ‚Modellbildung‘ eigentliche 3. Stufe: Mathematische Werkzeuge nutzen. Rechnen und/oder zeichnen im Modell! z.B. Grundrechenarten/ Gleichungen/ Gleichungssysteme/Zeichnungen/Graphen bis zum Ergebnis ... ist eigentlich ein KREISLAUF kritisch bewerten, auswerten, evtl. runden, wieder einordnen in die reale Geschichte! Rückübersetzen der mathematischen Sprache in die Alltagssprache ➔ Antwortsatz 4. Stufe: Überprüfen des Ergebnisses / Antwortsatz. 1

20 Wie kann man so was vermeiden?
Welche Gefahr droht? Wie kommt so was? Wie kann man so was vermeiden? Beim Lernen errichten wir ein Wissenshaus! Stelle es auf ein solides Fundament! Risse im Fundament musst du vermeiden! Wie geht das? Auf der nächsten Folie wird einiges erklärt. 1 21

21 Verändertes Verhalten
© 2014 Gernot Mühlbacher Wie soll ich mir einen Lernvorgang vorstellen? All dein Wissen und alle Erfahrungen, die du bisher gemacht hast, sind in deinem Gehirn gespeichert. Ohne Abspeichern läuft nichts! So entsteht dein ‚Bewusstsein‘. Es ist das Ergebnis vorangegangener Lernschritte. Lernen beginnt ja schon mit der Geburt! Lernen ist (nur) dann ein erfolgreicher Vorgang, wenn es zu einer (möglichst bleibenden) Änderung deines Verhaltens führt. Beispiel: Beim Fangen eines Balles öffnest du deine Hände und beugst die Ellenbogen. Dieses Verhalten erlernst du zum Beispiel durch Hinweise und häufiges Üben im Training des Handballvereins. Vergleiche die Aussagen im Text mit der bildlichen Darstellung! auf dem bestehenden Bewusstsein (Wissen, Erfahrung) aufbauend durch Verknüpfung mit neuen Reizen (Informationen) Ein neuer LERNSCHRITT Neue Informationen Umwelt z.B. Unterricht zeigt sich in Form von: neuem Wissen, neuen Erfahrungen, neuen Fertigkeiten, neuen inneren Haltungen / Einstellungen Verändertes Verhalten Ver- knüp- fung und / oder Frage: Was müssen wir tun, um zu einer möglichst bleibenden Verhaltensänderung, also zu erfolgreichem Lernen zu gelangen? Lernen ist mehr als nur Verstehen! Der neu erkannte Sachverhalt (das neu erworbene Wissen) wird immer wieder hinterfragt und bearbeitet und erst durch dieses Wiederholen gefestigt. Wenn diese Vernetzung unterbleibt, dann kann kein weiteres Lernen darauf aufbauen. Der neue Lernschritt ist erst abgeschlossen, wenn das neue Wissen und die neuen Erfahrungen im bisher bestehende Bewusstsein fest eingebunden (gespeichert) sind. 1

22 Logarithmen Bildnachweis: 1
Folie:0 /1 /11 Bild 1 NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg  Lizenz - Diese Datei ist unter der Creative-Commons-Lizenz „Namensnennung – Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 nicht portiert“ lizenziert.  - GNU-Lizenz für freie Dokumentation, Version 1.3 Urheber: This image was created by Chris 73 Titel/Jahr: Nautilus shell cut in half. 22. Jan. 2009 Medium: Fotografie URL / Datum https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/08/NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg / 20:01, 22. Jan. 2009 Folie: 11 Bild2 Low pressure system over Iceland.jpg  Lizenz Diese Datei ist gemeinfrei (public domain), da sie von der NASA erstellt worden ist. Die NASA-Urheberrechtsrichtlinie besagt, dass „NASA-Material nicht durch Urheberrecht geschützt ist, wenn es nicht anders angegeben ist“. (NASA-Urheberrechtsrichtlinie-Seite oder JPL Image Use Policy). Urheber NASA’s Aqua/MODIS satellite Jahr:  4. September 2003 Medium: Ausschnitt aus o.g. Bild (verkleinert) URL / Datum Folie: 11 Bild3 Goldener Schnitt Bluetenstand Sonnenblume.jpg Mit freundlicher Genehmigung von Doris Haß Spiralen eingezeichnet von Wolfgang Beyer  Lizenz Diese Datei ist unter der Creative-Commons-Lizenz „Namensnennung – Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 nicht portiert“ lizenziert. Urheber von Dr. Helmut Haß, Koblenz [GFDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html) oder CC-BY-SA-3.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)], via Wikimedia Commons 3. Juni 2009 / Mit freundlicher Genehmigung von Doris Haß Medium: Fotografie / Verkleinerung URL / Datum https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b6/Goldener_Schnitt_Bluetenstand_Sonnenblume.jpg Folie: 11 Bild 4 Ssc c.jpg  Lizenz Diese Datei ist gemeinfrei (public domain), da sie von der NASA erstellt worden ist. Die NASA-Urheberrechtsrichtlinie besagt, dass „NASA-Material nicht durch Urheberrecht geschützt ist, wenn es nicht anders angegeben ist“. (NASA-Urheberrechtsrichtlinie-Seite oder JPL Image Use Policy). Urheber NASA/JPL-Caltech/S. Willner (Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics) Titel/Jahr: 6. November 2003 Medium: Fotographie (Ausschnitt) URL / Datum Eigene Fotos und Werke wurden nicht in die fortlaufende Nummerierung aufgenommen. Das Urheberrecht liegt beim Autor. 1

23 Kurz erklärt Kommt es zu einem Feuchte- oder Leitungswasserschaden, sind wir der ERSTE Experte am Schadenort. Wir leiten ERSTE Maßnahmen im Rahmen der Ursachenermittlung/-analyse und Schadenminderung ein. Wir treffen ERSTE Entscheidungen, wie mit der jeweiligen Situation unserer Empfehlung nach umzugehen ist und liefern unabhängig von Nachgewerken ERSTE Ergebnisse, Details zum Schadenausmaß und Einschätzungen zur weiteren Vorgehensweise. Auszüge aus START vor

24 Partner in Ihrer Nähe: A bis K Nächste Seite: L bis W
... über 60 Standorte in Deutschland und Österreich Aachen - Jülich - Düren - Zülpich - Bornheim - Bad Münstereifel - Bergheim - Kerpen - Erftstadt Düsseldorf - Velbert - Ratingen - Neuss - Grevenbroich - Solingen - Remscheid - Wuppertal Gütersloh Hamburg-Nord Hamburg-West Amberg - Weiden - Schwandorf - Cham - Regensburg Erfurt - Halle - Nordhausen - Straßfurt - Dessau Hannover - Hildesheim - Hameln Essen - Bottrop - Gladbeck - Dorsten - Oberhausen - Mühlheim/Ruhr Augsburg - Meitingen - Aichach - Fürstenfeldbruck - Starnberg - Landsberg am Lech - Bad Wörrishofen Heidelberg - Mannheim - Ludwigshafen - Worms - Bergstraße Frankfurt am Main - Wiesbaden - Offenbach - Hanau - Nidderau Helmstedt - Magdeburg - Quedlinburg - Braunschweig - Wolfsburg Aurich - Emden - Wittmund - Wilhelmshaven - ostfriesische Inseln - Bremen - Bremerhaven - Cuxhaven Freiburg - Lahr - Breisach - Bad Krozingen - Weil am Rhein - Titisee-Neustadt Ingolstadt Bayreuth - Bamberg - Coburg - Hof - Plauen - Jena - Gera - Zwickau Fulda - Bad Orb - Gersfeld (Rhön) - Zella-Mehlis - Bad Salzungen - Bad Hersfeld - Alsfeld - Stadtallendorf Karlsruhe - Rastatt - Baden-Baden - Bühl - Pforzheim - Bretten - Bruchsal - Wörth - Landau - Speyer Gießen - Wetzlar - Limburg a.d. Lahn - Montabaur - Taunusstein - Bad Homburg - Bad Nauheim Kassel - Marburg - Eisenach - Paderborn Chemnitz - Meerane - Zwickau - Döbeln - Meißen - Radebeul - Annaberg-Buchholz Kempten - Lindau - Friedrichshafen - Bad Saulgau - Memmingen - Kaufbeuren - Leutkirch - Füssen - Sonthofen Gmunden - Kirchham - Wels - Grieskirchen - Schärding - Salzburg Crailsheim - Ansbach - Bad Mergentheim - Öhringen - Schwäbisch Hall - Dinkelsbühl - Rothenburg o.d.T. - Waiblingen - Schorndorf - Backnang - Heilbronn - Eppingen - Bietigheim-Bissingen Graz - Deutschlandsberg - Hartberg - Feldbach - Voitsberg - Weiz - Leibnitz - Fürstenfeld - Graz-Umgebung - Radkersburg - Güssing - Jennersdorf - Oberwart - Wolfsberg - Völkermarkt Kiel Koblenz - Neuwied - Bonn - Rhein-Sieg-Kreis Darmstadt - Rüsselsheim - Aschaffenburg - Groß-Umstadt - Rodgau Köln - Brühl - Wesseling - Hürth - Frechen - Pulheim - Hilden - Leverkusen - Bergisch Gladbach Göppingen - Leinf.-Echterdingen - Nürtingen - Tübingen - Reutlingen - Ehingen (Donau) Dortmund - Bochum - Wetter (Ruhr) - Herdecke - Schwerte - Fröndenberg (Ruhr) Göttingen - Detmold - Salzgitter - Holzminden - Bad Harzburg Nächste Seite: L bis W START zurück vor

25 Partner in Ihrer Nähe: L bis W
... über 60 Standorte in Deutschland und Österreich Leipzig - Dessau-Roßlau - Zerbst - Wittenberg - Jessen - Torgau - Riesa - Grimma - Borna - Weißenfels - Merseburg - Delitzsch - Köthen Rosenheim - Garmisch-Partenkirchen - Weilheim i.OB - Burghausen - Geretsried - Ottobrunn - Waldkraiburg - Traunreut - Berchtesgadener Land Wien Wiener Neustadt Würzburg - Wertheim - Tauberbischofsheim - Bad Windsheim - Schweinfurt - Bad Neustadt a.a. Saale - Lohr Linz Recklinghausen - Gelsenkirchen - Marl - Lüdinghausen - Werne - Lünen Mainz Sauerland - Siegen - Gummersbach - Hagen - Arnsberg Mönchengladbach - Jüchen - Erkelenz - Hückelhoven - Geilenkirchen - Heinsberg - Wegberg - Nettal - Viersen - Kempen - Tönisvorst - Krefeld Schwerin - Stralendorf - Boizenburg/Elbe - Uelzen - Salzwedel - Stendal - Wittenberge - Perleberg - Pritzwalk - Güstrow - Wismar München Stadt Stuttgart Münster - Lengerich - Rheine - Ibbenbüren - Lingen (Ems) - Nordhorn - Vreden - Borken - Dülmen Tirol Trier Neubrandenburg -Rostock - Stralsund - Greifswald - Briggow - Prenzlau - Schwedt - Neuruppin Tulln - Hollabrunn - Horn - St. Pölten - Zwettl - Krems - Korneuburg - Mistelbach - Gänserndorf - Gmünd - Klosterneuburg - Waidhofen a. d. Thaya - Wien Bezirk Nürnberg - Fürth - Erlangen - Roth - Eichstätt Niederbayern Passau - Deggendorf - Straubing - Landshut Tuttlingen - Rottweil - Singen - Konstanz - Friedrichshafen - Sigmaringen Oldenburg - Emden - Vechta Ulm - Neu-Ulm - Aalen - Schwäbisch Gmünd - Ellwangen - Nördlingen - Heidenheim - Günzburg - Dillingen - Illertissen - Laupheim - Krumbach - Biberach a. d. Riß Osnabrück - Herford - Minden - Enger START zurück


Herunterladen ppt "Stichwortverzeichnis"

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen