Umgang mit Wissen vorgestellt von StDin Claudia Homberg-Halter, Dozentin.

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1 Umgang mit Wissen vorgestellt von StDin Claudia Homberg-Halter, Dozentin

2 Gliederung Merkmale des Wissensumgangs  Wissensexploration  Wissensorganisation  Wissensreflexion Problemlösestrategien nach Polya (n-1) – Strategie 4 Phasen der Arbeit Vernetzen von mathematischen Themen  Beispielaufgaben

3 Funktion und Entwicklung von Aufgaben Aufgaben bestimmen das schulische und häusliche Lernen, Klassenarbeiten, Prüfungen, usw. Traditionell sind sie produktorientiert: Löse, bestimme, berechne, beweise, usw. Die neue Aufgabenkultur bringt (authentische) Anwendungsaufgaben mit Kontextvariationen. Sie sind zunehmend prozessorientiert.

4 Lernen und Wissen Lernen ist ein Konstruktionsprozess, der wesentlich vom Vorwissen abhängt. Umfang, Organisation, mentale Repräsentation und Abrufbarkeit des Vorwissens bestimmen die Qualität des Wissens Wissen besteht aus Fakten-, Konzept-, Theorie-, Methoden- und Prozesswissen. Der Umgang mit Wissen und der Wissensrepräsentationen ist der Dreh- und Angelpunkt des Lernens. Lexikon: Repräsentation Allgemein bedeutet Repräsentation das Gegenwärtigmachen in der Vorstellung bzw. die Darstellung von etwas, das im wörtlichen Sinne oder tatsächlich nicht gegenwärtig ist.

5 Wissenspyramide DIKW - Modell (Wikipedia) Kenntnisse

6 Weiterentwicklung von Aufgaben Planung von Unterricht darf nicht nur den Lehrstoff, sondern muss ganz wesentlich den Prozess des Lernens, Denkens und Verstehens berücksichtigen. Deshalb müssen Aufgabenstellungen auch explizit auf den Umgang mit Wissen ausgerichtet sein.

7 Merkmale des Wissensumgangs nach Johann Sjuts Wissens - exploration Wissens - organisation Wissens - reflexion Merkmale des Wissensumgangs

8 Wissensexploration (Wissenserkundung, -erforschung) EigenschaftenBezüge Wissens- exploration heuristisch (eindeutig, Weg offen, Erfolg nicht garantiert) Lösungen (entdecken) divergent (Weg und/oder Ziel offen) Ideen, Vorschläge (entwickeln) beziehungs- haltig Inner- und Außerfachliches (vernetzen)

9 Aktivitäten heuristisch auskundschaften, erforschen, erproben, entdecken, ergründen, erfinden, vermuten, schätzen, überschlagen divergent erfinden, auswerten, variieren, entwickeln, vermuten, verallgemeinern, abstrahieren, kreieren, konstruieren beziehungshaltig verbinden, vernetzten, verknüpfen, Zusammenhänge herstellen, systematisieren, Schlüsse ziehen, Modelle bilden

10 Beispiele Wie oft können sich drei Kreise schneiden? (heuristisch) Welche Gleichungen haben 4,5 als Lösung? (divergent) Ein Auto mit einer Geschwindigkeit von 162 km/h bremst so ab, dass sich seine Geschwindigkeit pro Sekunde um 6m/s verringert. Wie lang ist der Bremsweg? Rechne und zeichne! (beziehungshaltig)

11 Beispiele mit Einordnung (heuristisch) Gibt es Dreiecke mit 25 cm 2 Flächeninhalt? Wie viele findest du? Welches rechtwinklige Dreieck mit 5 cm Hypotenusenlänge hat den größten Inhalt? Eine Turnhalle ist 10 m breit, 30 m lang und 5 m hoch. 2 Schüler, die an gegenüber- liegenden Wänden stehen, werfen sich einen Ball zu. Beschreibe die Flugbahnen von 3 verschiedenen interessanten Positionen aus durch maximale Parabeln. (heuristisch) (divergent) (beziehungshaltig)

12 Umformen einer Schulbuchaufgabe Aufgabe: Bestimme den Schnittpunkt der Geraden g 1 : y= -4x+5 und g 2 : y= 3x-7 Formen Sie diese Aufgabe jeweils so um, dass sie heuristisch, divergent und beziehungshaltig wird!

13 Mögliche Umformungen Heuristisch: Gibt es Geraden, die die Gerade g 1 : y= -4x+5 in (3/2) schneiden? Welche Bedingung muss die Geradengleichung erfüllen? Divergent: Gib drei Geraden an, die sich in (3/2) schneiden. Beziehungshaltig: Ein Schiff startet in (4/0) mit Kurs NW. Ein zweites Schiff kommt aus (4/5) mit Kurs SW. Was passiert?

14 Wissensorganisation EigenschaftenBezüge Aktivitäten Wissens- organisation texterschließend Texte, Textteile (bearbeiten, nachschlagen) expositorisch Sachverhalte, Eindrücke (darstellen, erörtern) syntaktisch Namen, Zeichen (vereinbaren, übersetzen)

15 Beispiel einer syntaktischen Aufgabe Modelliere das Zufallsexperiment: „Würfeln mit einem Tetraeder“ Hier muss man zuerst Bezeichnungen für die einzelnen Ergebnisse wählen, bevor man die Wahrscheinlichkeits- verteilung angibt.

16 Wissensreflexion EigenschaftenBezüge Aktivitäten Wissens- reflexion fehleranalytisch Fehler, Lücken (finden, beheben) diskursiv (hin und her denken, folgern) Äußerungen (vergleichen, hinterfragen) evaluativ Lern-, Denk-, Verstehensvor- gänge (bewerten)

17 Beispiel 13 Vögel sitzen auf einem Dach. Erst fliegen 7 weg, dann kommen 3 hinzu. Welche Rechnungen sind richtig? Erkläre, wie die Rechnung zustande kommen! 13-7+3 ; 13 - 4 13+4 ; -7 +3 6+3 ; 13 + 3 –7 Die Aufgabe ist fehleranalytisch und evaluativ

18 Problemlösestategien nach Polya Aufgabe: Ein Quadrat soll so in ein Dreieck einbeschrieben werden, dass 2 Ecken auf der Grundseite, die beiden anderen Ecken auf je einer Seite liegen. Skizze

19 Strategie Wir legen erst einmal 3 Ecken auf die Dreiecksseiten und beobachten die Lage der 4. Ecke. Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der Seite ergibt den vierten Eckpunkt. Jetzt hat man die Höhe und somit das gesuchte Quadrat.

20 Bezeichnung: n-1 Strategie Bei dieser Strategie reduziert man die gegebenen Bedingungen um 1 und sucht Gemeinsamkeiten, Teillösungen. Danach greift man die letzte Bedingung wieder auf.

21 Gruppenarbeit Gruppe 1 1)Über eine 100 m breite und 50 m tiefe Schlucht soll eine Hängebrücke gebaut werden! 2)Drei Straßen bilden ein Dreieck. In dieses soll ein Spielplatz so gebaut werden, dass er von den Straßen möglichst weit entfernt liegt. Wenden Sie die n-1 Strategie auf diese Aufgaben an!

22 Gruppenarbeit Gruppe 2 1)Eine Turnhalle ist 10 m breit, 30 m lang und 5 m hoch. 2 Schüler, die in gegenüber- liegenden Ecken stehen, werfen sich einen Ball zu. 2)Drei Ortschaften wollen gemeinsam ein Schwimmbad errichten. Es soll von allen 3 Ortschaften gleich weit entfernt sein. Wenden Sie die n-1 Strategie auf diese Aufgabe an!

23 Die 4 Phasen der Arbeit  Das kann ich nicht! Wie oft hören Lehrer solche Äußerungen, kaum dass der Schüler eine Aufgabe überflogen hat? Wie kann man ihm eine Strategie vermitteln, bei der ein Schritt nach dem anderen getan wird?

24 Phase 1: Verstehen der Aufgabe Was ist gegeben? Was ist gesucht? Wie sind die Bedingungen? Aktivitäten: vertraut machen, skizzieren, benennen, zerlegen, Reihenfolge ändern

25 Phase 2 Plan ausdenken Kennst du eine verwandte Aufgabe? Kannst du die Aufgabe anders ausdrücken? Hast du alle Daten benutzt? Aktivitäten: Begriffe vergleichen, Variablen wieder- erkennen, spezialisieren, verallgemeinern, Text bearbeiten, vernetzen

26 Phase 3 Plan durchführen Ausgedachte Schritte ausführen! Sorgfältig und geduldig arbeiten! Ständig kontrollieren! Aktivitäten: Plan nicht vergessen, Reihenfolge beachten, Schritte begründen

27 Phase 4 Rückschau halten Kannst du das Ergebnis kontrollieren? Führt ein anderer Weg zum gleichen Resultat? Gibt es noch eine Lösung? Bringt dich dein Resultat oder deine Methode weiter? Aktivitäten: anzweifeln, überprüfen, verbessern, mit Intuition und Realität vergleichen, Anwendungsmöglichkeiten suchen

28 Beispiel Konstruiere ein Dreieck mit c = 7 cm, h c = 4 cm und  = 90° Führen Sie alle 4 Phasen durch!

29 Vernetzen von Lerninhalten Bei einem Kreis wird kontinuierlich der Radius von 0 cm auf 3 cm in 0,5er Schritten erhöht. a) Berechne die jeweiligen Flächeninhalte als Vielfache von  (lege eine Tabelle mit r und A an) b) Trage diese Werte in ein Koordinaten- system ein und verbinde. Beschreibe das Schaubild. c) Bestimme den Umfang für alle Kreise als Vielfaches von , lege eine Tabelle an und zeichne in dein KS.

30 Von der Kreisfläche zur Quadratfunktion Diese Aufgabe vernetzt die Geometrie mit den quadratischen Funktionen und dient als Motivation für f(x) = x 2

31 Verschiedene Funktionen Ein Waldgebiet wird begrenzt durch einen Fluss, der sich mit f(x) = x 2 – 7x + 12 windet, und einer Straße s(x) = –x+7. a) Für welche x – Werte kann man innerhalb des Waldgebietes bleiben ? Löse auf 2 Arten! b) Wie viel m Zaun bräuchte man, um das Waldgebiet einzuzäunen? (rechne und schätze sinnvoll) (1 Einheit = 100 m) c) Welche Fläche nimmt das Gebiet höchstens ein? (schätze möglichst genau) d) Rotiere die Waldfläche in Gedanken um die x- Achse. Skizziere das dadurch entstehende Gebilde!

32 Waldgebiet 12345678 1 2 3 4 5 6 7 8

33 Danke für Ihre Aufmerksamkeit