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127.06.2016Ilona Schaßner-Held Die einfachste quadratische Funktion (Normalparabel) 1.Ergänze die Wertetabelle zu y = x² x-3-200,5123 y 94100,25149 2.

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3 Die einfachste quadratische Funktion (Normalparabel) 1.Ergänze die Wertetabelle zu y = x² x-3-200,5123 y 94100,25149 2. Stelle diese Funktion in einem Koordinatensystem dar ! (Überlege dir gut, wie du die Koordinatenachsen einteilst !) y x Und nun trage die Punkte ein ;auf der nächsten Folie siehst du die Lösung : 227.06.2016Ilona Schaßner-Held

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5 Nullstelle : N (0/0) 427.06.2016Ilona Schaßner-Held Scheitelpunkt: S (0/0)

6 Bei Funktionen der Form y = x² + c wird die Normalparabel einfach nach oben oder nach unten (je nach Vorzeichen von c) parallel verschoben. y = x² + 1, y = x² - 2 y = x² - 5 527.06.2016Ilona Schaßner-Held

7 Bei Funktionen der Form y = (x - d)² wird die Normalparabel nur nach rechts (d positiv) oder nach links (d negativ) parallel verschoben ! 627.06.2016Ilona Schaßner-Held y =(x + 3)² y = (x – 3)²

8 Bei Funktionen mit der Gleichung y = (x - d)² +c kann die Normalparabel logischerweise in jede Richtung verschoben sein. Ihr Scheitelpunkt lautet nämlich jetzt : S (d ; e ) Nr. ScheitelpunktGleichung 1 2 3 4 5 S ( -4 ; 0 )y = (x+4)² S (-1 ; -3)y = (x+1)² -3 S (2 ; -2)y = (x – 2)² - 2 S ( 3 ; 1 )y = (x – 3)² + 1 S ( 6 ; -5 ) y = (x – 6)² - 5 27.06.2016Ilona Schaßner-Held

9 Gleichung I y= (x + 1)² - 2 Gleichung II y = (x – 2)² + 1 Gib die Scheitelpunkte an und lies die Nullstellen der beiden Funktionen ab ! Gib auch den Schnittpunkt A der beiden Parabeln an! Scheitelpunkte : (1): S (- 1 ; - 2 ) (2): S ( 2 ; 1 ) A Nullstellen : (1)N1( - 2,3/0)5 und N2 (0,4/0) (2)keine Schnittpunkt A der Parabeln : A( 1 ; 2 ) 27.06.2016Ilona Schaßner-Held

10 Hier siehst du, wie die Parabel der Funktion y = x² + 4x – 3 aussieht. In dieser Normalform y = x² + px + q sind quadratische Funktionen oft gegeben. 927.06.2016Ilona Schaßner-Held

11 Berechne zu folgenden Funktionen den Scheitelpunkt, stelle sie dann in einem KS zeichnerisch dar und lies folgende Eigenschaften ab : Nullstellen, Schnittpunkt mit der y – Achse und Quadranten. a) y = x² - 4x – 1 b) y = x² + 8x + 10 und c) y = x² - x – 0,25 FunktionScheitelpunktQuadrantenNullstellenSchnittpunkt mit der y-Achse a) b) c) S ( 2 ; - 5 ) S ( - 4 ; 6 ) S ( 0,5 ; 0 ) I,II,III,IV I,II - 0,3 ; 4,2 - 1,5 ; - 6,5 0,5 ( 0 ; - 1 ) ( 0 ; 10 ) ( 0 ; 0,25 ) 1027.06.2016Ilona Schaßner-Held

12 a : y = x² - 4x – 1 b : y = x² + 8x + 10 c : y = x² - x – 0,25 1127.06.2016Ilona Schaßner-Held

13 Wenn die Nullstellen genau bestimmt werden sollen, berechnet man sie. Es gilt dann : y = 0 ! Also ist 0 = (x -d)² + c oder 0 = x² + px + q Ob die Funktion Nullstellen hat, hängt von dem Ausdruck unter der Wurzel,der sogenannten Diskriminante D, ab. Es gibt 2 Lösungen, wenn D > 0 ist. Es gibt 1 Lösung, wenn D = 0 ist. Es gibt keine Lösung, wenn D < 0 ist., 1227.06.2016Ilona Schaßner-Held

14 13 Eine Funktion kann keine, eine oder mehrere Nullstellen haben. x n = / x n = 0 x n1 = -1 und x n2 = 1

15 27.06.2016Ilona Schaßner-Held14 Berechne die Scheitelpunkte und Nullstellen der folgenden Funktionen, zeichne sie dann in ein KOOS und vergleiche die dort abzulesenden Nullstellen mit deinen berechneten Nullstellen. Berechne außerdem den Schnittpunkt der Parabeln mit der y - Achse und den Schnittpunkt zwischen der 1. und 2. Parabel : (1) y = x² + 4x + 5(2) y = x² - 2x + 1 (3) y = x² - 6x + 8

16 S 1 ( -2 ; 1 ) S 2 ( 1 ; 0 ) S 3 ( 3 ; -1 ) (1): keine NS (D < 0) (2): NS: 1 (D = 0) (3): NS`n: 2 und 4 (D > 0) D C B 1527.06.2016Ilona Schaßner-Held

17 27.06.2016Ilona Schaßner-Held16 Für die Schnittpunkte mit der y – Achse gilt : x = 0 : (1): y = 0² + 40 + 5 y = 5 (2): y = 0² - 20 + 1 y = 1 (3): y = 0² - 60 + 8 y = 8

18 27.06.2016Ilona Schaßner-Held17 Also ist der Schnittpunkt der Parabeln gerundet : ( -0,7 ; 2,8 ) Schnittpunkt der Parabeln:

19 Berechne selbst die Schnittpunkte C (Parabel 2 und 3) und D (Parabel 1 und 3) 1827.06.2016Ilona Schaßner-Held

20 Schnittpunkt C (Funktion (2) und (3) :Schnittpunkt D (Funktion (1) und (3) : x² - 2x + 1 = x² - 6x + 8 | - x² - 2x + 1 = - 6x + 8 | + 6x und | - 1 4x = 7 | : 4 x = 1,75 und weil y = x² - 2x + 1 ist, gilt: y = 0,5625 x² + 4x + 5 = x² - 6x + 8 | - x² + 4x + 5 = - 6x + 8 | + 6x und | - 5 10x = 3 | : 10 x = 0,3 und weil y = x² + 4x + 5 ist, gilt: y = 6,29 S C ( 1,75 ; 0,56 ) S D ( 0,3 ; 6,29 ) 1927.06.2016Ilona Schaßner-Held

21 27.06.2016Ilona Schaßner-Held20 Auf der folgenden Folie sind die Funktionen a bis f abgebildet. Gib folgende Sachverhalte (wenn möglich) an :Scheitelpunkte, Nullstellen, Schnittpunkte mit der y – Achse (wenn erkennbar), Quadranten, Funktionsgleichung in der Form y = (x - d)² + c und in der Form y = x² + px + q. ScheitelpunktNullstellenSchnittp. mit der y-Achse Quadranteny = (x + d)² + ey = x² + px + q a b c d e f

22 Berechne außerdem die Schnittpunkte zwischen b und f sowie zwischen a und e ! 2127.06.2016Ilona Schaßner-Held

23 ScheitelpunktNullstellenSchnittp. mit der y-Achse Quadranteny = (x + d)² + ey = x² + px + q a b c d e f S ( 2 ; - 5 ) S ( - 4 ; - 6 ) S ( 0,5 ; 0 ) S ( - 6 ; 4 ) S ( 7 ; - 8 ) Lineare Funktion - 0,3 ; 4,3 - 1,5 ; - 6,5 0,5 keine 4,3 ; 9,8 -3 ( 0 ; - 1 ) ( 0 ; 10 ) ? ( 0 ; 0,3 ) nicht ablesbar ( 0 ; - 6 ) I,II,III,IV I,II,III I,II I,II,IV II,III,IV y = ( x - 2 )² - 5 y = ( x + 4 )² - 6 y = ( x – 0,5 )² y = ( x + 6 )² + 4 y = ( x – 7 )² - 8 y = - 2x - 6 y = x² - 4x - 1 y = x² + 8x + 10 y = x² - x + 0,25 y = x² + 12x + 40 y = x² - 14x + 41 y = mx + b x1/2 = - p/2 ±  p²/4 – q ! a: x 1/2 = - (-4)/2 ±  (-4)²/4 – (-1) ; x1 x1 = 4,24 und x 2 = - 0,24 b: x 1/2 = -8/2 ±  8²/4 – 10 ; x1 x1 = - 1,55 und x2 x2 = - 6,45 c: x 1/2 = - (-1)/2 ±  (-1)²/4 – 0,25 ; x1 x1 = 0,5 ! d: die Wurzel ist nicht berechenbar ! e: x 1/2 = - (-14)/2 ±  (-14)²/4 – 41 ; x 1 = 9,83 und x2 x2 = 4,17 f: x = 6/(-2) x = - 3 ! 2227.06.2016Ilona Schaßner-Held

24 Schnittpunkte zwischen b und f : x² + 8x + 10 = - 2x – 6 | + 2x und | + 6 x² + 10x + 16 = 0 ; x 1/2 = - 10/2 ±  10²/4 - 16 x 1 = - 8 ; x 2 = - 2 ; also ist y 1 = -2(-8) – 6 = 10 und y 2 = -2(-2) – 6 = - 2 S 1 ( - 8 ; 10 ) S 2 ( - 2 ; - 2 ) Schnittpunkte zwischen a und e : x² - 4x – 1 = x² - 14x + 41 |-x² |+ 4x |+ 1 0 = - 10x + 42 also: x = 4,2 und y = 4,2² - 44,2 – 1 ; y = - 0,16 S ( 4,2 : - 0,16 ) !! 2327.06.2016Ilona Schaßner-Held

25 Parabeln mit der Gleichung y =a (x - d)² + c sind keine Normalparabeln. Ist a > 0 so ist die Parabel nach oben geöffnet. Ist a < 0 so ist die Parabel nach unten geöffnet. Ist l a l < 1 so ist die Parabel breiter als die Normalparabel. Ist l a l > 1 so ist die Parabel schlanker als die Normalparabel. Der Scheitelpunkt der Parabel hat die Koordinaten S(d / c ).

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