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Quadratische Funktionen

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Präsentation zum Thema: "Quadratische Funktionen"—  Präsentation transkript:

1 Quadratische Funktionen
Ilona Schaßner-Held Wiederholung: Quadratische Funktionen Ilona Schaßner-Held

2 Die einfachste quadratische Funktion (Normalparabel)
Ergänze die Wertetabelle zu y = x² x -3 -2 -1 0,5 1 2 3 y 9 4 1 0,25 1 4 9 2. Stelle diese Funktion in einem Koordinatensystem dar ! (Überlege dir gut, wie du die Koordinatenachsen einteilst !) y x Und nun trage die Punkte ein ;auf der nächsten Folie siehst du die Lösung : Ilona Schaßner-Held

3 Ilona Schaßner-Held

4 Nullstelle : N (0/0) Scheitelpunkt: S (0/0) 28.04.2017
Ilona Schaßner-Held

5 Bei Funktionen der Form y = x² + c wird die Normalparabel einfach nach oben oder nach unten (je nach Vorzeichen von c) parallel verschoben . y = x² + 1, y = x² - 2 y = x² - 5 Ilona Schaßner-Held

6 Bei Funktionen der Form y = (x - d)² wird die Normalparabel nur nach rechts (d positiv) oder nach links (d negativ) parallel verschoben ! y = (x – 3)² y =(x + 3)² Ilona Schaßner-Held

7 Bei Funktionen mit der Gleichung y = (x - d)² +c kann die Normalparabel logischerweise in jede Richtung verschoben sein. Ihr Scheitelpunkt lautet nämlich jetzt : S (d ; e ) Nr. Scheitelpunkt Gleichung 1 2 3 4 5 S ( -4 ; 0 ) y = (x+4)² S (-1 ; -3) y = (x+1)² -3 S (2 ; -2) y = (x – 2)² - 2 S ( 3 ; 1 ) y = (x – 3)² + 1 S ( 6 ; -5 ) y = (x – 6)² - 5 Ilona Schaßner-Held

8 Lösungen : Gleichung I y= (x + 1)² - 2 Gleichung II y = (x – 2)² + 1
Gib die Scheitelpunkte an und lies die Nullstellen der beiden Funktionen ab ! Gib auch den Schnittpunkt A der beiden Parabeln an! Lösungen : Scheitelpunkte : : S (- 1 ; - 2 ) : S ( 2 ; 1 ) Nullstellen : N1( - 2,3/0)5 und N2 (0,4/0) keine A Schnittpunkt A der Parabeln : A( 1 ; 2 ) Ilona Schaßner-Held

9 Hier siehst du, wie die Parabel der Funktion y = x² + 4x – 3 aussieht.
In dieser Normalform y = x² + px + q sind quadratische Funktionen oft gegeben . Ilona Schaßner-Held

10 Lösungen : a) b) c) Funktion Scheitelpunkt Quadranten Nullstellen
Berechne zu folgenden Funktionen den Scheitelpunkt, stelle sie dann in einem KS zeichnerisch dar und lies folgende Eigenschaften ab : Nullstellen, Schnittpunkt mit der y – Achse und Quadranten. a) y = x² - 4x – 1 b) y = x² + 8x und c) y = x² - x – 0,25 Lösungen : Funktion Scheitelpunkt Quadranten Nullstellen Schnittpunkt mit der y-Achse a) b) c) S ( 2 ; - 5 ) I,II,III,IV - 0,3 ; 4,2 ( 0 ; - 1 ) S ( - 4 ; 6 ) I,II - 1,5 ; - 6,5 ( 0 ; 10 ) S ( 0,5 ; 0 ) I,II 0,5 ( 0 ; 0,25 ) Ilona Schaßner-Held

11 a : y = x² - 4x – 1 b : y = x² + 8x + 10 c : y = x² - x – 0,25
Ilona Schaßner-Held

12 Wenn die Nullstellen genau bestimmt werden sollen, berechnet man sie
Wenn die Nullstellen genau bestimmt werden sollen, berechnet man sie. Es gilt dann : y = 0 ! Also ist = (x -d)² + c oder = x² + px + q Ob die Funktion Nullstellen hat, hängt von dem Ausdruck unter der Wurzel ,der sogenannten Diskriminante D, ab. Es gibt 2 Lösungen, wenn D > 0 ist. Es gibt 1 Lösung, wenn D = 0 ist. Es gibt keine Lösung, wenn D < 0 ist . , Ilona Schaßner-Held

13 Eine Funktion kann Nullstellen haben.
keine, eine oder mehrere Nullstellen haben.                                                                                                                                           xn = / xn = xn1 = -1 und xn2 = 1

14 Berechne die Scheitelpunkte und Nullstellen der folgenden Funktionen, zeichne sie dann in ein KOOS und vergleiche die dort abzulesenden Nullstellen mit deinen berechneten Nullstellen. Berechne außerdem den Schnittpunkt der Parabeln mit der y - Achse und den Schnittpunkt zwischen der 1. und 2. Parabel : (1) y = x² + 4x + 5 (2) y = x² - 2x + 1 (3) y = x² - 6x + 8 Ilona Schaßner-Held

15 Lösungen : S2( 1 ; 0 ) S3( 3 ; -1 ) S1( -2 ; 1 ) (2): NS: 1 (D = 0)
(3): NS`n: 2 und 4 (D > 0) (1): keine NS (D < 0) D B C Ilona Schaßner-Held

16 Für die Schnittpunkte mit der y – Achse gilt : x = 0 :
(1): y = 0² + 4• y = 5 (2): y = 0² - 2• y = 1 (3): y = 0² - 6• y = 8 Ilona Schaßner-Held

17 Schnittpunkt der Parabeln:
Also ist der Schnittpunkt der Parabeln gerundet : ( -0,7 ; 2,8 ) Ilona Schaßner-Held

18 Berechne selbst die Schnittpunkte C (Parabel 2 und 3)
und D (Parabel 1 und 3) Ilona Schaßner-Held

19 Schnittpunkt C (Funktion (2) und (3) :
Schnittpunkt D (Funktion (1) und (3) : x² + 4x + 5 = x² - 6x | - x² x² - 2x + 1 = x² - 6x | - x² - 2x + 1 = x | + 6x und | - 1 + 4x + 5 = x | + 6x und | - 5 4x = | : 4 10x = | : 10 x = 1, und weil y = x² - 2x + 1 ist, gilt: y = 0,5625 x = 0, und weil y = x² + 4x + 5 ist, gilt: y = 6,29 SC( 1,75 ; 0,56 ) SD( 0,3 ; 6,29 ) Ilona Schaßner-Held

20 Schnittp. mit der y-Achse
Auf der folgenden Folie sind die Funktionen a bis f abgebildet. Gib folgende Sachverhalte (wenn möglich) an :Scheitelpunkte, Nullstellen, Schnittpunkte mit der y – Achse (wenn erkennbar), Quadranten, Funktionsgleichung in der Form y = (x - d)² + c und in der Form y = x² + px + q . Scheitelpunkt Nullstellen Schnittp. mit der y-Achse Quadranten y = (x + d)² + e y = x² + px + q a b c d e f Ilona Schaßner-Held

21 In der nächsten Folie kannst du dir die Lösungen anschauen !
Berechne außerdem die Schnittpunkte zwischen b und f sowie zwischen a und e ! Ilona Schaßner-Held

22 Nullstellenberechnungen:
Scheitelpunkt Nullstellen Schnittp. mit der y-Achse Quadranten y = (x + d)² + e y = x² + px + q a b c d e f y = ( x - 2 )² - 5 y = x² - 4x - 1 S ( 2 ; - 5 ) - 0,3 ; 4,3 ( 0 ; - 1 ) I,II,III,IV S ( - 4 ; - 6 ) - 1,5 ; - 6,5 ( 0 ; 10 ) ? I,II,III y = ( x + 4 )² - 6 y = x² + 8x + 10 S ( 0,5 ; 0 ) 0,5 ( 0 ; 0,3 ) I,II y = ( x – 0,5 )² y = x² - x + 0,25 S ( - 6 ; 4 ) keine nicht ablesbar I,II y = ( x + 6 )² + 4 y = x² + 12x + 40 S ( 7 ; - 8 ) 4,3 ; 9,8 nicht ablesbar I,II,IV y = ( x – 7 )² - 8 y = x² - 14x + 41 Lineare Funktion -3 ( 0 ; - 6 ) II,III,IV y = mx + b y = - 2x - 6 Nullstellenberechnungen: x1/2 = - p/2 ±  p²/4 – q ! a: x1/2 = - (-4)/2 ± (-4)²/4 – (-1) ; x1 = 4,24 und x2 = - 0,24 b: x1/2 = -8/2 ±  8²/4 – 10 ; x1 = - 1,55 und x2 = - 6,45 c: x1/2 = - (-1)/2 ±  (-1)²/4 – 0,25 ; x1 = 0,5 ! d: die Wurzel ist nicht berechenbar ! e: x1/2 = - (-14)/2 ±  (-14)²/4 – 41 ; x1 = 9,83 und x2 = 4,17 f: x = 6/(-2) x = - 3 ! Ilona Schaßner-Held

23 Schnittpunkte zwischen b und f :
Schnittpunkte zwischen a und e : x² + 8x + 10 = - 2x – 6 | + 2x und | + 6 x² - 4x – 1 = x² - 14x |-x² |+ 4x |+ 1 x² + 10x + 16 = 0 ; x1/2 = - 10/2 ±  10²/4 - 16 0 = - 10x also: x = 4,2 und x1 = - 8 ; x2 = - 2 ; also ist y1 = -2•(-8) – 6 = 10 und y2 = -2•(-2) – 6 = - 2 y = 4,2² - 4•4,2 – 1 ; y = - 0,16 S1( - 8 ; 10 ) S2( - 2 ; - 2 ) S ( 4,2 : - 0,16 ) !! Ilona Schaßner-Held

24 Parabeln mit der Gleichung y =a (x - d)² + c sind keine Normalparabeln.
Ist a > 0 so ist die Parabel nach oben geöffnet. Ist a < 0 so ist die Parabel nach unten geöffnet. Ist l a l < 1 so ist die Parabel breiter als die Normalparabel. Ist l a l > 1 so ist die Parabel schlanker als die Normalparabel. Der Scheitelpunkt der Parabel hat die Koordinaten S(d / c ).

25 Ilona Schaßner-Held

26 Ilona Schaßner-Held


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