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Hands on Mathematics for CS Injektivität, Surjektivität und Bijektivität von Funktionen Stefan Nesbigall2030115 Sebastian Germesin2029918.

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1 Hands on Mathematics for CS Injektivität, Surjektivität und Bijektivität von Funktionen Stefan Nesbigall Sebastian Germesin

2 Definition: Funktion Definition: Eine Funktion zwischen zwei Mengen M und N ist eine Vorschriftf : M  N, die jedem Element x  M ein Element y  N zuordnet.

3 Definition: Injektiv Definition: Eine Funktion f : M  N heißt injektiv, wenn:  x,y  M: f(x) = f(y)  x = y keine zwei verschiedenen Pfeile aus M auf dasselbe Element in N zeigen nicht injektiv, da f(A) = f(B)  A  B 2 Pfeile von A und B auf 1 zeigen

4 Definition: Surjektiv Definition: Eine Funktion f : M  N heißt surjektiv, wenn:  y  N:  x  f(x)  = y auf alle Elemente in N mind. ein Pfeil aus M zeigt nicht surjektiv, da z.B.  x   f(x)  2 kein Pfeil aus M auf 2 zeigt

5 Definition: Bijektiv Definition: Eine Funktion f : M  N heißt bijektiv, wenn: f injektiv und surjektiv ist. nicht bijektiv, da weder injektiv noch surjektiv.

6 weitere Beispiele injektiv aber nicht surjektiv surjektiv aber nicht injektiv Injektiv und surjektiv  bijektiv

7 Real-World Beispiele (injektiv) (Zugnummer, Datum)  (Gleis, Uhrzeit) jeder Zugnummer in Verbindung mit einem Datum fährt zu einer best. Zeit auf einem Gleis ab/ein. Produktnummer  (Bezeichnung, Preis, Gewicht) jede Produktnummer kennzeichnet eindeutig das Produkt mit seinen jeweiligen Eigenschaften.

8 Real-World Beispiele (surjektiv) Kind  Vater jedes Kind besitzt einen Vater, ein Vater kann jedoch mehrere Kinder haben Zimmer/Raum  Gebäude jedes Zimmer befindet sich in einem Gebäude, dort können jedoch auch mehrere Zimmer sein. (Flugnummer, Datum)  Abflugszeit jeder Flugnummer in Verbindung mit einem Datum wird eine Abflugszeit zugeordnet; zu dieser Zeit können aber mehrere Flugzeuge starten.

9 Real-World Beispiele (bijektiv) Student  Matrikelnummer jeder Student hat eine Matrikelnummer und umgekehrt. Buch  ISBN jedes Buch läßt sich über seine ISBN finden. Bankleitzahl  Bank jede Bank besitzt genau eine BLZ und man kann jeder BLZ eine Bank zuordnen.

10 analytische Betrachtung f : IR  IR f(x) = x³ Injektiv: Innerhalb der Definitionsbereiche darf die parallel-verschobene x-Achse nur einmal den Graphen schneiden. Surjektiv: Der Graph muß bei Projektion auf die y-Achse innerhalb der Definitionsbereiche eine (durchgezogene) Linie ergeben. Bijektiv: Der Graph muß injektiv und surjektiv sein.

11 analytische Beispiele f: IR  IR f(x) = x²

12 analytische Beispiele f: IR  IR nicht injektiv

13 analytische Beispiele f: IR  IR nicht injektiv nicht surjektiv f(x) = x²

14 analytische Beispiele f: IR  IR+ f(x) = x² f: IR  IR nicht injektiv nicht surjektiv

15 analytische Beispiele f: IR  IR+ nicht injektiv surjektiv f(x) = x² f: IR  IR nicht injektiv nicht surjektiv

16 analytische Beispiele f: IR+  IR+ f(x) = x² f: IR  IR nicht injektiv nicht surjektiv f: IR  IR+ nicht injektiv surjektiv

17 analytische Beispiele f: IR+  IR+ injektiv surjektiv  bijektiv f(x) = x² f: IR  IR nicht injektiv nicht surjektiv f: IR  IR+ nicht injektiv surjektiv

18 Fazit: ● Große Gefahr durch Verwechselung der einzelnen Begriffe (injektiv, surjektiv) ● mathematische und anschauliche Definitionsweise ● Betrachtungsweisen – Mengenbetrachtung ● Sonderfälle (z.B. leere Mengen) – analytische Betrachtung ● Achtung Definitionsbereiche


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