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Der Funktionsbegriff Wie sich dem Begriff der Funktion im Mathematikunterricht didaktisch sinnvoll nähern ?

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Präsentation zum Thema: "Der Funktionsbegriff Wie sich dem Begriff der Funktion im Mathematikunterricht didaktisch sinnvoll nähern ?"—  Präsentation transkript:

1 Der Funktionsbegriff Wie sich dem Begriff der Funktion im Mathematikunterricht didaktisch sinnvoll nähern ?

2 Der Funktionsbegriff Kurze Einleitung Kurze Einleitung Die Veranschaulichung von Funktionen und Abbildungen nach Hans Freudenthal Die Veranschaulichung von Funktionen und Abbildungen nach Hans Freudenthal Beispiel aus der Graphenmethode nach Hubertus Stellmacher Beispiel aus der Graphenmethode nach Hubertus Stellmacher Der Funktionsbegriff nach Arnold Kirsch Der Funktionsbegriff nach Arnold Kirsch Im Taschenrechner Im Taschenrechner Definition Definition Darstellungsweisen Darstellungsweisen Eigenschaften Eigenschaften

3 Vier Funktionen ? f: R R mit f(x) = sin x f: R R mit f(x) = sin x f: R + R mit f(x) = sin x f: R + R mit f(x) = sin x f: R [-1,1] mit f(x) = sin x f: R [-1,1] mit f(x) = sin x f: R + [-1,1] mit f(x) = sin x f: R + [-1,1] mit f(x) = sin x

4 Hans Freudenthal (1905 bis 1990) gefunden: am http://www.fi.uu.nl/hf100/images/hansfreudenthal.jpg

5 Beispiele für Funktionen Preis als Funktion der Quantität einer Ware Preis als Funktion der Quantität einer Ware Rabatt als Funktion des Rechnungsbetrags Rabatt als Funktion des Rechnungsbetrags Zinsen als Funktion der Zeit Zinsen als Funktion der Zeit Zurückgelegter Weg als Funktion der Zeit Zurückgelegter Weg als Funktion der Zeit Gewicht eines Stoffes als Funktion des Volumens Gewicht eines Stoffes als Funktion des Volumens Lebensalter als Funktion der Jahreszahl Lebensalter als Funktion der Jahreszahl Temperatur als Funktion der Zeit Temperatur als Funktion der Zeit Beispiele theoretischer oder empirischer Funktionen, nahe der erlebten Realität Beispiele theoretischer oder empirischer Funktionen, nahe der erlebten Realität

6 Beispiele für Funktionen Volumen als Funktion der Kantenlänge Volumen als Funktion der Kantenlänge auch: Sinus, Kosinus, Logarithmus auch: Sinus, Kosinus, Logarithmus Die Höhe, bis zu der eine Flüssigkeit in einem zylindrischen Glas steigt als Funktion der Flüssigkeitsmenge Die Höhe, bis zu der eine Flüssigkeit in einem zylindrischen Glas steigt als Funktion der Flüssigkeitsmenge ( Stellmacher: Graphenmethode am Beispiel )

7 Die graphische Darstellung

8 Ein Beispiel: Die Vierergruppe Abstrakt: Gruppe mit Gruppentafel Konkreter: Permutationsgruppe von vier Symbolen: {1,2,3,4} e1=1e2=2e3=3e4=4 a1=2 a2=1a3=4a4=5 b1=3b2=4b3=1b4=2 c1=4c2=3c3=2c4=1 e abc ee abc aaecb bbcea ccbae

9 Die Vierergruppe a: Die Schüler in A und B tauschen ihre Plätze, ebenso die in C und D b: Die Schüler in A und C tauschen ihre Plätze, ebenso die in B und D c: Die Schüler in A und D tauschen ihre Plätze, ebenso die in B und C BA CD

10 Die Vierergruppe a: Arthur gg. Bettina und Charlotte gg. David b: Arthur gg. Charlotte und Bettina gg. David c: Arthur gg. David und Bettina gg. Charlotte BA CD

11 Die Vierergruppe Einerseits: a: Formvertauschung b: Farbvertauschung c: Form- und Farbvertauschung Andererseits: a: tausche oben und unten b: tausche links und rechts c: tausche sowohl oben und unten als auch links und rechts

12 Was ist passiert ? Versetzungsregel Versetzungsregeloder Verwandlungsregel ?

13 Fehler in der Durchführung an einem Beispiel i: Identität a: Bettina gg. Charlotte b: Arthur gg. Charlotte c: Arthur gg. Bettina r: Jeder gehe eins nach rechts l: Jeder gehe eins nach links AB C

14 Fehler in der Durchführung an einem Beispiel Prüfe Assoziativität: b ( r a ) = l aber ( b r ) a = i AB C

15 Fehler in der Durchführung an einem Beispiel i: Identität a: Bettina gg. Charlotte b: Arthur gg. Charlotte c: Arthur gg. Bettina r: Jeder gehe eins nach rechts l: Jeder gehe eins nach links AB C

16 Zur Unterscheidung Versetzungen: In einer Menge von Plätzen gibt die Regel f an, dass das Objekt in x nach fx versetzt wird. Für f ist sind die Objekte auf den Plätzen unwesentlich. Was mit x geschieht, hängt nicht von seiner Art, nur vom Platz ab. (Wo bin ich ?) Verwandlungen: In einer Menge von Objekten gibt die Regel f an, dass das Objekt x in fx verwandelt wird. Für f ist sind die Plätze der Objekte unwesentlich. Was mit x geschieht, hängt nicht von seinem Platz, nur von seiner Art ab. (Wer oder was bin ich ?)

17 Die Herausbildung des Funktionsbegriffes natürlicher Abbildungsbegriff Lehrer Grundvorstellungen von Funktionen & Abbildungen Definition von Funktionen bilden heraus beeinflusst und verändert formalisiert & formuliert wirkt auf & nutzt führt zu verstehen

18 Der beabsichtigte Bogen Die Grundvorstellungen der Schüler nutzen Die Grundvorstellungen der Schüler nutzen ein natürlicher Abbildungsbegriff ein natürlicher Abbildungsbegriff Maschinen, (Super-) Operatoren, Pfeile, Rechenschieber Maschinen, (Super-) Operatoren, Pfeile, Rechenschieber graphische Darstellung graphische Darstellung einfach und anschaulich: Translationen in der Ebene einfach und anschaulich: Translationen in der Ebene schwierig: Mehrere Abbildungen zugleich in einem anschaulichen Bild ein Beispiel aus dem Unterricht: schwierig: Mehrere Abbildungen zugleich in einem anschaulichen Bild ein Beispiel aus dem Unterricht: das Spiel mit der Vierergruppe das Spiel mit der Vierergruppe Analyse und Bewertung Gegenüberstellung erarbeiten Analyse und Bewertung Gegenüberstellung erarbeiten Funktionsdefinition / Funktionsdarbietung Funktionsdefinition / Funktionsdarbietung Definition als Prozess des Definierens, psychologische Voraussetzungen des Begriffs, eine operationale Definition geleitet von der Frage: Wie mit Funktionen hantieren ? Definition als Prozess des Definierens, psychologische Voraussetzungen des Begriffs, eine operationale Definition geleitet von der Frage: Wie mit Funktionen hantieren ? Zwei Wege zum Funktionsbegriff: ein Gesetz, das … und eine Teilmenge von … Zwei Wege zum Funktionsbegriff: ein Gesetz, das … und eine Teilmenge von …

19 Wie den Funktionsbegriff didaktisch bringen ? Entlang des Weges der Verbalisierung (ein Gesetz, das...) Entlang des Weges der Verbalisierung (ein Gesetz, das...) intensionale Definition intensionale Definition Entlang des Weges der Formalisierung (eine Teilmenge von...) Entlang des Weges der Formalisierung (eine Teilmenge von...) extensionale Definition extensionale Definition

20 Wie den Funktionsbegriff didaktisch bringen ? Punkt 1: Einfachheit und Anschaulichkeit der Struktur. Kann durch Teilmenge und Relation nur verdunkelt werden. Punkt 2: Zusammensetzen, Hintereinanderausführen von Funktionen Punkt 3: Praktischer Nutzen des Relationsbegriffes im Mathematikunterricht

21 Der Funktionsbegriff im Unterricht Der Funktionsbegriff und seine Darstellungen

22 Einleitung mal etwas anders Welche Vorstellung verbindet ihr mit dem Wort Kuchen? Welche Vorstellung verbindet ihr mit dem Wort Kuchen? Welche Vorstellung verbindet ihr mit dem Begriff Auto? Welche Vorstellung verbindet ihr mit dem Begriff Auto? Jeder hat zu einem gewissen Begriff seine individuelle Vorstellung Jeder hat zu einem gewissen Begriff seine individuelle Vorstellung

23 Einleitung mal etwas anders Was verbindet ihr mit dem Begriff Funktion? Was verbindet ihr mit dem Begriff Funktion? Wie wurde der Begriff Funktion in der Schulzeit eingeführt? Wie wurde der Begriff Funktion in der Schulzeit eingeführt? Die Grundvorstellungen der Schüler werden durch die Art und Weise der Darstellung im Unterricht entscheidend mitgeprägt. Die Grundvorstellungen der Schüler werden durch die Art und Weise der Darstellung im Unterricht entscheidend mitgeprägt.

24 Eine Form der Definition Gegeben seien zwei nichtleere Mengen A und B. Ist in einer bestimmten Weise jedem Element aus A genau ein (wohlbestimmtes) Element y aus B zugeordnet, so nennt man diese Zuordnung Funktion f mit Definitionsmenge (Definitionsbereich) A und Zielmenge B oder auch Abbildung f von der Menge A in die Menge B. nach A. Kirsch nach A. Kirsch

25 Darstellungsweisen für Funktionen Verbale Beschreibung von Definitionsbereich und Zuordnung Verbale Beschreibung von Definitionsbereich und Zuordnung Beschreibung mittels Rechenausdrücken Beschreibung mittels Rechenausdrücken Darstellung mittels Pfeildiagramm Darstellung mittels Pfeildiagramm Darstellung mittels Wertetafel Darstellung mittels Wertetafel Darstellung einer Funktion f : A B als Paarmenge Darstellung einer Funktion f : A B als Paarmenge

26 Darstellungsweisen von Funktionen – ihre Vorzüge und Nachteile 1. Das Pfeildiagramm Vorteile - Definition lässt sich leicht daran erläutern und nachvollziehen - Zielmenge ist nicht gleich Wertebereich leicht darstellbar Nachteile - A und B müssen nicht disjunkt sein - Unendliche Mengen lassen sich nur andeutungsweise darstellen zurück

27 Darstellungsweisen von Funktionen – ihre Vorzüge und Nachteile 2. Die Wertetabelle 2. Die WertetabelleVorteile - Die Zuordnung lässt sich leicht erkennen erkennen - Definition lässt sich daran gut zeigen Nachteile - unendlicher Definitionsbereich lässt sich nur andeutungsweise darstellen sich nur andeutungsweise darstellen zurück Schüler X Gewicht von x in Kg Max39 Andrea35 Martin46 Christian39 Birte30 Ute34 Nana36 Philipp38 Moritz40

28 Darstellungsweisen von Funktionen – ihre Vorzüge und Nachteile 3. Der Graph Vorteile - Definition ist leicht überprüfbar - sehr anschaulich und übersichtlich - Zusammenhänge sind gut sichtbar Nachteile - kann beim Schüler implizieren, dass Funktionen immer so aussehen - Schüler wird auf Funktionen R R festgelegt zurück

29 Darstellungsweisen von Funktionen – ihre Vorzüge und Nachteile 4. Mittels Rechenausdruck 4. Mittels RechenausdruckVorteil - Notwendigkeit für praktische Arbeit, z.B. Ableitungen Nachteile - nicht jede Funktion darstellbar - nicht jede Funktion darstellbar Bsp.: Bsp.: f : N N mit f(n) := die kleinste Primzahl p, p n ist. Bsp. f(x)=x²+x+1 f(t)=t +1 t0

30 Darstellungsweisen von Funktionen – ihre Vorzüge und Nachteile 5. Verbale Beschreibung 5. Verbale Beschreibung - macht sich gut zur Hinführung zum - macht sich gut zur Hinführung zum Funktionsbegriff Funktionsbegriff - Mengen die man betrachtet müssen - Mengen die man betrachtet müssen keine Zahlmengen sein keine Zahlmengen sein - der Unterschied zwischen einzelnen - der Unterschied zwischen einzelnen Funktionen wird hier sehr deutlich Funktionen wird hier sehr deutlich (Definitionsbereich, Wertebereich) (Definitionsbereich, Wertebereich) Bsp: Jedem Menschen aus der Menge der Menschen wird seine Mutter zugeordnet. Jedem Menschen wird sein Elternpaar zugeordnet

31 Mögliche Schreibweisen für Funktionen f(x) = x² - 3x x x² - 3x ( l x) (x² - 3x + 2)nach Church (x² - 3x + 2)nach Russel |(x² - 3x + 2) nach Freudenthal

32 Eigenschaft Injektivität 1. Rechenausdruck: Jede Gleichung f(x)=y hat bei gegebenen y höchstens eine Lösung. 2. Pfeildiagramm:Pfeildiagramm: Niemals kommen zwei Pfeile an einem Punkt in B an 3. GraphGraph wenn zwei Paare (Punkte) im zweiten Glied übereinstimmen, so auch im ersten 4. WertetabelleWertetabelle In der rechten Spalte kommen keine Werte doppelt vor außer wenn in A doppelte Wertepaare auftreten

33 Eigenschaft Surjektivität 1. Rechenausdruck 1. Rechenausdruck Für jedes y aus B hat die Gleichung f(x)=y mindestens eine Lösung 2. Pfeildiagramm 2. Pfeildiagramm In jedem Punkt von B kommt mindestens ein Pfeil an 3. Graph 3. Graph Zu jedem y aus B gibt es mindestens ein Paar (Punkt) dessen zweites Glied es ist. 4. Wertetabelle 4. Wertetabelle Jedes Element aus B kommt in der Spalte der Funktionswerte vor.

34 Eigenschaft Monotonie 1. Graph 2. Pfeildiagramm Bsp: f(x) [x] siehe Tafel

35 Verwendete Quellen Arnold Kirsch (1994): Mathematik richtig verstehen, Kapitel 8, Aulis Verlag Arnold Kirsch (1994): Mathematik richtig verstehen, Kapitel 8, Aulis Verlag Hans Freudenthal (1979): Mathematik als pädagogische Aufgabe, Kapitel 15, Klett Verlag Hans Freudenthal (1979): Mathematik als pädagogische Aufgabe, Kapitel 15, Klett Verlag Gerd von Harten u.a. (1986): Funktionsbegriff und funktionales Denken, Kapitel 2 f, Aulis Verlag Gerd von Harten u.a. (1986): Funktionsbegriff und funktionales Denken, Kapitel 2 f, Aulis Verlag Werner Küstenmacher u.a. (2003): Mathe Macchiato, Pearson Studium Werner Küstenmacher u.a. (2003): Mathe Macchiato, Pearson Studium


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