Fuzzymengen – Was ist das?

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1 Fuzzymengen – Was ist das?
Zuordnung von Werten zu Elementen x aus X einer Menge M durch charakteristische Funktion: Problem Anwendungen fordern „Übergänge“ zwischen Zugehörigkeit und Nicht-Zugehörigkeit zu einer Menge Zugehörigkeitswerte 0,1 werden erweitert zu reellem Einheitsintervall I Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

2 Fuzzymengen – Was ist das?
man erhält neue charakteristische Funktion scharfe Mengen sind spezielle unscharfe Mengen unscharfe Menge ist durch Zugehörigkeitsfunktion eindeutig bestimmt: wichtige Größen: Träger: Höhe: Kern: Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

3 Fuzzymengen – Was ist das?
weitere scharfe Mengen zuordenbar: α-Schnitt: scharfer α-Schnitt: α-Komponente: A ist durch (scharfen) α-Schnitt eindeutig bestimmt und lässt sich in scharfe Mengen zerlegen Kern: Träger: Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

4 Mengenoperationen t-Norm-basierte Operationen
ist eine binäre Operation t: kommutativ, assoziativ, monoton wachsend 1 als neutrales Element, 0 als Nullelement für beliebige muss gelten: nicht interaktiv heißt eine t-Norm, wenn gilt: und besonders: daraus folgt Idempotenz Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

5 Mengenoperationen t-Norm-basierte Operationen
Durchschnitt ist definiert durch: übliche t-Normen ( ): Durchschnitt t0: algebraisches Produkt t1: beschränktes Produkt t2: drastisches Produkt t3: es gilt: Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

6 Mengenoperationen t-Norm-basierte Operationen
t-Conorm st ist eine zu t duale t-Conorm Definition: binäre Operation kommutativ, assoziativ, monoton wachsend für beliebige muss gelten: Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

7 Mengenoperationen t-Norm-basierte Operationen
Vereinigung wird aus Durchschnitt mittels Komplementbildung erzeugt: übliche t-Conormen ( ): Vereinigung s0: algebraische Summe s1: beschränkte Summe s2: drastische Summe s3: es gilt: Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

8 Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Mengenoperationen ZADEH (1965) Verallgemeinerungen der elementaren mengenalgebraischen Operationen für unscharfe Mengen Vereinigung: Durchschnitt: Komplement: erkannte als einzige nicht-interaktive Verknüpfung, es gilt: deutete andere Varianten an Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

9 Mengenoperationen einparametrische t-Norm-basierte Operationen
einparametrische Familien von t-Normen Teilklassen der Menge der möglichen t-Normen für bestimmte Parameterwerte streben die Durchschnitte und Vereinigungen gegen die bereits definierten ausreichend umfangreich einfach handhabbar, überschaubar Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

10 Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Mengenoperationen Erweiterungsprinzip: sei g eine n-stellige Funktion in X: lässt sich g auf unscharfe Zahlen aus erweitern? soll sich aus ergeben Zugehörigkeitswerte sollen Zugehörigkeitswert bestimmen wird so zu erweitert, dass gilt: gilt auch α-Schnitt-weise: statt min ist jede andere t-Norm möglich, min ist jedoch üblich Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

11 Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Zahlenarithmetik praktischer Ansatz: Zugehörigkeitsfunktion sollte nur 1 Maxima haben, d.h. die Menge ist konvex: Grundbereich sollte Menge der reellen Zahlen sein: unscharfe Zahl: , d.h. Kern ist Einermenge unscharfes Intervall: jede unscharfe Zahl ist ein unscharfes Intervall gewöhnliche Zahlen sind besondere unscharfe Zahlen Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

12 Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Zahlenarithmetik Grundrechenarten: Erweiterungsprinzip wird angewendet: für Summe, Differenz und Produkt sei # das entsprechende Operationszeichen (+,-,*) Negatives Quotient: nur für unscharfes Intervall Kehrwert Quotient Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

13 Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Zahlenarithmetik für Rechnen mit unscharfen Zahlen können folgende Vereinbarungen vorteilhaft sein: Intervall ist monoton steigend, Intervall monoton fallend beide Intervalle sind einem bestimmten Funktionstyp zuzuordnen falls die Einschränkungen der Zugehörigkeitsfunktion interessieren nur auf und werden genannt Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

14 Zahlenarithmetik L/R-Darstellung unscharfer Zahlen
Definition eine L/R-Darstellung einer unscharfen Zahl liegt vor, falls A durch seiner Zugehörigkeitsfunktion angegeben wird sind lineare Funktionen, heißt A unscharfe Zahl mit linearer L/R-Zerlegung oder dreiecksförmig gilt zusätzlich und , dann heißt A trapezförmig man schreibt genau dann, wenn und Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

15 Zahlenarithmetik L/R-Darstellung unscharfer Zahlen
seien und unscharfe Zahlen mit linearer L/R-Darstellung Summe Differenz Negatives Multiplikation mit Skalar Beispiel: Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

16 Zahlenarithmetik L/R-Darstellung unscharfer Zahlen
Produkt und Quotient unscharfer Zahlen mit linearer L/R-Darstellung sind i.A. keine unscharfer Zahlen mit linearer L/R-Darstellung mehr es existieren Näherungsformeln ( ): Produkt: Quotient: Kehrwert: Multiplikation ohne Einschränkung der Träger man setzt und findet: und erhält als Näherungsformel: Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi