Quantitative Methoden der BWL – Lineare Programmierung

Präsentation zum Thema: "Quantitative Methoden der BWL – Lineare Programmierung"—  Präsentation transkript:

1 Quantitative Methoden der BWL – Lineare Programmierung
Prof. Dr. Steffen Fleßa Universität Greifswald

2 Gliederung Grundlagen Modellierung in LINGO
Fallstudie 1: Produktionsprogrammplanung Komplexere Modelle Fallstudie 2: Personaleinsatzplanung Ausblick

3 1. Grundlagen Lineare Programmierung Optimierende Modelle
Planungs- und Entscheidungmodelle Optimierende Modelle Prognostizierende Modelle Simulationsmodelle Arten von Optimierenden Modellen Infinitesimalrechnung Lineare Programmierung Entscheidungsbaumverfahren Spielmodelle

4 Grundmodell der mathematischen Programmierung
Variablendefinition x Vektor der Strukturvariablen Zielfunktion Nebenbedingungen

5 Spezialfall: Lineare Programmierung
Zielfunktion g(x) als lineare Funktion Nebenbedingungen Alle fi als lineare Funktionen Nicht-Negativitäts-Bedingung

6 Beispiel: Produktionsprogrammplanung
Inhalt: Festlegung der Menge der zu produzierenden Produkte. Krankenhaus: Festlegung des Fallklassenprogramms Gebräuchlicher: Leistungsprogrammplanung

7 Beispiel Entgelt Restriktionen Spezifischer Bedarf
Hüftoperation: 1600 € Deckungsbeitrag Knieoperation: 1000 € Deckungsbeitrag Restriktionen OP-Kapazität: 6 Stunden/Tag Aufwachraumkapazität: 8 Stunden/Tag Spezifischer Bedarf Hüftoperation: 2 Stunden OP-Kapazität, 2 Stunden Aufwachraumkapazität Knieoperation: 1 Stunde OP-Kapazität, 2 Stunden Aufwachraumkapazität

8 Optimale Lösung Produktionsprogramm
Zwei Hüftoperationen (benötigt 4 Stunden OP-Kapazität, vier Stunden Aufwachraumkapazität) Zwei Knieoperationen (benötigt 2 Stunden OP-Kapazität, 4 Stunden Aufwachraumkapazität) Deckungsbeitrag: 2*1600 € + 2*1000 € = 5200 €

9 Charakteristika der Produktionsprogrammplanung
Ressourcen: gegeben, unveränderlich Produktionsmöglichkeitsbereich, Lösungsraum: durch Restriktionen eingeschränkt Ziel: Deckungsbeitragsmaximierung Ergebnis ist die Zahl der zu produzierenden Einheiten

10 Lösung durch Lineare Programmierung
Variablendefinition: X1 = Anzahl der Knieoperationen X2 = Anzahl der Hüftoperationen Nebenbedingungen 2 X1 + 2 X2 < 8 1 X1 + 2 X2 < 6 X1 > 0 X2 > 0 Zielfunktion Z = 1000 X X2 Max!

11 Graphische Lösung

12 Konvexes Lösungspolyeder

13 Zielfunktion und Optimierung
Z=1000X1+1600X2

14 2. Modellierung in LINGO Modell: Solve

15 Ergebnis Zielfunktionswert Zahl der Iterationen

16 Endliche, zulässige Lösung
Zielfunktionswert

17 X1=2 X2=2 Zielfunktionswert

18 Variablen in der Basislösung haben immer „reduced cost“ von 0
Um wie viel würde der Zielfunktionswert sinken, wenn man die Variable in die Basislösung aufnehmen würde (wenn sie nicht in der Basislösung ist)

19 0: Restriktion voll erfüllt (links=rechts)
Schlupfvariable: 0: Restriktion voll erfüllt (links=rechts) >0: ungenutzte Kapazität (Schlupf zwischen linker und rechter Seite)

20 Schattenpreis: Um wie viel würde der Zielfunktionswert steigen, wenn man die Kapazität um eine Einheit erhöhen würde.

21 Fallstudie 1: Produktionsprogrammplanung
Lösung der Arbeitsaufgabe (Fallstudie 1) LINGO Interpretation der Ergebnisse

22 Ansatz

23 Solver Status

24 Ergebnisse

25 Analyse Entscheidungsvariable: Restriktionen:
50 Patienten von Klasse 3 100 Patienten von Klasse 4 25 Patienten von Klasse 7 Restriktionen: Pflegetage: 50 unterausgelastet Labor: 0: Engpass Röntgen: 1000: unterausgelastet Operationssaal: 0: Engpass Pflegekräfte: 0: Engpass Ärzte: 4000: unterausgelastet

26 Analyse Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 438.2833

27 Analyse: Aufgabe: Zwingen Sie das Modell, mindestens einen Patienten mit Fallklasse 1 zu behandeln. Wie verändert sich der Zielfunktionswert? dZ= =438,3 Vgl. reduced cost des Ausgangsmodells!

28 Analyse Row Slack or Surplus Dual Price 1 459710.0 1.000000

29 Analyse Aufgabe: Sie öffnen den OP eine Minute länger länger. Wie wirkt sich das auf den Zielfunktionswert aus? OP-Zeit = 9001 min. LP: … <=9001 dZ=459728,6 – = 18,6 Vgl. Schattenpreis!

30 Komplexere Modelle Ganzzahlige Variable (General Integer): 0,1,2,3,…
@GIN(X) Binäre Variable (Binary Integer): 0,1 @BIN(X) Nicht-Vorzeichenbeschränkte Variable @FREE(X)

31 SETS Ziel: Zusammenfassung von Objekten zu einer Menge, z.B. indizierte Variable X={x1, x2, x3, …, xn} SET-Section: Wir müssen die Sets definieren SETS: Set1: attribute; Set2: attribute; ENDSETS

32 DATA Inhalt: Liste der Konstanten für einzelne Sets
DATA-Section: Definition der Konstanten DATA: Set1 = S1, S2, …, Sn; Attribut = a1, a2, …, an; ENDDATA

33 Summen Inhalt: Summierung über alle Elemente einer Menge
𝑖=1 𝑛 𝑐 𝑖 ∙ 𝑥 𝑖 @SUM(Index(i): c(i)*x(i)); Voraussetzung: X und c wurden vorher als Set Index definiert, d.h. SETS: Index: c, x; ENDSETS

34 Personaleinsatzplanung

35 Personaleinsatzplanung

36 Kosten Schicht Kosten pro Mitarbeiter 1 1500 € 2 1000 € 3 1000 €
€ € € € € € € € N €

37 Einfacher Ansatz

38 Ergebnis Einfacher Ansatz

39 Ansatz mit SET

40 Ansatz mit SET

41 Summen ZIELFUNKTION

42 Summen Nebenbeding- ungen #LE#: less or equal to
#GE#: greater or equal to

43 Ausblick For-Schleifen Einbindung von Excel For i=1..n
Einbindung von Excel Eingabe Ausgabe