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PG-AIR Rotation Planning for the Continental Service of a European Airline Seminararbeit Vitali Gintner.

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Präsentation zum Thema: "PG-AIR Rotation Planning for the Continental Service of a European Airline Seminararbeit Vitali Gintner."—  Präsentation transkript:

1 PG-AIR Rotation Planning for the Continental Service of a European Airline Seminararbeit Vitali Gintner

2 2 PG-AIR Agenda Prozess der Flugplanung Amerikanisch Europäisch Rotation Regeln Der Graph ILP Exkurs Lagrange- Relaxation Lösung des Unterproblems Ergebnisse Agenda Prozess der Flugplanung Amerikanisch Europäisch Rotation Regeln Der Graph ILP Exkurs: Lagrange-Relaxation Lagrange-Relaxation Lösung des Unterproblems Ergebnisse

3 Vitali Gintner 3 PG-AIR Agenda Prozess der Flugplanung Amerikanisch Europäisch Rotation Regeln Der Graph ILP Exkurs Lagrange- Relaxation Lösung des Unterproblems Ergebnisse Prozess der Flugplanung Rotation Planning – Bestimmung von Routen (Route – eine Legfolge, die mit einem Flugzeug geflogen werden kann) Network Design Revenue Management Market Modelling Fleet Assignment Aircraft Rotation Crew Scheduling Air Traffic Control

4 Vitali Gintner 4 PG-AIR Agenda Prozess der Flugplanung Amerikanisch Europäisch Rotation Regeln Der Graph ILP Exkurs Lagrange- Relaxation Lösung des Unterproblems Ergebnisse Amerikanisch Europäisch Das amerikanische Modell Hub-and-Spoke – Struktur (Passagiere müssen häufig während ihrer Reise umsteigen) Ziel – through value–Maximierung (der erwartete Ertrag + die Attraktivität der Verbindung) Plus spezielle Wartungsrestriktionen (Besuch einer Wartungsstation nach bestimmter Zeit)

5 Vitali Gintner 5 PG-AIR Agenda Prozess der Flugplanung Amerikanisch Europäisch Rotation Regeln Der Graph ILP Exkurs Lagrange- Relaxation Lösung des Unterproblems Ergebnisse Das europäische Modell Keine Hub-and-Spoke – Struktur Eine kleine Flughafenanzahl in eigenem Land und viele in anderen Teilen Europas Fahrtunterbrechungen selten through value uninteressant. Wartungsarbeiten als virtuelle Flüge schon im Flugplan modelliert Ziel – Reduzierung des Verspätungsrisikos Amerikanisch Europäisch

6 Vitali Gintner 6 PG-AIR Agenda Prozess der Flugplanung Amerikanisch Europäisch Rotation Regeln Der Graph ILP Exkurs Lagrange- Relaxation Lösung des Unterproblems Ergebnisse Das europäische Modell Eine relativ geringe Anzahl der Nachflüge Verspätungen können sich nicht über die Nacht anhäufen Zerlegung in Teilprobleme (Optimierung für jeden Tag) Amerikanisch Europäisch

7 Vitali Gintner 7 PG-AIR Agenda Prozess der Flugplanung Amerikanisch Europäisch Rotation Regeln Der Graph ILP Exkurs Lagrange- Relaxation Lösung des Unterproblems Ergebnisse Rotation Regeln Man definiert bestimmte Regeln für Rotationen Regelverletzung = Strafkosten Man sucht Rotationen mit der minimalen Summe von Strafen aus (geringe Verspätungsgefahr)

8 Vitali Gintner 8 PG-AIR Agenda Prozess der Flugplanung Amerikanisch Europäisch Rotation Regeln Der Graph ILP Exkurs Lagrange- Relaxation Lösung des Unterproblems Ergebnisse Rotation Regeln Lokale Regeln (2-Leg-Regel) eine bestimmte minimale Bodenzeit zwischen 2 Legs (Treibstoff, Inspektionen), Meidung der luftverkehrskritischen Flughäfen, 4 weitere Regeln. Nicht-lokale Regeln (n-Leg-Regel) nur bis zur x Besuchen der luftverkehrs- kritischen Flughäfen für ein Flugzeug pro Tag, nur eine bestimmte Anzahl von aufeinander- folgenden Legs mit nur minimaler Bodenzeit, eine propagierte minimale Bodenzeit für eine Route (Bodenzeit-Puffer).

9 Vitali Gintner 9 PG-AIR Agenda Prozess der Flugplanung Amerikanisch Europäisch Rotation Regeln Der Graph ILP Exkurs Lagrange- Relaxation Lösung des Unterproblems Ergebnisse Der Graph Für jeden Flughafen i {1,...,n} A i – Menge der Ankunftsknoten D i – Menge der Abflugknoten E i – Menge der Kanten Falls es möglich ist ein Leg (mit dem Ankunftsknoten aA i ) mit einem anderen Leg (mit dem Abflugknoten dD i ) zu verbinden, fügt man eine Kante e adE i ein.

10 Vitali Gintner 10 PG-AIR Agenda Prozess der Flugplanung Amerikanisch Europäisch Rotation Regeln Der Graph ILP Exkurs Lagrange- Relaxation Lösung des Unterproblems Ergebnisse Der Graph Man ordnet jedem startenden Leg ein ankommendes Leg zu. Ergebnis ist ein D-perfektes Matching Integration von lokalen Regeln – man gewichtet jede Kante (a,d) E mit bestimmten Strafkosten c (a,d) R +, falls eine lokale Regel verletzt wurde. Rotationsproblem ein minimales gewichtetes D-perfektes Matchingsproblem

11 Vitali Gintner 11 PG-AIR Agenda Prozess der Flugplanung Amerikanisch Europäisch Rotation Regeln Der Graph ILP Exkurs Lagrange- Relaxation Lösung des Unterproblems Ergebnisse ILP Sei P eine Menge von Teilpfaden. Jeder P P bestehet aus einer Folge von Kanten P=e 1 e 2...e k. Sei |P|:=k die Länge des Pfades P Für jeden Pfad P P definiert man Strafkosten PR + (bei einer Verletzung von nicht-lokalen Regeln) Für jede Kante (a,d)E definiert man eine binäre Variable 1, falls Kante (a,d) zu der Lösung gehört X (a,d) = 0, sonst. 1, falls jede Kante e aus dem Pfad P in der Lösung y P = vorkommt 0, sonst. Für jeden Pfad P P definiert man eine binäre Variable

12 Vitali Gintner 12 PG-AIR Agenda Prozess der Flugplanung Amerikanisch Europäisch Rotation Regeln Der Graph ILP Exkurs Lagrange- Relaxation Lösung des Unterproblems Ergebnisse ILP

13 Vitali Gintner 13 PG-AIR Agenda Prozess der Flugplanung Amerikanisch Europäisch Rotation Regeln Der Graph ILP Exkurs Lagrange- Relaxation Lösung des Unterproblems Ergebnisse ILP... Bei y P =1 für alle P P, ist diese Restriktion immer gültig und beeinflusst den x-Teil der Lösung nicht. Es gibt immer eine gültige Lösung des ILPs. Da P0 für alle P P und Z minimiert werden soll, ist y P nur dann ungleich 0,wenn (d.h. wenn der x-Teil der Lösung eine Route definiert, die den Pfad P enthält)

14 Vitali Gintner 14 PG-AIR Agenda Prozess der Flugplanung Amerikanisch Europäisch Rotation Regeln Der Graph ILP Exkurs Lagrange- Relaxation Lösung des Unterproblems Ergebnisse Problem Flugpläne enthalten Tausende solcher Teilpfade. Sie belasten das ganzzahlige lineare Programm mit einer sehr großen Zahl der Restriktionen und Variablen ILP

15 Vitali Gintner 15 PG-AIR Agenda Prozess der Flugplanung Amerikanisch Europäisch Rotation Regeln Der Graph ILP Exkurs Lagrange- Relaxation Lösung des Unterproblems Ergebnisse Exkurs: Lagrange-Relaxation Gegeben ist ein gemischt-ganzzahliges Programm A ist eine m x n und D eine k x n-Matrix Angenommen, das Problem lässt sich ohne die Menge der Ungleichungen Ax b relativ einfach lösen. Sei u R m ein Vektor der nicht-negativen Multiplikatoren Entferne Ax b und erweitere die Zielfunktion um den nicht-negativen Term u(b-Ax)

16 Vitali Gintner 16 PG-AIR Agenda Prozess der Flugplanung Amerikanisch Europäisch Rotation Regeln Der Graph ILP Exkurs Lagrange- Relaxation Lösung des Unterproblems Ergebnisse Die optimale Lösung für einen festen u ist eine obere Schranke für Z (da u(b-Ax)0). Also, Wie bestimmt man nun u, so dass die obere Schranke möglichst eng zu der optimalen Lösung wäre? Idealerweise soll u das folgende duale Problem lösen: Exkurs: Lagrange-Relaxation Z D (u) Z für alle u 0

17 Vitali Gintner 17 PG-AIR Agenda Prozess der Flugplanung Amerikanisch Europäisch Rotation Regeln Der Graph ILP Exkurs Lagrange- Relaxation Lösung des Unterproblems Ergebnisse Z D (u) ist konvex und differenzierbar, bis auf die Punkte, an denen das Lagrage-Problem mehrere optimale Lösungen liefert. Subgradientenverfahren Nutzt die Steigung der Funktion Z D (u) An differenzierbaren Punkten ist die Steigung durch b-Ax gegeben An nicht differenzierbaren Punkten sucht man eine beliebige alternative optimale Lagrage- Lösung aus. Exkurs: Lagrange-Relaxation

18 Vitali Gintner 18 PG-AIR Agenda Prozess der Flugplanung Amerikanisch Europäisch Rotation Regeln Der Graph ILP Exkurs Lagrange- Relaxation Lösung des Unterproblems Ergebnisse Subgradientenverfahren - Definiert eine Folge, die rekursiv definiert ist: Wobei t k – Schrittgröße x k – eine optimale Lösung des Lagrange-Problems Z ( u k ). Für die Schrittgröße t k ist folgende Formel effektiv Z* - Zielfunktionswert der best erreichten zulässigen optimalen Lösung des Hauptproblems Exkurs: Lagrange-Relaxation

19 Vitali Gintner 19 PG-AIR Agenda Prozess der Flugplanung Amerikanisch Europäisch Rotation Regeln Der Graph ILP Exkurs Lagrange- Relaxation Lösung des Unterproblems Ergebnisse Lagrange-Relaxation Zurück zu unserem Problem

20 Vitali Gintner 20 PG-AIR Agenda Prozess der Flugplanung Amerikanisch Europäisch Rotation Regeln Der Graph ILP Exkurs Lagrange- Relaxation Lösung des Unterproblems Ergebnisse Subgradienten-Optimierung Die Schrittgröße ist definiert: Lagrange-Multiplikatoren: mit Wobei (x (k),y (k) ) – optimale Lösung der Lagrange-Relaxation Z D (u k )

21 Vitali Gintner 21 PG-AIR Agenda Prozess der Flugplanung Amerikanisch Europäisch Rotation Regeln Der Graph ILP Exkurs Lagrange- Relaxation Lösung des Unterproblems Ergebnisse Starte mit P =0 und =1,9 Keine Verbesserung nach 5 Iterationen halbiere Wurde Z* aktualisiert setzte =1,9 Setze nur positive Multiplikatoren ein und entferne sie, sobald ihren Wert gleich 0 ist. Subgradienten-Optimierung In jeder Iteration wird das Lagrange-Problem gelöst und eine zulässige Lösung des Rotationsproblems geliefert. (immer gegeben, da der x-Teil immer ein gültiges D-perfektes Matching liefert)

22 Vitali Gintner 22 PG-AIR Agenda Prozess der Flugplanung Amerikanisch Europäisch Rotation Regeln Der Graph ILP Exkurs Lagrange- Relaxation Lösung des Unterproblems Ergebnisse Lösung des Unterproblems Bis zu 98% der Laufzeit wird zur Lösung des Unterproblems verbraucht (ein bipartites Matchingproblem) Problemreduktion viele Kanten können nicht einen Teil der Lösung sein Preprocessing Effektive Lösungsansätze für das Matchingproblem Oft nur kleine Änderungen der Kantengewichte nächste optimale Lösung ändert sich nur leicht Das bipartites Matchingproblem als unkapazitiertes Transportproblem formulieren und mit einer speziellen Variante des Netzwerk-Simplex lösen.

23 Vitali Gintner 23 PG-AIR Agenda Prozess der Flugplanung Amerikanisch Europäisch Rotation Regeln Der Graph ILP Exkurs Lagrange- Relaxation Lösung des Unterproblems Ergebnisse Getestet für 7 verschiedene Flotten (4 große und 3 kleine) Laufzeit für jede Flotte <5 sec. (SUN Ultra 4 Workstation mit 300 Mhz) Durchschnittlich 30%-60% weniger Regelnverletzungen

24 Vitali Gintner 24 PG-AIR Agenda Prozess der Flugplanung Amerikanisch Europäisch Rotation Regeln Der Graph ILP Exkurs Lagrange- Relaxation Lösung des Unterproblems Ergebnisse Vielen Dank! Fragen?


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