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Veröffentlicht von:Radulf Kaseman Geändert vor über 10 Jahren
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Wie viele gibt es? Wie findet man Primzahlen?
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Haben Sie eine Lieblingsprimzahl?
2 7 11 23 (Trons Zahl) Meine kleine Lieblingsprimzahl : 17 Primzahlen
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Der Plan: Was sind Primzahlen? Warum sind sie wichtig?
Wie viele Primzahlen gibt es? Wie findet man Primzahlen? Wege zum Ruhm. Ende: Nach 40 Minuten, auf jeden Fall Primzahlen
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Was ist eine Primzahl? Die Definition:
Eine Zahl heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Es geht um natürliche Zahlen, es geht um Teilbarkeit. Schon jetzt: 1 ist keine Primzahl, sie macht nur unnötigen Ärger! Primzahlen
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Teilbarkeit 7 teilt 42: 7 | 42, 8 teilt 42 nicht: 8 ∤ 42,
denn 42 ist Vielfaches von 7, d.h. 42 = 6 ∙ 7 8 teilt 42 nicht: 8 ∤ 42, denn 42 ist nicht Vielfaches von 8, d.h. es gibt keine Zahl c mit 42 = c ∙ 8 Primzahlen
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Teilbarkeit Die grundlegende Definition:
a | b bedeutet: a teilt b (ohne Rest), also: b ist Vielfaches von a. Primzahlen
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Teilbarkeitseigenschaften
7 │ 42 und 7 │63, also auch 7 │ ( ), 7 │105 Teilt a die Zahlen b und c, dann auch b+c 7 │ 42 und 7 │63, also auch 7 │ ( ), 7 │-21 Teilt a die Zahlen b und c, dann auch b-c Primzahlen
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Primzahlen Nochmals die Definition:
Eine natürliche Zahl, von 1 verschieden, heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. 1 ist keine Primzahl. Die kleinste Primzahl ist 2. Primzahlen
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Die Primzahlen bis 20, der Reihe nach:
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Die Primzahlen bis 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 Anzahl = π(20) = 8
π(x) = Anzahl der Primzahlen bis zur Zahl x Primzahlen
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Größte zweistellige Primzahl
Kandidaten: 91 93 95 97 99 Primzahlen
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Größte zweistellige Primzahl
Kandidaten: 91: Durch 7 teilbar 93: Durch 3 teilbar 95: Durch 5 teilbar 97: Primzahl 99: Durch 3 teilbar 97 ist die größte zweistellige Primzahl. Primzahlen
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Kleinste dreistellige Primzahl
Kandidaten: 101 103 105 107 109 Primzahlen
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Kleinste dreistellige Primzahl
Kandidaten: 101: Primzahl 103: Primzahl 105: Durch 5 teilbar 107: Primzahl 109: Primzahl 101, 103 und 107, 109 sind Primzahlenzwillige Primzahlen
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Kleinste dreistellige Primzahl
Kandidaten: 1001 1003 1005 1007 1009 Gar nicht mehr so einfach! Primzahlen
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Kleinste dreistellige Primzahl
Kandidaten: 1001: Durch 11 teilbar (11·91) 1003: Durch 17 teilbar (17·59) 1005: Durch 5 teilbar (5·201) 1007: Durch 19 teilbar (19·53) 1009: Primzahl Primzahlen
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Primzahlen sind wichtig für:
Mathematiker Kryptologen Primzahlen
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Primzahlen in der Mathematik
Beispiele: 42 = 2∙3∙7 700 = 2∙2∙5∙5∙7 = 22∙52∙7 Sie finden dies bei Euklid. Primzahlen sind die Atome der Zahlen. Der Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede natürliche Zahl größer als 1 lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen. Primzahlen
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Wie zerlegt man in Primfaktoren?
Beispiele: Z = 42 Z = 182 Z = 3553 Z = Dies ist nicht einfach! Primzahlen
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Wie zerlegt man in Primfaktoren?
Beispiele: Z = 42 = 2∙21 = 2∙3∙7 Z = 364 = 2∙182 = 22∙7∙13 Z = = 11∙323 = 11∙17∙19 Z = = 2∙11∙17∙192 Es ist schwierig, große Zahlen zu „faktorisieren“ Primzahlen
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Kryptologen und Primzahlen
RSA Ron Rivest Adi Shamir Leonard Adleman Löst Problem der Schlüsselübergabe im Internet Primzahlen
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RSA Asymmetrische Verschlüsselung Benötigt große geheime Primzahlen
Entscheidend: Gibt es genügend viele große Primzahlen? Wie viele Primzahlen gibt es überhaupt? Primzahlen
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Wie viele Primzahlen gibt es?
Euklid: (325 – 265 v.Chr.) Es gibt unendlich viele Primzahlen. Primzahlen
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Euklids Beweis Die Idee: Die Folgerung:
Es gibt unendlich viele Primzahlen! Die Idee: Aus endlich vielen Primzahlen kann man stets eine weitere konstruieren. Primzahlen
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Euklids Beweisidee Beispiel: Primzahlen: 2, 3, 5 E = 2∙3∙5 + 1 = 31:
Keine der Zahlen 2, 3, 5 kann E teilen. E ist sogar eine neue Primzahl! Primzahlen
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Euklids Beweis Noch ein Beispiel: Primzahlen: 3, 5, 7
Keine der Zahlen 3, 5, 7 kann E teilen. E ist keine neue Primzahl! Aber: E enthält neue Primzahlen als Faktoren. Primzahlen
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Euklids Beweis, allgemein:
p1, p2, p3, …, pn seien Primzahlen. E = p1∙ p2 ∙ p3 ∙ … ∙ pn + 1 : Keine der Zahlen p1, p2, p3, …, pn teilt E. Die Primfaktoren von E sind neue Primzahlen. Primzahlen
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Der Beweis von Hermite Charles Hermite 1822 – 1901 Wichtige Arbeiten:
Zahlentheorie, elliptische Funktionen, quadratische Formen, e ist transzendent. Primzahlen
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Der Beweis von Hermite Die Idee:
Ist eine Zahl n gegeben, so gibt es eine Primzahl größer als n. Die Folgerung: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Primzahlen
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Der Beweis von Hermite für n = 5
Keine der Zahlen 2, 3, 4, 5 kann H5 = (1 ·2 ·3 ·4 ·5) + 1 = 5! + 1 teilen. Also ist jeder Primfaktor von H5 größer als 5. Primzahlen
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Der Beweis von Hermite für n
Keine der Zahlen 2, 3, 4, …, n kann Hn = (1 · 2 · 3 · 4 · … · n) +1 = n! + 1 teilen. Also ist jeder Primfaktor von Hn größer als n. Primzahlen
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Kummers Beweis: Der Schönste
Ernst Eduard Kummer 1810 – 1893 Wichtige Arbeiten zur Analysis, Zahlentheorie, Fermats Vermutung Primzahlen
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Kummers Beweis Die Idee: Die Folgerung:
Es gibt unendlich viele Primzahlen! Die Idee: Wenn es nur endlich viele Primzahlen gibt, dann entsteht ein Widerspruch Primzahlen
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Kummers Beweis: Annahme: Es gibt nur die n Primzahlen
p1, p2, p3, …, pn. Bilde Z = p1,· p2, · p3 ·… · pn. Die Primfaktorzerlegung von Z-1 enthält dann eine dieser Primzahlen als Faktor, etwa pi. Dann muss pi auch Z – (Z-1) = 1 teilen. Dies geht nicht! Primzahlen
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Unendlich viele Primzahlen, ist das genug?
In der Kryptologie interessant: Primzahlen mit etwa 300 Stellen. Gibt es genügend viele davon? Es gibt unendlich viele Zahlen der Form nn, aber nur 149 mit weniger als 300 Stellen. Primzahlen
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Richtig gemein: Primzahlenlücken
Es gibt beliebig große Primzahlenlücken. Als Beispiel: Eine Lücke der Länge 42 43! + 2, 43! + 3, 43! + 4, ….. , 43! + 43 (Aber: 43! = 6 ∙ 1052) Primzahlen
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Die Verteilung der Primzahlen
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Erste gute Ergebnisse:
Pafnuty Tschebycheff 1821 – 1894 Arbeiten zur Analysis, Zahlentheorie Primzahlen
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Tschebycheffs Ergebnis:
Primzahlen
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Der Primzahlensatz (1896) Satz: Für große x: Primzahlen
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Der Primzahlensatz (1896) Nicolas de la Vallee- Poussin (1866 – 1962)
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Der Primzahlensatz (1896) Jacques Salomon Hadamard (1865 – 1963)
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Wie viele Primzahlen bis 10300?
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Bestimmung von Primzahlen
Verschiedene Vorgehensweisen: Siebe (Eratosthenes, quadratische Siebe) Formeln (traurig und schön) Monte-Carlo-Methoden für große Primzahlen Primzahlen
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Das Sieb des Eratosthenes
Geb.: 276 v. Chr. In Cyrene (Libyen) Gest.: 194 v. Chr. in Alexandria U.a.: Zahlentheoretiker. Primzahlen
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Eratosthenes Ein sehr kluger Mann Bestimmte den Erdradius Primzahlen
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Eratosthenes: Alle Primzahlen bis 50 bestimmen.
Sein modernes Verfahren: Iterationsverfahren Start: Wie fange ich an? Iterationsschritt: Immer die gleichen Schritte. Mit veränderten Daten. Abbruch: Wann höre ich auf? Primzahlen
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Sieb des Eratosthenes: Alle Primzahlen bis 50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Primzahlen
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Sieb des Eratosthenes: Alle Primzahlen bis 50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Primzahlen
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Sieb des Eratosthenes: Alle Primzahlen bis 50
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Sieb des Eratosthenes: Alle Primzahlen bis 50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Primzahlen
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Sieb des Eratosthenes: Alle Primzahlen bis 50
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Sieb des Eratosthenes: Alle Primzahlen bis 50
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Sieb des Eratosthenes: Alle Primzahlen bis 50
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Sieb des Eratosthenes: Alle Primzahlen bis 50: π(50) =15
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Primzahlen
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Primzahlen nach Formeln: Mersenne Zahlen
Marin Mersenne Geb.: in Oize Gest.: 1648 in Paris Mathematiker und Physiker, suchte Formeln für Primzahlen Primzahlen
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Mersenne Zahlen M(p) = 2p – 1, p Primzahl M(2) = 22 – 1 = 4 – 1 = 3
keine Primzahl Primzahlen
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Primzahlen
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Mersenne Zahlen: M44 (4.9.2006) M44 = 232 582 657 – 1
M44 besitzt Stellen! M44 als Textdatei: 10 MB Primzahlen
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Primzahlen
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M44 Ausgedruckt mit 8-Punktschrift: Etwa 1200 Seiten Primzahlen
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Eine Formel für alle Primzahlen
Hardy und Wrights Formel n Zweien bei f(n) ω = … Zur Berechnung von ω benötigt man alle Primzahlen Nicht sehr praktisch! Es gibt weitere solcher Formeln Primzahlen
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Godfrey Harold Hardy Geb.: 1877 in Cranleigh Gest.: 1947 in Cambridge
Einer der bedeutendsten Zahlentheoretiker des 20. Jahrhunderts Primzahlen
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Primzahlenzwillinge Primzahlen im Abstand 2: 3, 5 11, 13 29, 31
101, 103 …….. Primzahlen
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Wie viele Zwillinge gibt es?
Man weiß es nicht. Wahrscheinlich unendlich viele (Hardy) Neueste Ergebnisse aus den USA und der Türkei stützen dies Primzahlen
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Viggo Brun Mathematiker, Norweger 1885 – 1978 Bedeutender
Zahlentheoretiker Primzahlen
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Bruns Witz Primzahlen
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Wege zum Ruhm: Probleme der Zahlentheorie
Die Goldbachsche Vermutung, Die Riemannsche Vermutung, Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlenzwillinge gibt Ein schnelle Algorithmus zur Primfaktorzerlegung Primzahlen
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Konkurrenten Primzahlen
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Die Goldbachsche Vermutung
Christian Goldbach Geb.: in Königsberg Gest.: 1764 in Moskau Primzahlen
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Die Vermutung Goldbach I:
Beispiel: 100 = = = = …. Goldbach II: Jede ungerade Zahl > 7 ist die Summe von drei ungeraden Primzahlen Beispiel: 51 = = = = …. Goldbach I: Jede gerade Zahl ≥ 4 ist Summe zweier Primzahlen. Primzahlen
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Goldbach I: State of the Art
Bestätigt bis 2x1016 Jede gerade Zahl ist Summe von höchstens 6 Primzahlen Vinogradov: Jede genügend große Zahl ist Summe von höchstens 4 Primzahlen Vinogradov: Fast alle geraden Zahlen sind Summe von 2 Primzahlen Cheng Jing-run (1966): Jede gerade Zahl ≥ 4 ist Summe aus einer Primzahl und einer Zahl mit höchstens zwei Primfaktoren Primzahlen
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Goldbach I: Im Jahr 2000 wurde ein Preis von
$ für den Beweis der Goldbachschen Vermutung ausgesetzt. Nach Ansicht der meisten Mathematiker stimmt die Goldbachsche Vermutung; statistische Argumente sprechen dafür. Primzahlen
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Bernhard Riemann (1826 – 1866) Nachfolger von Gauß in Göttingen
Mathematisches Genie Ohne ihn keine allgemeine Relativitäts- theorie Primzahlen
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Die Riemannsche Vermutung
Primzahlen
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Primzahlenzwillinge Zeigen Sie, dass es unendlich viele gibt,
entschärfen Sie den Witz von Viggo Brun. Sie werden länger berühmt sein als Daniel Kübelböck. Sie werden die Fields-Medaille oder den Abelpreis erhalten. Primzahlen
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Ein schneller Algorithmus zur PFZ
Überleben schwierig! Falls doch, Sie sind berühmt, für immer! Primzahlen
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Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit
Eine Literaturliste liegt aus. Der Vortrag unterliegt der GNU-License. PDF-Version des Vortrags demnächst auf der Tholeyer Homepage Für (nicht allzu) kritische Kommentare bin ich dankbar. Primzahlen
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