Präsentation zum Thema: ""—  Präsentation transkript:

28 Kapitel 2: Klassifikation
Maschinelles Lernen und Neural Computation

29 und Neural Computation
Ein einfacher Fall Ein Feature, Histogramme für beide Klassen (z.B. Glukosewert, Diabetes ja/nein) Keine perfekte Trennung möglich Entscheidung: Schwellwert Frage: Wo setze ich ihn am besten hin? C1 C2 ‘nein’ ‘ja’ SS 2009 Maschinelles Lernen und Neural Computation

30 Der allgemeine Fall: Bayes‘sches Theorem
Ann: Daten fallen in k Klassen, wähle für eine Beobachtung xj die Wahrscheinlichste aus Wahrscheinlichkeit für Beobachtung, wenn in Klasse i („likelihood“, „class-conditional“) Wahrscheinlichkeit für Klasse i vor der Beobachtung („a priori“) Wahrscheinlichkeit, dass Beobachtung Zur Klasse i gehört („a posteriori“) Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Beobachtung Nenner ist Summe aller möglichen Zähler (aller Fälle) SS 2009 Maschinelles Lernen und Neural Computation

31 Der optimale Klassifikator
Klassifikation: wähle die Klasse i mit der höchsten a-posteriori Wahrscheinlichkeit Erzielt das bestmögliche Resultat Bayes‘sche Formel erleichtert das Problem, da Wahrscheinlichkeiten auf der rechten Seite meist leichter zu bestimmen sind Da p(x) für alle Klassen gleich ist, kann es oft weggelassen werden SS 2009 Maschinelles Lernen und Neural Computation

32 Einschub: Wahrscheinlichkeitsdichten
Für diskrete Variablen (endliche Werte): Wahrscheinlichkeit, z.B.: P(ci) Für kontinuierliche Variablen nicht möglich: P(xj)=0 Stattdessen: Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion p(x) p(xj) ... Dichte an diesem Punkt (kann größer als 1 sein) Wahrscheinlichkeit, dass x in einem kleinen Intervall liegt Dichte kann wie Wahrscheinlichkeit behandelt werden SS 2009 Maschinelles Lernen und Neural Computation

33 Beispiel: 1 Variable, 2 Klassen
Verteilung der Werte für Klasse („class-conditional“) Annahme: in beiden Klassen sind Beobachtungen normalverteilt für Klasse 2 Entscheidungsgrenze: Schnittpunkt der beiden Kurven Multiplikation mit a-priori Wahrscheinlichkeiten: Entscheidungsgrenze verschiebt sich Durchdividieren durch Summe ergibt Wahrscheinlichkeit für Klasse Entscheidungsgrenze SS 2009 Maschinelles Lernen und Neural Computation

34 Beispiel: 2 Variablen, 2 Klassen
2-dim. Gaussverteilungen Lineare Entscheidungsgrenze SS 2009 Maschinelles Lernen und Neural Computation

35 und Neural Computation
Klassifikatoren Problem: Dichteverteilungen meist unbekannt Lösung: Schätzen der Verteilungen Schätzen der Entscheidungsgrenze Schätzen von Diskriminanzfunktionen: Wähle für jede Klasse Fkt. gi(x) Klasse ci, wenn gi(x)>gj(x) für alle ji z.B.: Keine Wahrscheinlichkeiten mehr SS 2009 Maschinelles Lernen und Neural Computation

36 Diskriminanzfunktionen für Normalverteilungen
Streuung in alle Richtungen gleich („sphärisch“): Log-Fkt. Und multiplikative Faktoren ändern nichts an Größenverhältnis: Quadratische Funktion Entscheidungsgrenze: g1(x)=g2(x), auch quadratisch wenn 1= 2: linear SS 2009 Maschinelles Lernen und Neural Computation

37 Visualisierung: Normalverteilungen
SS 2009 Maschinelles Lernen und Neural Computation

38 Allgemeiner Ansatz: Diskriminanzanalyse
Lineare Diskriminanzfunktion: entspricht dem Perceptron mit 1 Output Unit pro Klasse Quadratisch linear: entspricht einer „Vorverarbeitung“ der Daten, Parameter (w,v) noch immer linear SS 2009 Maschinelles Lernen und Neural Computation

39 Der Schritt zum neuronalen Netz
Allgemein linear: beliebige Vorverarbeitungsfunktionen, lineare Verknüpfung Neuronales Netz: NN implementiert adaptive Vorverarbeitung nichtlinear in Parametern (w) MLP RBFN SS 2009 Maschinelles Lernen und Neural Computation

40 und Neural Computation
Beispiel: XOR (0 0)  0 (1 0)  1 (0 1)  1 (1 1)  0  Exklusives Oder 4. Muster ist Summe des 2. und 3. (lineare Abhängigkeit) Punkte lassen sich durch keine Gerade trennen SS 2009 Maschinelles Lernen und Neural Computation

41 und Neural Computation
Hidden Units Zwei Perceptrons + nichtlineare Transferfunktion: 1 1 Schwellwertfunktion bricht lineare Abhängigkeit SS 2009 Maschinelles Lernen und Neural Computation

42 Beliebige Klassifikationen
Jede Hidden Unit teilt Raum in 2 Hälften Output Units wirken wie “AND” Sigmoide: verlaufende Bereiche SS 2009 Maschinelles Lernen und Neural Computation

43 und Neural Computation
Beispiel: MLP MLP mit 5 Hidden und 2 Output Units Lineare Transferfunktion am Output Quadratischer Fehler SS 2009 Maschinelles Lernen und Neural Computation

44 MLP zur Diskriminanzanalyse
MLP (und RBFN) ist direkte Erweiterung klassischer Modelle Stärke: beliebige nichtlineare Diskriminanzfunktionen Hidden Units: Adaptive Vorverarbeitung des Inputs Form der Diskriminanzfunktion außerhalb der Entscheidungsgrenze belanglos Perceptron ist identisch mit linearer Diskriminanzanalyse SS 2009 Maschinelles Lernen und Neural Computation

45 Alternativer Ansatz: Schätzung der Verteilungen
Beim Ansatz mittels Diskriminanzfunktionen geht ein wesentlicher Aspekt verloren: Wahrscheinlichkeiten der Klassenzugehörigkeit  mehr an Bayes halten, Dichtefunktion schätzen (vor allem p(x|ci)) Parametrisch: Form ist bekannt, weniger Parameter zu schätzen Nichtparametrisch: Form ist unbekannt, theoretisch beliebig SS 2009 Maschinelles Lernen und Neural Computation

46 Parametrisch: Maximum Likelihood (ML)
Ann.: Verteilung hat eine bestimmte, analytisch beschreibbare Form (z.B. Normalverteilung) mit Parametern  (z.B. Zentrum und Weite) Likelihood: Entspricht der „Wahrscheinlichkeit“, dass Daten beobachtet werden, wenn die Verteilung richtig ist ML: Finde jenes , das die Beobachtungen am wahrscheinlichsten macht: Maximiere L() Vor: Beobachtungen (Daten) sind unabhängig voneinander Menge aller Datenpunkte SS 2009 Maschinelles Lernen und Neural Computation

47 Beispiel: eindimensionale Normalverteilung
Vereinfachung (ähnlich wie zuvor): logarithmieren, Vorzeichen ändern, Konstante weglassen, minimieren minimiere die negative log-Likelihood Minimierung: 1. Ableitung auf 0 setzen Erwartetes Ergebnis: Mittelwert und Varianz SS 2009 Maschinelles Lernen und Neural Computation

48 Likelihood-Funktionen für die Normalverteilung
L() für Punkte 1, 2 und 3, =1 L() für Punkte 1, 2 und 3,  =1 (wieder Gauss-Fkt.) L() für einen Punkt 1,  =1:  ML nicht immer sinnvoll! SS 2009 Maschinelles Lernen und Neural Computation

49 Nichtparametrisch: Parzen-Windows
Wenn Form beliebig, keine Likelihood angebbar Wähle einen kleinen (Hyper-)Würfel, zähle wieviel Punkte drin liegen (ki) Geschätzte Dichte: Volumen Wenn n, Vi0, dann immer genauer Entspricht einem normalisierten Histogramm SS 2009 Maschinelles Lernen und Neural Computation

50 Der Fluch der Dimensionalität
(Bellman 1961): bei nichtparametrischen Fällen steigt die Anzahl der benötigten Beispiele exponentiell mit der Dimensionalität des Input! Parzen: wenn Fenster klein, muss es noch genügend Beispiele enthalten je mehr Dimensionen, desto dünner gesät  möglichst wenige Inputs, viele Daten SS 2009 Maschinelles Lernen und Neural Computation

51 Semiparametrisch: Gaussian Mixtures (GMM)
Nähere beliebige Verteilung durch eine Mischung von Normalverteilungen an Gleiches Prinzip wie bei neuronalen Netzen Maximum Likelihood:  -logL, Gradientenverfahren SS 2009 Maschinelles Lernen und Neural Computation

52 und Neural Computation
Beispiel (90 gedreht) Class-conditionals: Posterior: Entscheidungsgrenze: SS 2009 Maschinelles Lernen und Neural Computation

53 MLP zur Klassifikation
Beweis existiert: MLP nähert die a-posteriori Wahrscheinlichkeit an Aktivierungsfunktion: Softmax (eigene Fehlerfunktion notwendig; siehe später) A-priori Wahrscheinlichkeiten: Verteilungen im Trainingsset SS 2009 Maschinelles Lernen und Neural Computation

54 und Neural Computation
Die Softmax-Funktion Erzwingt, dass Outputs als Wahrscheinlichkeiten interpretierbar sind Bezug zum Bayes’schen Theorem Spezialfall: Sigmoide Funktion nur 2 Klassen, 1 Output Unit: durchdividieren Wenn Expontentialverteilung  Softmax Nettoinput ist log. von Dichte SS 2009 Maschinelles Lernen und Neural Computation

55 Warum Wahrscheinlichkeiten?
Mehr Information Ablehnung von unsicheren Fällen: Performanz steigt, aber einige Fälle unentscheidbar Einfache Berücksichtigung von anderen a-priori Wahrscheinlichkeiten Berücksichtigung von Kosten für Fehler Verknüpfung mit anderen Quellen SS 2009 Maschinelles Lernen und Neural Computation

56 NN als semiparametrische Methoden
Semiparametrisch: Form relative beliebig, aber dennoch durch Anzahl der Hidden Units („Modellkomplexität“) beschränkt Fluch der Dimension abgeschwächt, aber immer noch gegeben: Bedarf steigt ungefähr quadratisch  NN haben gute Eigenschaften, wenn Dichten unbekannt, aber immer noch gilt: wenige Inputs, viele Daten! SS 2009 Maschinelles Lernen und Neural Computation

57 Nachtrag: k-nearest neighbor
Speichere alle Trainingssätze mit zugehöriger Klasse Neuer Fall: wähle die k nähesten Trainingsfälle, nimm Klasse, die am häufigsten vorkommt Duda & Hart 1974: Nearest Neighbor (k=1) hat maximal den doppelten Fehler des bayesoptimalen Klassifizierers (für große Fallzahl)  kann als Benchmark verwendet werden Approximiert auch die a-priori Wahrscheinlichkeit direkt nichtparametrisch k=4: 3 Klasse 2 1 Klasse 1  Klasse 2 (posterior ¾) SS 2009 Maschinelles Lernen und Neural Computation

58 und Neural Computation
Zusammenfassung NN sind semiparametrische Methoden zur Klassifikation Lt. Bayes sind Wahrscheinlichkeiten angebbar, bringt mehr Information Es existieren gleichmächtige Alternativen (z.B. GMM) Nearest Neighbor als Benchmark SS 2009 Maschinelles Lernen und Neural Computation