Statistische Methoden I

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1 Statistische Methoden I
WS 2001/2002 Zur Geschichte der Statistik I. Beschreibende Statistik 1. Grundlegende Begriffe 2. Eindimensionales Datenmaterial 2.1. Der Häufigkeitsbegriff 2.2. Lage- und Streuungsparameter 2.3. Konzentrationsmaße (Lorenz-Kurve) 3. Mehrdimensionales Datenmaterial 3.1. Korrelations- und Regressionsrechnung 3.2. Indexzahlen 3.3. Saisonbereinigung

2 II. Wahrscheinlichkeitstheorie
1. Laplacesche Wahrscheinlicheitsräume 1.1. Kombinatorische Formeln 1.2. Berechnung von Laplace-Wahrschein- lichkeiten 2. Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume 2.1. Der diskrete Fall 2.2. Der stetige Fall 2.3. Unabhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit 3. Zufallsvariablen 3.1. Grundbegriffe 3.2. Erwartungswert und Varianz 3.3. Binomial- und Poisson-Verteilung 3.4. Die Normalverteilung und der Zentrale Grenzwertsatz

3 III. Induktive Statistik
1. Schätztheorie 1.1. Grundbegriffe, Stichproben 1.2. Maximum-Likelihood-Schätzer 1.3. Erwartungstreue Schätzer 1.4. Konfidenzintervalle 1.5. Spezialfall Binomial-Verteilung 2. Spezialfall Normalverteilung 2.1. Student- und Chi-Quadrat-Verteilung 2.2. Konfidenzintervalle 3. Tests 3.1. Grundbergriffe 3.2. Tests einfacher Hypothesen (Neyman-Pearson-Test) 3.3. Tests zusammengesetzter Hypothesen 3.4. Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 3.5. Chi-Quadrat-Tests 3.6. Kolmogorov-Smirnov-Test 3.7. Einfache Varianzanalyse

4 Wahrscheinlichkeitstheorie

5 Laplacescher Wahrscheinlicheitsraum

6 Wahrscheinlichkeitsräume

7 Achtung Aufgabe!

8 Achtung noch eine Aufgabe!

9 Grundbegriffe der (deskriptiven) Statistik
der Wahrscheinlichkeitstheorie

10 Wahrscheinlichkeitsdichten

11 Unabhängigkeit 1 1 1 1 Vier Spielkarten zeigen auf der Vorderseite
die folgenden Aufschriften: 1 1 1 1 Eine Karte wird zufällig gezogen. Ereignisse A, B und C A : „Oben steht eine 0“ B: „In der Mitte steht eine 0“ C: „Unten steht eine 0“

12 Man hat zwar: Trotzdem sind die Ereignisse A, B und C nicht unabhängig: d. h. C kann nicht eintreten, wenn A und B eintreten.

13 Allgemein definiert man:

14 Achtung Aufgabe!

15 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Die Belegschaft eines Betriebes wird nach Rauchern und Nichtrauchern ein- geteilt. Dabei ergibt sich die folgende Tabelle:

16 Also haben wir: Allgemein definiert man:

17 Achtung Aufgabe!

18 Pfadregel Dann hat man:

19 Baumdiagramm

20 Urne mit roten und grünen Kugeln
Wir betrachten eine Urne mit einer roten und 3 grünen Kugeln. 1. Stufe: Eine Kugel wird zufällig gezogen, ihre Farbe notiert. Anschließend werden diese und eine Kugel derselben Farbe in die Urne zurückgelegt. 2. Stufe: Nach dem guten Mischen wird er- neut eine Kugel zufällig gezogen und deren Farbe notiert.

21 Baumdiagramm START 3/4 1/4 1 4/5 1/5 3/5 2/5 1 1

22 Achtung Aufgabe!

23 Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
Einkommensverteilung der Haushalte in einer bestimmten Gegend Anteil der Haushalte, die ein Auto > DM ,- anschaffen, in den verschiedenen Einkommensklassen

24 Es ergibt sich: Also nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit:

25 Allgemein: Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit

26 Satz von Bayes In einer Stadt vermutet man, dass für
die Bevölkerung die folgende Aufteilung in Deutsche, Italiener und Ausländer, die keine Italiener sind, besteht: wobei die letzte Zeile den jeweiligen Anteil von Personen in der Bevölkerungsgruppe angibt, die gerne Spaghetti bestellen. (Beispiel nach H. Haase: Stochastik für Betriebswirte)

27 Jemand bestellt in einer Gaststätte Spaghetti.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Gast ein Deutscher, ein Italiener oder ein nicht-italienischer Ausländer ist? D: „Der Gast ist ein Deutscher“ I: „Der Gast ist ein Italiener“ A: „Der Gast ist ein Ausländer, aber kein Italiener“ S: „Der Gast bestellt Spaghetti“

28 Nach der Formel für die totale Wahr-
scheinlichkeit hat man: Daraus ergibt sich nach dem Satz von Bayes

29 Satz von Bayes

30 Verteilungsfunktion Beispiel „Würfel“

31 Beispiel „n-facher Münzwurf“
Verteilungsfunktion Beispiel „n-facher Münzwurf“

32 Zufallsvariablen Verteilung Verteilungsfunktion
Wahrscheinlichkeitsfunktion Wahrscheinlichkeitsdichte Verteilung Die Verteilung einer ZV ist ein Wahr- scheinlichkeitsmaß auf den reellen Zahlen diskret stetig

33 Wahrscheinlichkeitsfunktion
diskret f nennt man Wahrscheinlichkeitsfunktion von X stetig f nennt man Dichtefunktion von X

34 Verteilungsfunktion diskret stetig diskret stetig

35 Erwartungswert und Varianz I
Der endliche Fall Erwartungswert Varianz

36 Erwartungswert und Varianz II
Der diskrete unendliche Fall Dabei nehmen wir an, dass Erwartungswert Varianz

37 Erwartungswert und Varianz III
Der stetige Fall f ist die Wahrscheinlichkeitsdichte. Dabei nehmen wir an, dass Erwartungswert Varianz

38 Achtung Aufgabe!

39 Achtung noch eine Aufgabe!

40 Gegeben seien n Zufallsvariablen
Dann gilt immer: Wenn gilt dann hat man auch Gleichheit von Bienaymé

41 Die Binomialverteilung

42 Man erhält eine Wahrscheinlichkeits-
verteilung, weil gilt: Notation

43 Erwartungswert Varianz

44 Die Poisson-Verteilung

45 Man erhält eine Wahrscheinlichkeits-
verteilung, weil gilt: Notation

46 Erwartungswert Varianz

47 Beispiele Poisson-verteilter Zufallsvariablen
Anzahl der pro Zeiteinheit abgestrahlten Teilchen eines radioaktiven Präparats Anzahl der pro Zeiteinheit an einer Tankstelle tankenden PKW Anzahl der Sechser pro Ausspielung im Lotto Anzahl der pro Jahr von einer Versicherung zu regulierenden Schadensfälle Anzahl der innerhalb eines Tages geborenen Kinder

48 Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung) (Gaußsche Glockenkurve)

49 Die Gauß- oder Normalverteilung

50 Dichte Verteilung Verteilungsfunktion

51 Erwartungswert Varianz

52 Die hypergeometrische Verteilung
Notation

53 Sie beträgt gerade H(n, N, m)(k)!
Eine Urne enthält n Kugeln, davon N weiße und n - N schwarze. Aus der Urne werden nacheinander m Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau k weiße Kugeln zu ziehen? Sie beträgt gerade H(n, N, m)(k)!

54 Erwartungswert Varianz

55 Die geometrische Verteilung

56 Erwartungswert Varianz

57 Die Exponential-Verteilung

58 Dichte Verteilung Verteilungsfunktion

59 Erwartungswert Varianz

60 Der Zentrale Grenzwertsatz

61 Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung
Für unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen X und Y hat man

62 Achtung Aufgabe!

63 Tafel für die Verteilungsfunktion
bei Normalverteilung

64 Achtung noch eine Aufgabe!

65 ... und endlich eine Liste ...