Verhalten des Graphen an den Nullstellen Johannes-Kepler-Gymnasium Verhalten des Graphen an den Nullstellen

Zusammenhänge zwischen Das Puzzle Zusammenhänge zwischen und Term Graph Ihr habt bereits gelernt, dass man am Funktionsterm vieles über das Aussehen des zugehörigen Graphen ablesen kann. Umgekehrt kann man auch vom Graphen auf einen möglichen Funktionsterm schließen. Im Einzelnen solltet ihr am Term das Verhalten des Graphen für x→±∞, Symmetrie und auch den Ort der Nullstellen erkennen können und umgekehrt. (x-1) (x-2) (x-3)

Vom Graphen zum Term Wir haben euch auf dem AB unterschiedliche Graphen mitgebracht. Ziel dieses Plenums ist es, den Graphen jeweils den passenden Funktionsterm zuzuordnen. Damit wir die Graphen später ordnen können, ist es zunächst eure Aufgabe, Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen zu beschreiben. Dafür habt ihr 2 min Zeit… (Überleitung)

Gemeinsamkeiten und Unterschiede der vorgegebenen Graphen Nullstellen (stimmen überein) Grenzwertverhalten (x→±∞) (stimmt teilweise überein) Verhalten des Graphen in der Umgebung der Nullstellen (unterschiedlich) Wir fassen eure Aussagen noch einmal zusammen. … Um die Graphen zu ordnen, hilft uns die Information über den Ort der Nullstellen nicht weiter, da die Nullstellen bei allen Funktionen am selben Ort sind. Beim Grenzwertverhalten ist das anders. Wir haben an der Wand ein Raster vorbereitet, um die Graphen nach dem Grad n des zugehörigen Funktionsterms und dem Faktor an vor xn im Funktionsterm zu ordnen. Beispiele: [Graphen von –x2 und –x5 auf Plakaten; zwei SuS hängen Plakate auf] Welche Terme könnten zu den Graphen gehören? [Arbeitsphase] [Graphen kleben]

Welche Terme gehören jetzt auf jeden Fall in welches der vier Felder? Problem: Wie erkennt man den Grad n und den Faktor an im faktorisierten Term? … ist gleich eure Aufgabe. Zunächst überlegt aber, welche Probleme bei der Lösung der Aufgabe ergeben? [Arbeitsphase] [Terme in Felder kleben]

Grenzwertverhalten (x→±∞) im faktorisierten Term Zusammenfassung I Grenzwertverhalten (x→±∞) im faktorisierten Term an sieht man direkt! an ist der Faktor vor dem Produkt. n ist die Summe der Hochzahlen!

Wie können wir die Terme den Graphen zuordnen? Das Verhalten des Graphen in der Umgebung Nullstellen ist unterschiedlich. Bei den Graphen auf dem AB unterscheidet sich noch das Verhalten in den Umgebungen der jeweiligen Nullstellen. Was könnte dafür in den zugehörigen Termen verantwortlich sein? … Wir werden gleich mit dem Programm GeoGebra die Exponenten v in einem Funktionsterm verändern. Eure Aufgabe ist es… [Datei zeigen, Funktion vorstellen, Vielfachheiten aller Nullstellen verändern, Vermutungen zur Aufgabenstellung überprüfen] Verantwortlich dafür können nur die Exponenten v in den Faktoren (x – Nullstelle)v sein. Aufgabe: Beobachtet und notiert, wie sich die Veränderung von v auf den Verlauf des Graphen an den Null-stellen auswirkt!

Verhalten des Graphen an einer Nullstelle Zusammenfassung II Verhalten des Graphen an einer Nullstelle An einer Nullstelle kann der Graph die x-Achse schneiden oder berühren. Zusammengefasst… Bei geradem Exponent berührt der Graph, bei ungeradem Exponent schneidet der Graph die x-Achse. Je höher der Exponent, desto flacher verläuft der Graph in der Umgebung der Nullstelle.

Vielfachheit einer Nullstelle Im faktorisierten Term nennt man den Exponenten v des Faktors (x - Nullstelle)v die Vielfachheit der Nullstelle. Definition Damit man über die Exponenten sprechen kann, gibt ein typischer Mathematiker diesen noch einen Namen.

Umgekehrt – Vom Term zum Graphen Zum Skizzieren eines Graphen dienen: - das Grenzwertverhalten (x→±∞): Grad n und an ablesen n gerade n ungerade an > 0 von links oben nach rechts oben von links unten an < 0 rechts unten Wenn man umgekehrt vorgeht, also zu einem gegebene Term einen Graphen skizzieren möchte, hilft es, den Grad n und den Faktor an zu bestimmen. Damit weiß man wie sich der Graph für sehr große und sehr kleine x-Werte verhält. [Tabelle erläutern] Außerdem helfen die Nullstellen, die man aus dem faktorisierten Term ablesen kann und die Vielfachheit der jeweiligen Nullstelle. Kennt man die Vielfachheit der jeweiligen Nullstelle, weiß man, wie sich der Graph in der Umgebung der Nullstelle verhält. - die Nullstellen - die Vielfachheit der Nullstellen

Rückblick Die Vielfachheit einer Nullstelle ist der Exponent v des Faktors (x – Nullstelle)v im faktorisierten Term. Am Exponenten v erkennt man den Verlauf des Graphen in der Umgebung der Nullstelle: Heute war folgendes neu für euch: Begriff „Vielfachheit“ Anschauliche Bedeutung der Vielfachheit einer Nullstelle Zusammenfassung II Bei geradem Exponenten berührt der Graph, bei ungeradem Exponenten schneidet der Graph die x-Achse. Je höher der Exponent, desto flacher verläuft der Graph in der Umgebung der Nullstelle.

Die drei Fragen Wann berührt und wann schneidet der Graph die x-Achse? Was kann euch beim Skizzieren des Graphen behilflich sein? Welche Auswirkungen hat der Wert der Vielfachheit auf den Steigungsverlauf des Graphen an der Nullstelle?

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! Weiteres Vorgehen In den nächsten Stunden werdet ihr an Stationen die Möglichkeit bekommen, selbst-ständig zu wiederholen, etwas Neues zu lernen und bereits Bekanntes anzuwenden. © Katrin Kipp & Christian Westphal 2005, Barbara Volkery & Rafael Tolksdorf 2006