Ganzrationale Funktionen Johannes-Kepler- Gymnasium Ganzrationale Funktionen Begrüßung; Transparenz: „In dem heutigen Plenum bekommt ihr die Gelegenheit, eine neuen Funktionsklasse kennen zu lernen, die sogenannten ganzrationalen Funktionen. Im Verlauf des Plenums werden ihr allerdings erkennen, dass Potenzfunktionen eng mit diesen ganzrationalen Funktionen zusammenhängen. Wenn man sich also gut mit Potenzfunktionen auskennt, bilden die ganzrationalen Funktionen eigentlich keine große Schwierigkeit.“

Lernangebot Ein neuer Funktionstyp: Ganzrationale Funktionen Verhalten —› ±∞ mit Übungen Symmetrie: allgemein bei ganzrationalen Funktionen Konkret bieten wir euch folgendes: 1. …

Volumen einer Schachtel Anwendungsbeispiel Volumen einer Schachtel 21 - 2x Term zur Volumenberechnung : (30-2x)(21-2x)x „Als Einstieg in den neuen Themenbereich haben wir uns ein Beispiel überlegt, in dem ganzrationale Funktionen eine Rolle spielen. Das Volumen einer Schachtel, die aus einem Stück Pappe mit der Länge von 30 cm und der Breite von 21 cm gebastelt werden soll, soll berechnet werden. Die Höhe der Schachtel wird x genannt. Folgender Term gibt das Volumen an: Länge mal Breite mal Höhe. In diesem Fall … . Das Volumen ist demnach abhängig von x. Die Funktion V(x) nennt man eine ganzrationale Funktion. Was dasBbesondere an diesen Funktionen ist, wird bei der nächsten Folie deutlich. Eine kleine Wiederholung zum letzten Plenum: Wie lautet der Def.-bereich der Funktion V(x)? Im weiteren Verlauf der gymnasialen Oberstufe könnten euch z.B. folgende weiterführenden Frage begegnen: Wie hoch muss die Schachtel sein sein, damit das Volumen maximal ist? Ihr lernt Rechenverfahren kennen, mit deren Hilfe man diese Frage relativ leicht beantworten kann. Nun aber zurück zur Ausgangsfrage: Was macht die Funktion V(x) zu einer ganzrationalen Funktion?“ Funktion zur Volumenberechnung in Abhängigkeit von x V(x) = 4x3 - 102x2 + 630x Definitionsmenge D = {x| x є R, 0< x < 10,5}

Neue Funktionsterme Terme der Form 4x3 - 102x2 + 630x Definitionen Neue Funktionsterme Terme der Form anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 mit n є N und an≠ 0 nennt man Polynome 4x3 - 102x2 + 630x -7x5 + 2x3 – 4,2 3x6 –x5 + 6x4 – 9x3 – 88x2 + 10x -7 Der höchste Exponent n heißt Grad des Polynoms. „Zunächst zeigen wir euch weitere Terme, die die Funktionsterme von ganzrationalen Funktionen darstellen. Allen bisher gesehenen Termen ist gemeinsam, dass sie die Form … haben. Terme dieser Form nennt man auch Polynome. Der höchste Exponent … Welchen Grad besitzen die auf dieser Folie dargestellten Terme? Wie lautet der Koeffizient von … ?“ Die reellen Zahlen an bis a0 heißen Koeffizienten.

Ganzrationale Funktionen Definitionen Ganzrationale Funktionen Eine Funktion f mit einem Polynom als Funktionsterm nennt man eine ganzrationale Funktion. Grad 4 „Ganzrationale Funktionen sind jetzt Funktionen, die … . Wir haben noch weitere Beispiele dabei.“ Beispiele nur zeigen (die Schüler haben die Lösungen ja schon). Oder alle die Zettel zur Seite legen. Für die Schüler noch andere Beispiele an der Tafel? Der Funktionsterm ist kein Polynom → h ist keine ganzrationale Funktion

Ganzrationale Funktionen unter der Lupe 3. Grades unter der Lupe Ganzrationale Funktionen unter der Lupe f(x)= x3 - x f(x)= x3 + x2 - 2x -2 „Ihr wisst ja, dass man Funktionen auch graphisch darstellen kann. Nachdem nun klar ist, was eine ganzrationale Funktion ist, soll es darum gehen, wie die Graphen solcher Funktionen aussehen. Hier könnt ihr den Graphen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades nämlich f(x) = … sehen. Auf den ersten Blick sieht diese Funktion ganz ähnlich aus wie eine Funktion, die ihr bereits kennt, nämlich wie die Potenzfunktion f(x) = x^3. Unter der Lupe erkennt man allerdings die Unterschiede – ein Hoch- und ein Tiefpunkt!!! Dito bei der nächsten Funktion. Ist das bei ganzrationalen Funktionen 4. Grades auch so, dass die beliebige ganzr. Funktionen 4. Grades „von der Ferne betrachtet“ aussehen wie die Potenzfunktion f(x) = x^4? Mal sehen.“

Ganzrationale Funktionen unter der Lupe 4. Grades unter der Lupe Ganzrationale Funktionen unter der Lupe f(x)= x4 - 2x3 - x2 + 2x f(x)= x4 - 3x3 - x2 + 3x „Wir betrachten mal eine beliebige ganzrationale Funktion 4. Grades. Sieht so ähnlich aus wie …, aber unter der Lupe erkennt man wieder die Unterschiede - zwei Tiefpunkte und eine Hochpunkt. Zweites Beispiel dito.

Ganzrationale Funktionen unter der Lupe 5. Grades unter der Lupe Ganzrationale Funktionen unter der Lupe f(x)= x5 - x3 f(x)= -x5 + 1,27x3 – 0,15x2 + 0,2376x „Wir schauen uns das Ganze noch einmal abschließend für eine ganzrationale Funktionen 5. Grades an. Wieder so ähnlich wie …, aber ein Hochpunkt, ein Tiefpunkt und ein sogenannter Sattelpunkt. Dito bei … . Diesmal haben wir ein negatives Vorzeichen vor dem x^5. In der letzten Stunde konntet ihr die Auswirkungen sehen.“

Potenzfunktionen - ganzrationale Funktionen Direkter Vergleich Potenzfunktionen - ganzrationale Funktionen aus der Nähe aus der Ferne f(x)= x3 g(x)= x3 - x f(x)= x4 g(x)= x4 - 2x3 – x2 +2x „Wir haben die gerade gewonnenen Einsichten und Erkenntnisse noch einmal auf einen Blick zusammengestellt– der direkte Vergleich von Potenzfunktionen und ganzrationalen Funktionen. Was man auf jeden Fall sagen kann ist, dass „aus der Ferne betrachtet“ … . Das Verhalten an den Rändern einer beliebigen ganzrationalen Funktion dritten Grades ist beispielsweise wie bei der entsprechenden Potenzfunktion. Umgangssprachlich kann man sagen, sie kommen beide von unten und gehen zum Schluss nach oben. Nur aus der Nähe ergeben sich Unterschiede. Ebenso ist es bei ganzrationalen Funktionen eines anderen Grades. Wenn man also wissen möchte, wie die Funktion g(x) = x^3-x an den Rändern aussieht, dann genügt es offenbar, die Grenzen der Funktion f(x) = x^3 anzugeben – und das vereinfacht die Sache doch enorm.“

f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 Kurvenverlauf f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion f vom Grad n wird für x  ∞ bzw. x  - ∞ vom Summanden anxn bestimmt. Ist an > 0 und n gerade so folgt für f(x): für x  - ∞ gilt: f(x)  + ∞. für x  + ∞ gilt: f(x)  + ∞. „Das Ganze nun mathematisch korrekt ausgedrückt und aufgeschrieben. Insgesamt gibt es vier Unterscheidungen: …“ Beispiele zu den einzelnen Aussagen von Schülern nennen lassen und an die Tafel schreiben!!! Ist an < 0 und n gerade so folgt für f(x): für x  - ∞ gilt: f(x)  - ∞. für x  + ∞ gilt: f(x)  - ∞.

f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 Kurvenverlauf f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 Ist an > 0 und n ungerade so folgt für f(x): für x  - ∞ gilt: f(x)  - ∞. für x  + ∞ gilt: f(x)  + ∞. Ist an < 0 und n ungerade so folgt für f(x): für x  - ∞ gilt: f(x)  + ∞. für x  + ∞ gilt: f(x)  - ∞. Wieder Beispiele von den Schülern nennen lassen und an die Tafel schreiben. Verlauf von ganzrationalen Funktionen gegen plus und minus Unendlich anschaulich im Vergleich zu bekannten Potenzfunktionen hergeleitet. Im Unterricht rechnerisch nachweisen, dass dieses Vorgehen tatsächlich zulässig ist.

Deutschland sucht den Kurvenstar Casting - Beispiel Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = -x4 +3x3 +x2 -3x f(x) = -x4 +3x3 +x2 -3x Wir haben gerade mit euch den Verlauf von ganzrationalen Funktionen gegen plus und minus Unendlich anschaulich im Vergleich zu den euch bekannten Potenzfunktionen hergeleitet. Im Unterricht wäre es sinnvoll, noch einmal rechnerisch nachzuweisen, dass dieses Vorgehen tatsächlich zulässig ist. Wir wollten nun noch einmal ein Spiel machen zur Versicherung für euch und für uns, ob ihr … verstanden habt. Dazu haben wir uns überlegt, dass immer die Hälfte des Plenums spielt. Und zwar geben wir euch gleich unterschiedliche ganzrationale Funktionen vor und ihr sollt durch Handzeichen deutlich machen, welchen Verlauf diese Funktionen gegen plus und minus unendlich haben. Dazu steht jetzt einmal jeder Zweite auf, die die noch sitzen sind bei der zweiten Aufgabe dran. Los geht’s: Deutschland sucht den Kurvenstar!“ Alternativ: 4 bis 6 Schüler kommen nach vorn und spielen „Kurvenverlauf“. Die Blickrichtung für die pantomimische Darstellung des Kurvenverlaufs muss in Richtung Tafel gehen.

Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar Casting 1A Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 2x5 +3x4 –7x Hinweise für den Lehrer: Die Schüler haben kurz Zeit sich zu entscheiden.

Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar Casting 1B Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 2x5 +3x4 –7x Die Lösung wird angezeigt.

Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar Casting 2A Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 7x4 –7x5 +x2 Hinweise für den Lehrer: Die Schüler haben kurz Zeit sich zu entscheiden.

Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar Casting 2B Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 7x4 –7x5 +x2 Die Lösung wird angezeigt.

Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar Casting 3A Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 10 -x +x2 -x3 +4x4 -10x5 +x6 -x7 +x8 Hinweise für den Lehrer: Die Schüler haben kurz Zeit sich zu entscheiden.

Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar Casting 3B Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 10 -x +x2 -x3 +4x4 -10x5 +x6 -x7 +x8 Die Lösung wird angezeigt.

Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar Casting 4A Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 5x6 –50x5 +75x4 +1280x3 +580x2 -6480x +14240 Hinweise für den Lehrer: Die Schüler haben kurz Zeit sich zu entscheiden.

Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar Casting 4B Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 5x6 –50x5 +75x4 +1280x3 +580x2 -6480x +14240 Die Lösung wird angezeigt.

Punktsymmetrie zum Ursprung: Achsensymmetrie zur y-Achse: zu –x und zu x gehört derselbe y-Wert f(-x) = f(x) „Im Spiel ging es gerade darum, den Verlauf eines Funktionsgraphen durch sein Randverhalten oder anders ausgedrückt durch das Verhalten gegen plus und minus Unendlich grob zu beschreiben. Ihr erinnert euch sicher daran, dass wir im letzten Plenum gesagt, dass neben diesem Verhalten Mathematiker auch das Steigungsverhalten (Monotonieverhalten) und das Symmetrieverhalten nutzen, um den Verlauf der Graphen von Funktion beschreiben. Um das Monotonieverhalten ging es bereits im letzten Plenum. Heute schauen wir uns einmal das Symmetrieverhalten an. Ihr habt in der SI zwei unterschiedliche Arten von Symmetrie kennen gelernt und zwar allgemein die Achsen- und die Punktsymmetrie. Wie schauen uns jetzt einmal speziell die Achsensymmetrie zur y-Achse an. An dem achsensymmetrischen Graphen kann man erkennen, dass zu … derselbe y-Wert gehört. Das ist für alle x aus dem Definitionsbereich so (zeigen)! D.h. also eine Funktion ist …, wenn gilt … für alle x aus dem Def.-bereich. Anschaulich bedeutet Achsensymmetrie zur y-Achse, … Blatt falten an der y-Achse und … . Nun zur Punktsymmetrie zum Ursprung. Hier kann man am Graphen sehen, dass … . Anschaulich bedeutet Symmetrie zum Ursprung Drehung um 180°. Hinweise für den Lehrer: Übungen zu f(-x) = f(x) und f(-x) = - f(x) müssen im Unterricht folgen. Punktsymmetrie zum Ursprung: die zu –x und zu x gehörige y-Werte unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen f(-x) = -f(x)

Symmetrie – einfach zu erkennen Bei ganzrationalen Funktionen erkennt man eine vorhandene Symmetrie sehr schnell. f(x)= -3x6 + 5x2 g(x)= x400 - 3x78 – 77 Enthält der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion nur Potenzen mit geraden Hochzahlen, so ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. Solche ganzrationalen Funktionen heißen gerade. „Wie sieht das nun mit Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen aus? Ebenso wie beim Verhalten gegen plus und minus Unendlich haben wir es hier wieder einmal relativ leicht, wenn man sich den Funktionsterm gut anschaut. Es gilt: … Im Unterricht solltet ihr zusammen mit eurem Lehrer/eurer Lehrerin noch einmal an Beispielen überlegen, warum das so ist.“ h(x)= 4x7 - 5x3 + 9x k(x)= -22x431 - 3x91 Enthält der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion nur Potenzen mit ungeraden Hochzahlen, so ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Solche ganzrationalen Funktionen heißen ungerade.

Die drei Fragen Erkläre die Begriffe: „ Polynom“ und „ganzrationale Funktion“. Welchen Verlauf haben die Graphen der ganzrationalen Funktionen im Vergleich zu den Potenzfunktionen? Wie erkenne ich, welche dieser Funktionen Symmetrieeigenschaften besitzen? „Wie immer haben wir uns drei Fragen überlegt, die euch zeigen, ob ihr die Ziele des Plenums erreicht habt. Wenn ihr die 3 Fragen gut beantworten könnt, ist das der Fall. Auf jeden Fall wieder Zeit nehmen, um diese Fragen ohne das Handout des Plenums zu beantworten. Später Abgleich mit dem Handout.“

Stunde 1 2 BASIC´s LS11 Seite 91: A 3 Seite 91: A 4 Seite 91: A 5 Aufgaben Stunde 1 2 BASIC´s LS11 Seite 91: A 3 Seite 91: A 4 Seite 91: A 5 LS11 Seite 93: A 2c,f,i A 3 TOP´s LS11 Seite 99: A 4 LS11 Seite 93: A 4 A 5 LS11 Seite 99: A 8 LS11 Seite 93: A 7 Aufgaben beziehen sich auf die Inhalte des aktuellen Plenums. Viel Erfolg!  Ludmilla Scheinker, Margit Müller 2005 und Barbara Volkery, Rafael Tolksdorf 2006

Vorbereitung auf die 1. Klausur Was müssen wir beherrschen?   Koordinatengeometrie:  Geradengleichung aufstellen! Wann sind Geraden senkrecht zueinander – wann sind sie parallel? Überprüfen ob ein Dreieck rechtwinklig ist? Abstand von zwei Punkten zueinander berechnen Anwendungen/ Modellierung (inkl. zeichnen) Funktionen: Was sind Funktionen? Alles über die Potenzfunktion! Ganzrationale Funktionen: Symmetrie – Grenzwertverhalten – Monotonie Hinweise zur Klausur!