„Gekoppelte Oszillatoren“

Gekoppelte elektrische Schwingkreise Inhalt Gekoppelte Pendel Gekoppelte elektrische Schwingkreise Gekoppelte Schwingungen in den Bausteinen der Materie Orbitale der Elektronen Molekülschwingungen Schwingungen in Festkörpern

d‘ Alembertsches Prinzip Feder und Massenpunkt Einheit Bezeichnung 1 N Federkraft Trägheitskraft Schwingungs-gleichung d‘ Alembertsches Prinzip

Erste Eigenschwingung der über eine Feder gekoppelten Oszillatoren Leicht erhöhte Frequenz: Kopplungsfeder wird wenig beansprucht Symmetrische Auslenkungen

Zweite Eigenschwingung der über eine Feder gekoppelten Oszillatoren Höhere Frequenz: Kopplungsfeder wird stark beansprucht Anti-Symmetrische Auslenkungen

Versuch: Gekoppelte Pendel Verhalten eines einzelnen Schwingkreises Kopplung über die Feder Schwebungen durch Überlagerung von zwei Schwingungen unterschiedlicher Frequenz Suche nach den Eigenfrequenzen durch spezielle Startbedingungen Unterschiedliche Eigenschwingungen zeigen unterschiedliche Symmetrie

„Schlüsselexperiment“ Doppelpendel Schwingungart Symmetrie bei Spiegelung Muster Erste Eigenschwingung Symmetrisch Zweite Eigenschwingung „Anti“-symmetrisch Beliebig, das ist eine Überlagerung beider Eigenschwingungen Unsymmetrisch

Effekt der Kopplung Ohne Kopplung: Beide Oszillatoren zeigen die gleiche Eigenfrequenz Mit Kopplung: Zwei „Schwingungsmoden“ mit unterschiedlichen Eigenfrequenzen Die Symmetrie der Auslenkungen beider Moden ist unterschiedlich

Versuch: Gekoppelte elektrische Schwingkreise Verhalten eines einzelnen Schwingkreises Kopplung über die Feldstärken Schwebungen durch Überlagerung von zwei Schwingungen unterschiedlicher Frequenz Suche nach den Eigenfrequenzen mit Fourier-Analyse

Kopplung ohne Materie gibt es nur in elektromagnetischen Feldern! Kopplung von zwei elektrischen Schwingkreisen über das magnetische Feld Kopplung ohne Materie gibt es nur in elektromagnetischen Feldern!

Über das Magnetfeld gekoppelte Schwingkreise Schwebungen aufgrund des Austauschs der Energie zwischen den Schwingkreisen Grund: Überlagerung der beiden Eigenschwingungen mit leicht unterschiedlichen Frequenzen unterschiedlichen Symmetrie-Eigenschaften Erste Eigenschwingung mit „gleichphasigen“ Feldstärken in beiden Kreisen Zweite Eigenschwingung mit „gegenphasigen“ Feldstärken in beiden Kreisen

Gekoppelte Schwingungen in der Materie Alle durch Wechselwirkungskräfte verbundenen Teile sind – bei entsprechender Anregung – „gekoppelte Pendel“ Bei Teilchenzahl n wächst - im dreidimensionalen Raum - die Zahl der „Freiheitsgrade“ auf 3n Es gibt deshalb 3n Eigenschwingungen mit unterschiedlichen Symmetrie-Eigenschaften Energie-Werten An jeder Eigenschwingung sind immer alle Oszillatoren beteiligt

Beispiele „Gekoppelte Pendel“ Orbitale des Elektronensystems Molekülschwingungen Schwingungen im Festkörper, „Phononen“

Orbitale Die Elektronen in einer „Schale“ n eines Atoms bilden ein System identischer, gekoppelter Oszillatoren Hier verlässt man das Bohrsche Atommodell Die Eigenschwingungen dieses Systems werden mit den Quantenzahlen l, m bezeichnet und zeigen unterschiedliche Symmetrie-Eigenschaften Orbitale zeigen die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen was bei Oszillatoren sinnvoll ist

X-Achse Y-Achse Z-Achse Ja Nein Symmetrie der drei p Orbitale einer Unterschale (l=1) bei beliebiger Drehung um eine Achse Drehung erlaubt? X-Achse Y-Achse Z-Achse Ja Nein

Orbitale mit ihren Quantenzahlen Symmetrie

Beispiel: Orbitale im Neon Haupt-quantenzahl Drehimpuls- oder Nebenquantenzahl Orientie-rungs-Quanten-zahl Max. Zahl der Zustände Form der Orbitale N Schale Schale, Orbital Typ Spin 1 K s 2 L p -1 6

Molekülschwingungen, Beispiel CO2, erste Streckschwingung, symmetrisch z x

Beispiel CO2, zweite Streckschwingung antisymmetrisch x

Beispiel CO2, erste Deformationsschwingung z x

Beispiel CO2, erste Deformationschwingungen, Ansicht von der Längs-Seite z y

Beispiel CO2, zweite Deformationschwingung, Ansicht von der Längs-Seite y

Ist die Schwingung invariant gegenüber der Symmetrieoperation? Symmetrieeigenschaften dieser Schwingungen bei der Einheitsoperation, Drehung und Spiegelung 1 ja nein Ist die Schwingung invariant gegenüber der Symmetrieoperation?

Beispiel: Anregung der ersten Deformationsschwingung von CO2 im Infrarot-Bereich

Kristalline Festkörper Bei n Teilchen gibt es n „Schwingungsmoden“ mit Auslenkungsmuster unterschiedlicher Symmetrie Die n Eigenfrequenzen der Moden liegen zum Teil sehr dicht beisammen, es entstehen Energiebänder

Modell für die Einheitszelle eines Kristalls mit zwei Atomen in der Elementarzelle mit Federn anstelle der Coulomb-Kräfte Freiheitsgrade eines Kristallgitters mit 2 Atomen in der Elementarzelle

Beispiel für die Eigenschwingungen eines Kristalls mit zwei Atomen in der Elementarzelle Translation Innere Schwingung Freiheitsgrade eines Kristallgitters mit 2 Atomen in der Elementarzelle

Beispiel für eine Eigenschwingung

Phononen Zu jedem Auslenkungsmuster gehört eine „Eigenfrequenz“ Normalschwingungen der Teilchen in kristallinen Festkörpern werden „Phononen“ genannt Die Schwingungen der Teilchen, die Phononen, koppeln an die Anregung der Elektronen

Wirkung der Kopplung: Vergleich der Spektren von Gasen/Flüssigkeiten/Festkörpern

Beispiele für Emission und Absorption an freien Atomen und im Vergleich dazu – an heißen Festkörpern Absorptionslinien von Wasserstoff vor der „Weissen“ Strahlung der Sonne (an der Oberfläche ca. 6000 K) Abbildung: Emissionsspektrum der Quecksilberdampflampe und Absorptionslinien im Sonnenspektrum. Quelle: Meyers Enzyklopädisches Lexikon

Zuammenfassung Alle durch Wechselwirkungskräfte verbundenen Teile sind – bei entsprechender Anregung – „gekoppelte Pendel“ Bei Teilchenzahl n wächst die Zahl der „Freiheitsgrade“ auf 3n Es gibt deshalb 3n Eigenschwingungen mit unterschiedlichen Symmetrie-Eigenschaften Energie-Werten

Finis Leicht erhöhte Frequenz: Kopplungsfeder wird wenig beansprucht Symmetrische Auslenkungen