Hydro- und Aerodynamik Die Bernoulli-Gleichung

So fliegen die Vögel! sowas …und die Flugzeuge

Inhalt Strömung idealer Flüssigkeiten Strömung realer Flüssigkeiten Die Volumenstromstärke Die Kontinuitätsgleichung Die Gleichung von Daniel Bernoulli Strömung realer Flüssigkeiten Laminare Strömung, Newtonsche Gleichung Reibungskraft auf eine Kugel: Das Gesetz von Stokes Das Hagen-Poiseuillesche Gesetz Die Grenzschicht und die Reynoldssche Zahl, Turbulenz

Die Bernoulli Gleichung Bei Änderung der Strömungsgeschwindigkeit ändert sich der Druck in Abhängigkeit vom Rohr-Querschnitt Unabhängig von Reibung – also auch in idealen Flüssigkeiten p1 10 5 p2 10 5 Es gelte die Kontinuitätsgleichung: Das bewegte Volumen ΔV sei in beiden Rohren gleich, das heißt, der Druck führe zu keiner Volumenänderung

Statisches System, ohne Fluss p1 10 5 p2 10 A1 A2 5 Ohne Fluss: Konstanter Druck im ganzen System

Arbeit gegen den Druck im „großen“ Rohr mit Querschnitt A1 1 J Arbeit gegen den Druck p1 10 5 p2 10 A1 A2 5 Bei Fluss: Vom Querschnitt abhängiger Druckabfall

Arbeit gegen den Druck im „kleinen“ Rohr mit Querschnitt A2 1 J Arbeit gegen den Druck p1 10 5 p2 10 A1 A2 5 Bei Fluss: Stäkerer Druckabfall im kleinen Rohr

Zunahme der kinetischen Energie beim Übergang ins kleine Rohr 1 J Arbeit zur Beschleunigung des Mediums, Masse m=ρ·ΔV p1 10 5 p2 10 5 Beim Übergang ins kleine Rohr steigt die Geschwindigkeit von v1 links zu v2 rechts, deshalb nimmt die kinetische Energie der Flüssigkeit (Masse m) zu

Arbeit in beiden Rohren 1 J Arbeit zur Beschleunigung des Mediums, Masse m=ρ·dV p1 10 5 p2 10 5 Beim Übergang ins kleine Rohr steigt die Geschwindigkeit von v1 links zu v2 rechts, deshalb nimmt die kinetische Energie der Flüssigkeit zu, m = ρ·dV

Die Bernoulli-Gleichung 1 J Energie-Erhaltung 1 Pa Bernoulli Gleichung p1, p2 Drucke v1, v2 1m/s Geschwindigkeiten ρ 1 kg/m3 Dichte des Mediums Bei Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck ab

Der Bernoulli Effekt Eine ideale Flüssigkeit fließe durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt Im Bereich des kleineren Querschnitts nimmt die Strömungsgeschwindigkeit zu, der Druck aber ab

Bei Anstieg der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck Der Bernoulli-Effekt Bei Anstieg der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck

Versuch zur Bernoulli-Gleichung Drucke in Abhängigkeit von der Strömungsgeschwindigkeit einer Flüssigkeit: Niederer Druck in den Rohren mit kleinem Querschnitt, also hoher Strömungsgeschwindigkeit Hoher Druck im Rohr mit großem Querschnitt und kleiner Strömungsgeschwindigkeit

Frage zur Bernoulli Gleichung Q: Wann ist in zwei Rohren unterschiedlichen Querschnitts unterschiedlicher Druck zu erwarten? A: Beim Transport des Mediums, weil es beim Übergang in das Rohr mit kleinerem Querschnitt beschleunigt wird Dieser Effekt ist unabhängig von der Reibung!

Zusammenfassung Die Gleichung von Daniel Bernoulli für ideale Strömungen: 1/2·ρ ·(v22 – v12) = p1 – p2 [Pa] p1, p2 [Pa] Drucke in Bereichen unterschiedlicher Strömungsgeschwindigkeiten v2 und v1 [m/s] ρ [kg/m3] Dichte des Mediums Daraus folgt: In Bereichen großer Strömungsgeschwindigkeit ist der Druck kleiner als in Bereichen kleiner Strömungsgeschwindigkeit Ursache: Energiesatz, daher unvermeidlich Kein Reibungseffekt, es wird keine Energie in Wärme umgewandelt, daher: Im Idealfall vollständig reversibel

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