Kovarianzanalyse Störvariablen Veranschaulichung der Kovarianzanalyse Quadratsummen und „modifizierte“ Quadratsummen F-Test Reduktion der Fehlervarianz Voraussetzungen Die Kovarianzanalyse in SPSS 09_ancova 1

Kovarianzanalyse Kovarianzanalyse Die Kovarianzanalyse ist ein Verfahren, das eine Varianzanalyse mit einer Regressionsanalyse kombiniert. Die Kovarianzanalyse wird eingesetzt, um die Fehlervarianz einer ANOVA zu verringern und damit die Power zu erhöhen. Dazu wird der Einfluss einer zusätzlichen Variable aus der AV einer Varianzanalyse „herauspartialisiert“. Beispiel: Vor dem Vergleich der Gedächtnisleistung (AV) zwischen zwei Lernbedingungen (UV) wird der Einfluss des Alters (Kovariate) heraus gerechnet. 09_ancova 2

Statistische Kontrolle von Störvariablen Beispiel: Untersuchung zum Therapieerfolg Faktor Geschlecht des Patienten (2-fach) Faktor Therapieform (3-fach)  Es werden ungefähr 2 x 3 x 20 = 120 Vpn benötigt. Wenn das Alter (Störvariable) als dritter Faktor (z.B. drei Stufen) berücksichtigt werden soll, braucht man schon 3 x 120 = 360 Vpn. Weil ein solches Vorgehen wenig ökonomisch wäre, ist eine statistische Kontrolle des Alters vorzuziehen  Kovarianzanalyse 09_ancova 3

Veranschaulichung der Kovarianzanalyse Theoretisches Vorgehen bei der Kovarianzanalyse: Ziel: Statistische Kontrolle einer (Stör-) Variablen, die möglicherweise die Daten der Untersuchung beeinflusst haben könnte: Frage: Wie sähen die Ergebnisse aus, wenn die Kovariate in allen Gruppen gleich gewesen wäre? (Theoretisches) Vorgehen: 1. Die Störvariable wird zusätzlich erhoben 2. Ihr Einfluss wird mit eine Kovarianzanalyse „neutralisiert“ 09_ancova 4

Veranschaulichung der Kovarianzanalyse Theoretisches Vorgehen bei der Kovarianzanalyse: Eine Regressionsanalyse „entfernt“ die Varianz der Kovariate aus der abhängigen Variablen (AV). Dies geschieht, indem eine Regression der AV auf die Kovariate berechnet wird. Die Regressionsresiduen beschreiben den Anteil der AV, der nicht durch die Kovariate erklärt werden kann. Diese Residuen werden als neue AV in eine Varianzanalyse gegeben  Die nach der Regressionsanalyse verbleibende (nicht erklärbare) Varianz mit der Hilfe einer ANOVA erklärt. 09_ancova 5

Veranschaulichung der Kovarianzanalyse Regression Residuum = nicht durch Prädiktor (x) vorhersagbarer „Rest“ des Kriteriums (y). Varianz der Residuen (Streuung der Datenpunkte um die Regressionsgerade) = nicht vorhergesagte (erklärte) Varianz 09_ancova 6

Veranschaulichung der Kovarianzanalyse Beispiel 20 Schüler lernen eine Programmiersprache. UV: 5 verschiedene Lernmethoden AV: Lernerfolg Kovariate: mathematische Vorkenntnisse  Der Einfluss der Kovariate auf den Lernerfolg wird statistisch kontrolliert.  Der Effekt der Lehrmethode kann so auch zuverlässig bestimmt werden, wenn zufällig in einer Gruppe viele Probanden mit hohen Vorkenntnissen waren. 09_ancova 7

Veranschaulichung der Kovarianzanalyse Daten x: mathematisch-logische Fähigkeiten (Kovariate) y: Lernerfolg (AV) 09_ancova 8

Veranschaulichung der Kovarianzanalyse 1. Schritt: Regression von y auf x 09_ancova 9

Veranschaulichung der Kovarianzanalyse x y y(reg) y(res) 10 18 19.19 -1.19 20 17 27.69 -10.69 15 23 23.44 -0.44 12 19 20.89 -1.89 22 40 29.39 10.61 31 37.04 -15.04 16 28 24.29 3.71 25.14 5.86 30 38 36.19 1.81 2.96 41 25.99 15.01 35 25 40.44 -15.44 37 45 42.14 2.86 50 45.54 4.46 51 14.81 11 20.04 -5.04 -7.29 26.84 -6.84 31.94 -8.94 2. Schritt: Bestimmung der Residuen Wie kann man die Residuen interpretieren?  Das Residuum gibt an wie gut eine Person im Vergleich mit anderen Personen, die die gleichen Vorkenntnisse hatten, abgeschnitten hat.  Bsp. Vp 1: Die Person schneidet für ihre Vorkenntnisse ungefähr durchschnittlich ab.  Bsp. Vp 2: Die Person hat ein deutlich negatives Residuum obwohl sie fast den gleichen Testwert hatte: Für ihre guten Vorkenntnisse hat sie ein eher schlechtes Ergebnis erreicht. 09_ancova 10

Veranschaulichung der Kovarianzanalyse 3. Schritt: ANOVA mit den Residuen Die ANOVA wird wie immer berechnet: Quadratsummen (between & within) Mittlere Quadratsummen F-Werte … 09_ancova 11

Tatsächliche Berechnung der Kovarianzanalyse Tatsächlich erfolgt die Berechnung nicht genau wie das gerade veranschaulicht wurde! Stattdessen wird die Varianz der Kovariate wird direkt aus den Quadratsummen „entfernt“. Das mathematische Vorgehen ist folgendes: Quadratsummenzerlegung beider Variablen Produktsummenzerlegung Entfernen der Varianz der Kovariate: Berechnen der Modifizierten Quadratsummen F-Test 09_ancova 12

Tatsächliche Berechnung der Kovarianzanalyse 1. Quadratsummen Quadratsummenzerlegung für die AV (y) und die Kovariate (x) 09_ancova 13

Tatsächliche Berechnung der Kovarianzanalyse 1. Quadratsummen 09_ancova 14

Tatsächliche Berechnung der Kovarianzanalyse 2. Produktsummen Die „Produktsumme“ ist die Vorstufe zur Kovarianz (daher hat die „Kovarianzanalyse“ ihren Namen) 09_ancova 15

Tatsächliche Berechnung der Kovarianzanalyse Es gilt wie für die Quadratsummen: 09_ancova 16

Tatsächliche Berechnung der Kovarianzanalyse 09_ancova 17

Tatsächliche Berechnung der Kovarianzanalyse 3. Modifizierte Quadratsummen (adjusted Sums of Squares) Die Varianz der Kovariate wird aus den Quadratsummen der AV eliminiert. 09_ancova 18

Tatsächliche Berechnung der Kovarianzanalyse 3. Modifizierte Quadratsummen (adjusted Sums of Squares) 09_ancova 19

Tatsächliche Berechnung der Kovarianzanalyse 4. F-Test und Freiheitsgrade Fkrit = 3.11 signifikanter Effekt der Lernmethode auf den Lernerfolg wenn gleichzeitig die mathematisch-logische Vorkenntnisse kontrolliert werden. 09_ancova 20

Reduktion der Fehlervarianz Hat die Kovarianzanalyse die Fehlervarianz reduziert? Eine Reduktion der Fehlervarianz erfolgt nur, wenn Kovariate und AV korrelieren. Es muss die Korrelation zwischen der Kovariate und der AV berechnet werden, die nicht auf die UV zurückgeführt werden kann.“  Reduktion der Fehlervarianz um nur 0.1%! 09_ancova 21

Voraussetzung der Kovarianzanalyse Es gelten die normalen Voraussetzungen der ANOVA (Varianz-homogenität, Intervallskalenniveau, …) Zusätzlich die Bedingung der homogenen Regressions-koeffizienten erfüllt sein: Innerhalb jeder Gruppe wird eine Regressionsgerade bestimmt. Der Regressionskoeffizient (b) darf sich nicht zwischen den Gruppen unterscheiden, d.h. die Koeffizienten in der Population (β) müssen gleich sein. Statistische Überprüfung: siehe Bortz 09_ancova 22

Voraussetzung der Kovarianzanalyse Es gelten die normalen Voraussetzungen der ANOVA (Varianz-homogenität, Intervallskalenniveau, …) Zusätzlich die Bedingung der homogenen Regressions-koeffizienten erfüllt sein: Innerhalb jeder Gruppe wird eine Regressionsgerade bestimmt. Der Regressionskoeffizient (b) darf sich nicht zwischen den Gruppen unterscheiden, d.h. die Koeffizienten in der Population (β) müssen gleich sein. Statistische Überprüfung: siehe Bortz 09_ancova 23

SPSS 09_ancova 24

SPSS Syntax: glm av by gruppe with kov. 09_ancova 25

F-Test für den Einfluss der UV auf die AV, bei Kontrolle der Kovariate SPSS F-Test für den Einfluss der UV auf die AV, bei Kontrolle der Kovariate Adjustierte Quadratsummen! 09_ancova 26

Vergleich: Ergebnis ohne Kovariate SPSS Vergleich: Ergebnis ohne Kovariate 09_ancova 27

Die Kovarianzanalyse ist eine Varianzanalyse der Regressionsresiduen Zusammenfassung Die Kovarianzanalyse ist eine Varianzanalyse der Regressionsresiduen Ziel: Statistische Kontrolle einer potentiellen Störvariablen. Berechnung: Zerlegung der Quadratsummen von Kovariate und AV Zerlegung der Produktsummen Berechnung der modifizierten Quadratsummen F-Test Ggf.: Kontrolle der Fehlervarianzreduktion 09_ancova 28