Bewegungsgleichungen lösen im Physikunterricht? Franz Embacher franz.embacher@univie.ac.at http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/ Didaktik der Physik und eLearning Fakultät für Physik Universität Wien 25. November 2008

Das zweite Newtonsche Axiom „Kraft ist gleich Masse mal Beschleunigung“ Lösung Bewegungsgleichung „Bewegungs-Differentialgleichung“ Anfangsdaten

Beispiele Kräftefreier Fall: Lösung: Bewegung im homogenen Schwerefeld: Lösung: Harmonischer Oszillator: Lösung: Mathematisches Pendel: ( Auslenkungswinkel im Bogemaß) Lösung: nicht geschlossen darstellbar wobei

Problem für den Physikunterricht Aber: Methoden der Analysis stehen nicht zur Verfügung. Wünschenswert ist daher ein Verfahren, das es ermöglicht, zumindest näherungsweise von einem Kraftgesetz auf den sich daraus ergebenden Bewegungstypus schließen zu können, im Prinzip von SchülerInnen der Oberstufe (Sek 2) verstanden werden kann, und das SchülerInnen eigenständiges Operieren (durchaus auch im Sinne spielerisch-experimenteller Erforschung) ermöglicht, d. h. ein operationaler Zugang!

Idee zur näherungsweisen Lösung Bewegung während eines kurzen Zeitintervalls verfolgen: Geschwindigkeit Beschleunigung Im Folgenden muss gerade so klein sein wie in diesen Definitionen!

Näherungsverfahren 1. Schritt Anfangsort: Anfangsgeschwindigkeit: nach dem Zeitintervall ... ... Näherung!

Näherungsverfahren 2. Schritt Berücksichtigung der Änderung der Geschwindigkeit: nach dem Zeitintervall ... ... Näherung!

Näherungsverfahren Euler-Cauchy-Verfahren Iterative Anwendung: Das Verfahren besitzt aber einen didaktischen Nachteil: Es ist ungenau!

Beispiel Harmonischer Oszillator:

Verbesserung 1. Schritt  verbessertes Verfahren benötigt! Voraussetzung: gleichmäßig beschleunigte Bewegung Wenn Beschleunigung konstant und Anfangsgeschwindigkeit , dann wird während des Zeitintervalls die Strecke Näherung zurückgelegt.

Beschleunigung = (Anfangsbeschleunigung + Endbeschleunigung)/2 Verbesserung 2. Schritt beruht auf der Näherung Beschleunigung = Anfangsbeschleunigung. Da aber bereits berechnet wurde, kann die Näherung zu Beschleunigung = (Anfangsbeschleunigung + Endbeschleunigung)/2 verbessert werden:

Verbessertes Näherungsverfahren ... quadratische Entwicklung ... Heun- Verfahren  keine erkennbaren numerischen Artefakte mehr! Die Näherungslösung stimmt mit der exakten Lösung bis zur Ordnung überein. Für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist sie exakt.

Bezeichnungsweise ... ... ist kein Dogma!

Umsetzung mit Tabellenkalkulation Harmonischer Oszillator: t x v 0 1 0 0.1 0.995 -0.09975 0.2 0.98005 -0.1985025 ... ... ... 3.1 -0.999188064 -0.040238232 3.2 -0.998215967 0.05963197 ... ... ... 6.3 0.999810998 -0.019417108 exakte Lösung: Visualisierung der ersten beiden Spalten  Zeit-Weg-Darstellung

Visualisierung Harmonischer Oszillator:

Interaktivität ... ... mit Hilfe von Schiebereglern

Perspektiven Selbständiges Erschließen von Bewegungen aus Kraftgesetzen, vertieftes Verständnis der Logik Kraftgesetz + Anfangsdaten  Bewegung Spielerisch-experimentelles Erforschen Interessantere Systeme können besprochen werden als normalerweise üblich (z. B. Pendel) Besseres Verständnis der Bedeutung von Zeit-Weg-Darstellungen, Übersetzung Bewegung  Diagramm Kombination mit (Real-)Experimenten  Wechselspiel zwischen Beobachtung und Theorie Grundstock für das spätere Verständnis von Differentialgleichungen bei der Beschreibung dynamischer Systeme Falls keine Kenntnisse über Tabellenkalkulation vorhanden sind  vorbereitete interaktive Spreadsheets

Einstiegs-Szenario 5. Klasse Unterrichtseinheit: Das zweite Newtonsche Axiom in der Lesart a = F/m bei gegebener Kraft. Kräfte können vom Ort abhängen. Beispiel: Federkraft. Idee, die Bewegung über kurze Zeitintervalle zu verfolgen, „Herleitung“ des Näherungsverfahrens. Unterrichtseinheit : Umsetzung mit Tabellenkalkulation, Diskussion der Bewegung, Begriff der Schwingung. Unterrichtseinheit : Wiederholung der Logik Kraftgesetz + Anfangsdaten  Bewegungsablauf. Die Rolle des zweiten Newtonschen Axioms in der Physik, der Laplacesche Dämon. Was besagt das zweite Newtonsche Axiom für F = 0? „Wiederentdeckung“ des Trägheitssatzes. Aufgaben (ggf. i. R. eines differenzierten Bewertungssystems): Übertragung des Algorithmus auf andere Kraftgesetze, allgemeine Formulierung.

Beispiel: Pendel, große Auslenkungen

2D- und 3D-Verallgemeinerung Keplerproblem (im Ursprung fixierte Zentralmasse): Bewegung o.B.d.A. in der xy-Ebene

Keplerbewegung Im Himmel und auf der Erde gelten die gleichen physikalischen Grundgesetze! „Universalität“ des zweiten Newtonschen Axioms!

Weitere Verallgemeinerungen Geschwindigkeitsabhängige Kräfte, Reibung Freier Fall mit Luftwiderstand, Grenzgeschwindigkeit Gedämpfte Schwingungen Explizit zeitabhängige („antreibende“) Kräfte Erzwungene und gedämpfte Schwingungen Resonanz und Resonanzkatastrophe Phasenraumdiagramme: (x,p) bzw. (x,v) Harmonische Schwingungen: Energieerhaltung Gedämpfte Schwingungen: Energieverlust durch Reibung

beachte: Phasenraumdiagramm Gedämpfte Schwingung:

Ausblick Wunschzettel: Den hier vorgestellten Zugang im Physikunterricht erproben. Die für den hier vorgestellten Zugang nötigen Kompetenzen im Lehramtsstudium vermitteln.

... für Ihre Aufmerksamkeit! Danke... ... für Ihre Aufmerksamkeit! Excel-Spreadsheets zu den besprochenen Beispielen und zu einigen weiteren Anwendungen stehen unter http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Bewgl/ zur Verfügung.